Công thức tính thể tích khối trụ chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Định nghĩa

Thể tích của khối trụ tròn xoay là giới hạn của thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp khối trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

2. Công thức tính thể tích khối trụ tròn xoay

Cho khối trụ tròn xoay có diện tích đáy là S và chiều cao là h, bán kính đáy là r.

Khi đó thể tích $V=S.h=\pi r^{2}h$

3. Các ví dụ

VD1. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 và bán kính đáy bằng 4. Tính thể tích của khối trụ đó.

Lời giải:

Thể tích khối trụ là:$V=\pi r^{2}h=\pi {.3}^2.4=36\pi$

VD2. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông và diện tích xung quanh bằng $36\pi$. Tính thể tích của khối trụ đã cho.

Lời giải:

Do thiết diện qua trục là hình vuông nên $h=2r$

Diện tích xung quanh hình trụ là

$$\begin{gathered} S_{xq}=2\pi rh=2\pi r.2r \\ =4\pi r^2=36\pi \Rightarrow r=3 \end{gathered}$$

Do đó chiều cao $h=2r=6$

Vậy thể tích khối trụ đã cho là:

$V=\pi r^2.h=\pi {.3}^2.6=54\pi$

VD3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’. 

Lời giải:

Bán kính đáy hình trụ là $r=OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Chiều cao hình trụ là $h=AA\text{'}=a$

Diện tích xung quanh hình trụ là:

$$\begin{gathered} S_{xq}=2\pi rh=2\pi .\frac{a\sqrt{2}}{2}.a \\ =\pi a^2\sqrt{2} \end{gathered}$$

Thể tích khối trụ là :

$$\begin{gathered} V=\pi r^{2}h=\pi .{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2.a \\ =\frac{\pi a^3}{2} \end{gathered}$$

VD4. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 5. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Biết diện tích của thiết diện là 40. Tính thể tích của khối trụ đã cho.

Lời giải:

Mặt phẳng cắt khối trụ theo thiết diện là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ

Gọi H là trung điểm AB.

Theo bài ta có: 

$$\begin{gathered} OH=3 \\ \Rightarrow AH=\sqrt{O{A}^2-O{H}^2} \\ =\sqrt{5^2-3^2}=4\Rightarrow AB=8 \end{gathered}$$

Mà diện tích ABCD là 40 $\Rightarrow$ chiều cao $h=AD=5$

$\Rightarrow V=\pi r^2.h=\pi {.5}^2.5=125\pi$