Tích phân và cách giải bài tập cơ bản - Toán lớp 12

Hamchoi.vn giới thiệu 50 Tích phân và cách giải bài tập cơ bản - Toán lớp 12 lớp 12 gồm các dạng bài tập có phương pháp giải chi tiết và các bài tập điển hình từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh biết cách làm. Bên cạnh có là 30 bài tập vận dụng để học sinh ôn luyện dạng Toán 12 này.

202 lượt xem


Tích phân và cách giải bài tập cơ bản - Toán lớp 12

A. LÝ THUYẾT.

1. Định nghĩa.

Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a;b]. Hiệu số F(b)F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b] của hàm số f(x), kí hiệu là abf(x)dx.

Ta dùng kí hiệu F(x)ab=F(b)F(a) để chỉ hiệu số F(b)F(a).

Vậy abf(x)dx=F(x)ab=F(b)F(a).

Ta gọi ab là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý: Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước aafxdx=0; abfxdx=bafxdx.

Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi abf(x)dx hay abf(t)dt.Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì tích phân abf(x)dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy S=abf(x)dx.

2. Tính chất của tích phân

+) Tính chất 1: abkfxdx=kabfxdx  với k là hằng số.

+) Tính chất 2:  abfx±gxdx=abfxdx±abgxdx

+) Tính chất 3: acfxdx+cbfxdx=abfxdx với a<c<b.

Chú ý: Mở rộng của tính chất 3.

abfxdx=ac1fxdx+c1c2fxdx+...cnbfxdxa<c1<c2<...<cn<b

3. Định lý.

Tích phân của hàm lẻ và hàm chẵn trên .

- Nếu f là một hàm số chẵn, khi đó  

- Nếu f là một hàm số lẻ, khi đó .

4. Các tính chất bổ sung.

+)  ab0dx=0

+)  abcdx=cba

+) Nếu fx0,xa,b thì abfxdx0

Hệ quả: Nếu hai hàm số fx và gx liên tục và thỏa mãn fxgx,xa;b

 thì  abfxdxabgxdx

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ.

1. Phương pháp giải:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: abf(x)dx=F(x)ab=F(b)F(a)

Như vậy, để tính tích phân của 1 hàm số ta cần:

• Bước 1: Xác định F(x) là nguyên hàm của hàm số.

• Bước 2. Tính F(b) − F(a).

- Chú ý: Sử dụng tính chất cơ bản của tích phân đã nêu ở phần lý thuyết để phân tích bài toán, đưa các hàm số dưới dấu tích phân về dạng cơ bản để xác định được nguyên hàm của hàm số một cách dễ dàng.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính I=01x312x3dx ta thu được kết quả là:

A. 8141

B. 9140

C. 1409

D. 1418

Lời giải

Ta có :

I=01x312x3dx=01x62x3+1x3dx=01x92x6+x3dx=x10102x77+x4410=11027+140=9140

Chọn B.

Ví dụ 2: Tính tích phân I=22|x+1|dx.

Lời giải

Nhận xét:

x+1=x+1,        1x2 x1,     2x<1 .

Tích phân và cách giải bài tập cơ bản – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Ví dụ 3: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] và 3Fa2=3Fb. Tính tích phân I=abfxdx.

A. I = - 2

B. I = 2

C. I=23

D.  I=-23

Lời giải

Tích phân và cách giải bài tập cơ bản – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Chọn D

Ví dụ 4: Cho các tích phân 32fxdx=2;35ftdt=4 . Tính 25fydy.

A. I = 2

B. I = 6

C. I = - 2

D. I = - 6

Lời giải

Tích phân và cách giải bài tập cơ bản – Toán lớp 12 (ảnh 1)

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Chọn A.

Ví dụ 5: Cho 0π2fxdx=5 . Tính I=0π2fx+2sinxdx

A. I = 7

B. I=5+π2

C. I = 3

D. I=5+π

Lời giải

Tích phân và cách giải bài tập cơ bản – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Chọn A.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1. 24x+1x2dx  bằng:

A. 27512

B. 30516

C. 19615

D. 20817

Câu 2.  e1e211x+1dx  bằng:

A. 3e2e

B. 1

C. 1e21e

D. 2

Câu 3. 0ln2ex+1exdx bằng:

A. 3ln2

B. 45ln2

C. 52

D. 73

Câu 4.  0412x+1dx  bằng:

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

Câu 5. 253x44dx   bằng:

A. 8972027

B. 1892720

C. 96002518

D. 536735

Câu 6. Kết quả của tích phân: I=017+6x3x+2dx

A. 12ln52

B. ln52

C. 2+ ln52

D. 3+2ln52

Câu 7. Tích phân: 04x2dx

A. 0

B. 2

C. 8

D. 4

Câu 8. Tích phân 02x2xdx bằng

A. 23

B. 0

C. 1

D. 32

Câu 9. Tính 12dx1+1x?

A. 2ln3

B. ln3

C. ln2

D. ln6

Câu 10. Nếu14f(x)dx=6  và 14 g(x)dx=5 thì 14[f(x)g(x)] bằng

A. -1.

B. -11.

C. 1.

D. 11.

Câu 11. Cho biết 25fxdx=3, 25gxdx=9. Giá trị của A=25fx+gxdx là:

A. Chưa xác định được

B. 12

C. 3

D. 6

Câu 12. Cho 2I=12(2x3+lnx)dx. Tìm I?

A. 1+2ln2

B. 132+2ln2

C. 134+ln2

D. 12+ln2

Câu 13. Nếu 010f(x)dx=17 và 08f(x)dx=12 thì 810f(x)dx bằng:

A. 5

B. 29

C. - 5

D. 15

Câu 14. f và g là hai hàm số theo x. Biết rằng x    [a,  b],   f'(x)=g'(x)

Trong các mệnh đề:

(I) x[a,  b],   f'(x)=g(x)

(II) abf(x)dx=abg(x)dx

(III) x[a;  b],  f(x)f(a)=g(x)g(a)

Mệnh đề nào đúng?

A. I

B. II

C. Không có

D. III

Câu 15. Để 1kk4xdx+3k+1=0 thì giá trị của k là bao nhiêu ?

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Câu 16. Nếu 06f(x)dx=10 và 04f(x)dx=7, thì 46f(x)dx bằng:

A. 3

B. 17

C. 170

D. - 3

Câu 17. Tìm a sao cho I=12[a2+(4 - a)x + 4x3]dx = 12

A. Đáp án khác

B. a = - 3

C. a = 5

D. a = 3

Câu 18. Biết 0b2x4dx=0, khi đó b nhận giá trị bằng:

A. b=1  hoặc b=4

B. b=0  hoặc b=2

C. b=1  hoặc b=2

D. b=0  hoặc b=4

Câu 19. Cho 01e3xdx=ea1b. Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng

A. a = - b

B. a < b

C. a > b

D. a = b

Câu 20. Nếu adf(x)dx=5; bdf(x)dx=2, với a<d<b thì abf(x)dx bằng:

A. - 2

B. 3

C. 8

D. 0

Câu 21. Cho tích phân I=032x4dx, trong các kết quả sau:

(I). I=232x4dx+022x4dx

(II). I=232x4dx022x4dx

(III). I=2232x4dx

Kết quả nào đúng?

A. Chỉ II.

B. Chỉ III

C. Cả I, II, III.

D. Chỉ I.

Câu 22. Cho hàm số y = f(x) liên tục và chỉ triệt tiêu khi x = c trên [a; b]. Các kết quả sau, câu nào đúng?

A. abf(x)dxabf(x)dx

B. abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx

C. abf(x)dx=acf(x)dx+abf(x)dx

D. A, B, C đều đúng

Câu 23. Khẳng định nào sau đây sai về kết quả 10x+1x2dx=alnbc1 ?

A.  a.b=3(c+1)

B. ac=b+3

C. a+b+2c=10

D. ab=c+1

Câu 24. Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên R thỏa mãn 11f(x)dx=2. Khi đó giá trị tích phân 01f(x)dx là:

A. 2

B. 1

C. 12

D. 14

Câu 25. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a; b]. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?

A. abf(x)dx=F(b)F(a)

B. F'(x)=f(x) với mọi x(a;b).     

C. abf(x)dx=f(b)f(a).

D. Hàm số G cho bởi G(x)=F(x)+5 cũng thỏa mãn abf(x)dx=G(b)G(a).

Câu 26. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] sao cho g(x)0 với mọi x[a;b]. Xét các khẳng định sau:

I. abf(x)+g(x)dx=abf(x)dx+abg(x)dx.

II. abf(x)g(x)dx=abf(x)dxabg(x)dx.

III. abf(x).g(x)dx=abf(x)dx.abg(x)dx.

IV. abf(x)g(x)dx=abf(x)dxabg(x)dx.

Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định sai?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 27. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu f là hàm số chẵn trên R thì 01f(x)dx=10f(x)dx.

B. Nếu 10f(x)dx=01f(x)dx thì f là hàm số chẵn trên đoạn [1;1] 

C. Nếu 11f(x)dx=0 thì f là hàm số lẻ trên đoạn [1;1]

D. Nếu 11f(x)dx=0 thì f là hàm số chẵn trên đoạn [1;1]

Câu 28. Tích phân 02kexdx (với k là hằng số )có giá trị bằng:

Ak(e21)

B. e21

Ck(e2e)

D. e2e

Câu 29. Tích phân 15x22x3dx có giá trị bằng

A. 0

B643

C. 7.

D. 12,5.

Câu 30. Giá trị của a để đẳng thức 12a2+(44a)x+4x3dx=242xdx là đẳng thức đúng

A. 4.

B. 3.

C. 5

D. 6.

Đáp án

Tích phân và cách giải bài tập cơ bản – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bài viết liên quan

202 lượt xem


Có thể bạn quan tâm