Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Hamchoi.vn giới thiệu 50 Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 lớp 12 gồm các dạng bài tập có phương pháp giải chi tiết và các bài tập điển hình từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh biết cách làm. Bên cạnh có là 10 bài tập vận dụng để học sinh ôn luyện dạng Toán 12 này.

144 lượt xem


Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Lý thuyết

Định lí: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

uxv'xdx=uxvxu'xvxdx

Hay udv=uvvdu

Phương pháp:

Cách 1: Sử dụng định lý trên

Bước 1. Chọn u, v sao cho f(x)dx = udv (chú ý dv = v'(x)dx).

Sau đó tính v=dv và du = u'.dx.

Bước 2. Thay vào công thức và tính v=vdu

Chú ý. Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân vdu dễ tính hơn udv. Ta thường gặp các dạng sau

Dạng 1. I=Pxsinxcosxdx, trong đó P(x) là đa thức. Ta đặt u=Pxdv=sinxcosxdx.

Dạng 2. I=Pxeax+bdx, trong đó P(x) là đa thức. Ta đặt u=Pxdv=eax+bdx.

Dạng 3. I=Pxlnmx+ndx, trong đó P(x) là đa thức. Ta đặt u=lnmx+ndv=Pxdx.

Dạng 4. I=sinxcosxexdx. Ta đặt u=sinxcosxdv=exdx.

Thứ tự ưu tiên đặt u: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” và dv phần còn lại. Nghĩa là nếu có ln hay logax thì chọn u=lnx hay u=logax=1lna.lnx và dv = còn lại. Nếu không có ln; log thì chọn u = đa thức và dv = còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác,….

Cách 2: Sử dụng bảng

Loại 1: Ví dụ: x3exdx

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

Vậy :

x3exdx=x3ex3x2ex+6xex6ex+C

Loại 2: Nguyên hàm lặp. Ví dụ: cosxexdx

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

Vậy

cosxexdx=cosxexsinxex+cosxexdxcosxexdx=12cosx+sinxex

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm

a) I=xexdx

b) I=xlnxdx

Lời giải

a) I=xexdx

Đặt u=xdv=exdxdu=dxv=ex

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

I=xexdx=xexexdx=xexex+C

b) I=xlnxdx

Đặt u=lnxdv=xdxdu=dxxv=x22

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

I=xlnxdx=12x2lnx12xdx=12x2lnx14x2+C

Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm sau:

a) I=x2cosxdx

b) I=sinx.exdx

Lời giải

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bài viết liên quan

144 lượt xem


Có thể bạn quan tâm