Thứ sáu, 01/11/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 10 Toán Trắc nghiệm Toán 10 Bài 8. Tổng và hiệu của hai vectơ có đáp án

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 8. Tổng và hiệu của hai vectơ có đáp án

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 8. Tổng và hiệu của hai vectơ có đáp án

  • 638 lượt thi

  • 15 câu hỏi

  • 30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Quy tắc ba điểm được phát biểu:

Xem đáp án

Đáp án D

Quy tắc ba điểm được phát biểu như sau: Với ba điểm bất kì A, B, C ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \).


Câu 2:

Cho tam giác ABC có I là trung điểm cạnh AB và G là trọng tâm tam giác ABC. Đẳng thức nào sau đây sai:

Xem đáp án

Đáp án A

Xét tam giác ABC, có:

\(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \) (quy tắc ba điểm). Do đó D đúng.

Vì G là trọng tâm tam giác nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \). Do đó B đúng.

Ta có I là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) hay \(\overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IB} \). Do đó A sai và C đúng.


Câu 3:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AH và BC = 10cm. Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \).

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Xét tam giác ABC vuông cân tại A có AH là đường cao nên AH là đường trung tuyến suy ra H là trung điểm của BC.

Gọi D là điểm đối xứng với A qua H.

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AH và BC = 10cm.  (ảnh 1)

Xét tứ giác ABDC có AD cắt BC tại H là trung điểm của mỗi đường. Do đó ABDC là hình bình hành.

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \) (quy tắc hình bình hành)

\(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right|\)

Ta lại có hình bình hành ABDC có \(\widehat {BAC} = {90^0}\) nên ABDC là hình chữ nhật do đó AD = BC =10 cm.

\(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = BC = 10cm\).

Vậy độ dài \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) là 10 cm.


Câu 4:

Vectơ đối của vectơ - không là:

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Vectơ \(\overrightarrow 0 \) được coi là vectơ đối của chính nó.


Câu 5:

Cho hình bình hành ABCD có một điểm O bất kì. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án đúng là B

Cho hình bình hành ABCD có một điểm O bất kì. Đẳng thức nào sau đây đúng? (ảnh 1)

+) Áp dụng quy tắc hiệu ta có: \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} \)\(\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {DC} \):

\(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AB} \)\(\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {DC} \);

Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB // CD khi đó \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \). Suy ra \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} \ne \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} \)\(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} \). Do đó B đúng, A sai.

+) Áp dụng quy tắc hiệu ta có: \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {DA} \)\(\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BC} \):

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = CB và AD // CB khi đó \(\overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CB} \). Suy ra \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OD} \ne \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} \). Do đó C sai.

+) Áp dụng quy tắc hiệu ta có: \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CA} \)\(\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BD} \):

Vì hai vectơ \(\overrightarrow {CA} \)\(\overrightarrow {BD} \) không cùng phương nên không bằng nhau. Suy ra\(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OC} \ne \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OB} \). Do đó D sai.


Câu 6:

Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh bằng 2 dm và \(\widehat {BAD} = 100^\circ \). Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} \).

Xem đáp án

Đáp án đúng là B

Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh bằng 2 dm và góc BAD = 100 độ. (ảnh 1)

Vì ABCD là hình thoi nên ABCD là hình bình hành khi đó: \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DB} \) (quy tắc hình bình hành)

Xét tam giác ABD có:

BD2 = AB2 + AD2 – 2.AB.AD.cos\(\widehat {BAD}\)

BD2 = 22 + 22 – 2.2.2.cos100°

BD2 = 22 + 22 – 2.2.2.cos100°

BD2 ≈ 9,39

BD ≈ 3,06 dm

\(\left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = 3,06\,\,dm.\)

Vậy độ dài vectơ \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} \) là 3,06 dm.


Câu 7:

Cho hình bình hành ABCD có tâm O, G là trọng tâm tam giác BCD. Đẳng thức nào sau đây sai?

Xem đáp án

Đáp án đúng là D

Cho hình bình hành ABCD có tâm O, G là trọng tâm tam giác BCD (ảnh 1)

+) Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc hình bình hành). Do đó A đúng.

+) Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \). Do đó B đúng.

+) O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC. Suy ra \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \). Do đó C đúng.

+) Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên GC = 2GA. Suy ra \(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GO} \ne \overrightarrow 0 \). Do đó D sai.


Câu 8:

Tính tổng \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} \)

Xem đáp án

Đáp án đúng là D

Xét tổng \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} \)

\( = \overrightarrow {MN} + \left( {\overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QR} } \right) + \left( {\overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} } \right)\)

\( = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PR} + \overrightarrow {RP} \)

\( = \overrightarrow {MN} + \left( {\overrightarrow {PR} + \overrightarrow {RP} } \right)\)

\( = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PP} \)
\( = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow 0 \)

\( = \overrightarrow {MN} \).


Câu 9:

Cho hình bình hành ABCD. Hãy tìm điểm M để \(\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} \).

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Ta có \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CA} \) (quy tắc hình bình hành)

\( \Rightarrow \overrightarrow {DM} = \overrightarrow {CA} \)

Khi đó hai vectơ \(\overrightarrow {DM} \)\(\overrightarrow {CA} \) cùng hướng hay DM // CA, M nằm ở nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ DC và DM = CA. Suy ra ACDM là hình bình hành.

Vậy điểm M là điểm thỏa mãn ACDM là hình bình hành.


Câu 10:

Cho hình bình hành ABCD tâm O. Ba điểm M, N, P thỏa mãn:

+) \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \];

+) \[\overrightarrow {N{\rm{D}}} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \];

+) \[\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow 0 \].

Nhận xét nào sau đây đúng về M, N, P.

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Cho hình bình hành ABCD tâm O. Ba điểm M, N, P thỏa mãn: (ảnh 1)

+) Hình bình hành ABCD có tâm O nên O là trung điểm của BD.

Do \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \] nên M là trọng tâm của tam giác ADB.

Khi đó trên AO chọn M sao cho \[\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AO} \].

+) Do \[\overrightarrow {N{\rm{D}}} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \] nên N là trọng tâm của tam giác DBC.

Khi đó trên CO chọn N sao cho \[\overrightarrow {CN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {CO} \].

+) Do \[\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow 0 \] nên P là trung điểm của MN (1).

Ta có AM = \[\frac{2}{3}\]AO = \[\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\]AC = \[\frac{1}{3}\]AC; CN = \[\frac{2}{3}\]CO = \[\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\]AC = \[\frac{1}{3}\]AC.

Do đó MN = \[\frac{1}{3}\]AC.

MO = \[\frac{1}{3}\]AO = \[\frac{1}{3}.\frac{1}{2}\] AC = \[\frac{1}{6}\]AC.

Khi đó MO = \[\frac{1}{2}\]MN.

Mà O nằm giữa M và N nên O là trung điểm của MN (2).

Từ (1) và (2) suy ra P trùng O.

Vậy P là trung điểm của MN.


Câu 11:

Hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) cùng tác động lên một vật, cho \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 7N,\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 3N\). Tính độ lớn của hợp lực \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} \)(biết góc giữa \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) bằng 45°).

Hai lực vecto F1, vecto F2 cùng tác động lên một vật, cho vecto F1  (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án đúng là D

Ta có hình vẽ sau:

Hai lực vecto F1, vecto F2 cùng tác động lên một vật, cho vecto F1  (ảnh 2)

Trong đó ABCD là hình bình hành, \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {{F_2}} \)

Khi đó \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc hình bình hành)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\)

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\widehat {ABC} + \widehat {BAD} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {BAD} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \)
Xét tam giác ABC:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

AC2 = AB2 + BC2 – 2AB.BC.cos\(\widehat {ABC}\)

AC2 = 72 + 32 – 2.7.3.cos135°

AC2 = \(58 + 21\sqrt 2 \)

AC ≈ 9,36

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC \approx 9,36N\).


Câu 12:

Cho lục giác đều ABCDEF và O là tâm. Có bao nhiêu đẳng thức dưới đây là đẳng thức đúng?

1. \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OE} = \overrightarrow 0 \);

II. \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {FE} = \overrightarrow {AD} \);

III. \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {EB} \);

IV. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {FE} = \overrightarrow 0 \).

Xem đáp án

Đáp án đúng là A

Cho lục giác đều ABCDEF và O là tâm. Có bao nhiêu đẳng thức dưới (ảnh 1)

+) Ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OA} + \left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OE} } \right) = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow 0 = \overrightarrow {OA} \). Do đó A sai.

+) Ta có \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {FE} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {AD} \). Do đó B đúng.

+) Ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OA} + \left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OE} } \right) = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow 0 = \overrightarrow {OA} \ne \overrightarrow {EB} \). Do đó C sai.

+) Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {FE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {FE} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {FE} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {AO} = 2\overrightarrow {AO} \ne \overrightarrow 0 \). Do đó D sai.


Câu 13:

Hai người cùng kéo một con thuyền với hai lực \[\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {OA} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OB} \] có độ lớn lần lượt là 550 N, 800 N. Cho biết góc giữa hai vectơ là 52o.

Hai người cùng kéo một con thuyền với hai lực vecto F1 = vecto OA (ảnh 1)

Độ lớn của vectơ hợp lực \[\overrightarrow F \] là tổng của hai lực \[\overrightarrow {{F_1}} \]\[\overrightarrow {{F_2}} \] nằm trong khoảng nào dưới đây?

Xem đáp án

Đáp án đúng là D

Hai người cùng kéo một con thuyền với hai lực vecto F1 = vecto OA (ảnh 2)

Dựng hình bình hành AOBC.

Khi đó \[\overrightarrow F = \overrightarrow {OC} \].

Do AOBC là hình bình hành nên \[\widehat {AOB} + \widehat {OBC} = 180^\circ \] và OA = BC = 550.

Do đó \[\widehat {OBC} = 180^\circ - \widehat {AOB} = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ \].

Áp dụng định lí côsin vào tam giác OBC có:

OC2 = OB2 + BC2 - 2.OB.BC.cos \[\widehat {OBC}\]

\[ \Rightarrow \] OC2 = 8002 + 5502 - 2.800.550.cos 128o

\[ \Rightarrow \] OC2 ≈ 1 484 282, 1

\[ \Rightarrow \] OC ≈ 1 218,3 N (do OC là độ dài đoạn thẳng nên OC > 0)

Suy ra \[\left| {\overrightarrow F } \right|\] ≈ 1 218,3 N.

Vậy độ lớn lực \(\overrightarrow F \) nằm trong khoảng (1 200; 1 300).


Câu 14:

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. So sánh độ dài của hai vectơ sau:

\[\overrightarrow a = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {B{\rm{D}}} } \right) + \overrightarrow {CB} \];                      

\[\overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} \].

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. So sánh độ dài của hai vectơ sau: (ảnh 1)

Ta có: \[\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {B{\rm{D}}} } \right) + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {B{\rm{D}}} + \overrightarrow {CB} \]

\[ = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right) + \overrightarrow {B{\rm{D}}} \]

\[ = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B{\rm{D}}} \]

\[ = \overrightarrow {AD} \]

Do đó \[\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow {A{\rm{D}}} } \right|\] = 1.

Ta lại có: \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {DA} } \right) = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA} = \overrightarrow {AC} \].

Do đó \[\left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\].

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC có:

AC2 = AD2 + DC2

\[ \Rightarrow \] AC2 = 12 + 12

\[ \Rightarrow \] AC2 = 2

\[ \Rightarrow \] AC = \[\sqrt 2 \] (do AC là độ dài đoạn thẳng)

Suy ra \[\left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt 2 \].

Vậy \[\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 2 \left| {\overrightarrow a } \right|\].


Câu 15:

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn: \[\overrightarrow {K{\rm{A}}} + \overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0 \]; \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \]; \[\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {H{\rm{D}}} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow 0 \]. Tính độ dài các vectơ \[\overrightarrow {GH} \].

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn:  (ảnh 1)

Do \[\overrightarrow {K{\rm{A}}} + \overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0 \] nên K là trung điểm của AC.

Do đó K là giao điểm hai đường chéo của hình vuông ABCD.

Do \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \] nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó trên đoạn BK chọn điểm G sao cho \[\overrightarrow {BG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BK} \].

Do \[\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {H{\rm{D}}} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow 0 \] nên H là trọng tâm của tam giác ADC.

Khi đó trên đoạn DK chọn điểm H sao cho \[\overrightarrow {DH} = \frac{2}{3}\overrightarrow {DK} \].

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC vuông tại D có:

AC2 = AD2 + DC2

\[ \Rightarrow \] AC2 = a2 + a2

\[ \Rightarrow \] AC2 = 2a2

\[ \Rightarrow \] AC = \[\sqrt 2 \]a (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0)

Do K là trung điểm của AC nên AK = \[\frac{1}{2}\]AC = \[\frac{{\sqrt 2 a}}{2}\].

Do đó \[\left| {\overrightarrow {K{\rm{A}}} } \right| = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}\].

Do ABCD là hình vuông nên AC = BD.

Do đó BD = \[\sqrt 2 \]a.

Do H là trọng tâm của tam giác ADC nên HK = \[\frac{1}{3}\]DK = \[\frac{1}{3}.\frac{1}{2}\]BD = \[\frac{1}{6}\]BD = \[\frac{{\sqrt 2 a}}{6}\].

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên KG = \[\frac{1}{3}\]BK = \[\frac{1}{3}.\frac{1}{2}\]BD = \[\frac{1}{6}\]BD = \[\frac{{\sqrt 2 a}}{6}\].

Do đó HK + KG = \[\frac{{\sqrt 2 a}}{6}\]+ \[\frac{{\sqrt 2 a}}{6}\] hay HG = \[\frac{{\sqrt 2 a}}{3}\].

Do đó \[\left| {\overrightarrow {GH} } \right| = \frac{{\sqrt 2 a}}{3}\].


Bắt đầu thi ngay