Phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập - Toán lớp 12

Hamchoi.vn giới thiệu 50 Phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập - Toán lớp 12 lớp 12 gồm các dạng bài tập có phương pháp giải chi tiết và các bài tập điển hình từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh biết cách làm. Bên cạnh có là 25 bài tập vận dụng để học sinh ôn luyện dạng Toán 12 này.

237 lượt xem


Phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập - Toán lớp 12

I. LÝ THUYẾT

a. Phương trình lôgarit cơ bản:

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: logax=b ,a,  b>0,  a1

Theo định nghĩa logarit ta có logax=bx=ab

b. Phương pháp giải phương trình lôgarit

Biến đổi, quy về cùng cơ số:

logafx=logagx0<a1fx=gx>0

Đặt ẩn phụ:

flogagx=0(0<a1)t=logagxft=0

Mũ hóa hai vế: 

logagx=fx(0<a1) gx>0gx=afx

Giải bằng phương pháp đồ thị:

Giải phương trình: 

logax=fx0<a1*

Xem phương trình * là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị  y=logax 0<a1  y=fx. Khi đó ta thực hiện hai bước:

Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số y=logax 0<a1 và y=fx.

Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.

 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

 Sử dụng đánh giá

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Phương trình loogarit cơ bản

A. Phương pháp giải

Xét phương trình lôgarit cơ bản:logaf(x)=b,a,  b>0,  a1

Bước 1: Nêu điều kiện để f(x) có nghĩa

Bước 2: Giải phương trình logaf(x)=bf(x)=ab

Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tìm tập nghiệm  của phương trình log4x2=2.

A. S=16

B. S=18.

C. S=10

D. S=14.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có

log4x2=2x2>0log4x2=log442x>2x2=42x>2x=18x=18

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {18}.

Câu 2: Số nghiệm của phương trình logx12=2.

A. 2.

B. 1

C. 0

D. một số khác.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Điều kiện

x12>0x10x1.

Ta có

logx12=2=log102x12=100

x=11x=9(thỏa mãn).

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Câu 3: Số nghiệm của phương trình log2xx1=1 là

A. 1

B. 3

C. 2

D. 0

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Điều kiện xác định: 

xx  1 > 0x<0x>1

ptxx1=2x2x2=0

x=1 hoặc x=2 (thỏa mãn).

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Câu 4: Gọi x1,x2 là 2 nghiệm của phương trình log2xx+3=1. Khi đó x1+x2 bằng:

A. -3

B. -2

C. 17

D. 3+172

Hướng dẫn giải

Chọn A.

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện: x<3x>0

log2xx+3=1xx+3=2x2+3x2=0

x=3+172x=3172 (thỏa mãn)

Vậy x1+x2=3.

[Phương pháp trắc nghiệm]

Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm và lưu 2 nghiệm vào A và B. Tính A + B = – 3.

Câu 5: Gọi x1,x2 là nghiệm của phương trình log2xx1=1. Khi đó tích x1.x2 bằng:

A. -2

B. 1.

C. -1

D. 2.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Điều kiện x<0 hoặc x>1

log2xx1=1x2x2=0x1=1x2=2x1.x2=2

Dạng 2. Phương pháp đưa về cùng cơ số

A. Phương pháp giải

Xét phương trình cùng cơ số:

logafx=logagx,0<a1

Bước 1: Nêu điều kiện f(x)>0g(x)>0

Bước 2 Giải phương trình:

logafx=logagxfx=gx

Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tập nghiệm của phương trình log2x21=log22x là

A.  1+2

B. {2; 41}

C. 12;1+2

D. 1+22

Hướng dẫn giải.

Chọn A.

Điều kiện: x21>02x>0x>1.

Khi đó PT x21=2x

x=12x=1+2

Đối chiếu điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình là 1+2.

Câu 2: Cho phương trình log5x3+2+log15x26=0 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 1x3+2>0x26>0x3x2+8=0

B. 1x3+2>0x3x2+8=0

C. 1x26>0x3x2+8=0

D. 1x3+2x26>0x3x2+8=0

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Điều kiện của phương trình là x3+2>0x26>0

Khi đó   

1log5x3+2log5x26=0log5x3+2x26=0=log51x3+2x26=1x3x2+8=0

Vậy phương trình đã cho tương đương với x3+2>0x26>0x3x2+8=0

Câu 3: Số nghiệm của phương trình lnx26x+7=lnx3 là:

A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện

x3>0x26x+7>0x>3x>3+2x<32x>3+2

Khi đó, ta có:

lnx26x+7=lnx3x26x+7=x3x27x+10=0x=5x=2

Kết hợp với điều kiện, x = 5 là giá trị cần tìm.

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính lnX26X+7lnX3=0

Ấn SHIFT CALC nhập X = 4 (chọn X thỏa điều kiện xác định của phương trình), ấn =. Máy hiện X = 5.

Ấn Alpha X Shift STO A

Ấn AC. Viết lại phương trình: 

lnX26X+7lnX3XA=0

Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 7 =.

Máy không giải ra nghiệm. Vậy đã hết nghiệm.

Câu 4: Phương trình log132x+1+log34x+5=1 có tập nghiệm là tập nào sau đây?

A. 1;2

B. 3;19

C. 13;9

D. 0;1

Hướng dẫn giải.

Chọn D.

Phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log3xlog3x2=log3m có nghiệm?

A. m>1

B. m1

C. m<1

D. m1

Hướng dẫn giải

Chọn A.

[Phương pháp tự luận]

Phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Kết hợp với điều kiện m > 0, ta được m > 1.

Phương trình có nghiệm x >2 khi m >1 ,chọn đáp án A

[Phương pháp trắc nghiệm]

Thay m =0 (thuộc C, D) vào biểu thức log3m không xác định, vậy loại C, D,

Thay m =1 (thuộc B) ta được phương trình tương đương x=x2 vô nghiệm

Vậy chọn đáp án   A.

Dạng 3. Phương pháp đặt ẩn phụ

A. Phương pháp giải

Xét phương trình:flogagx=0(0<a1)

Bước 1: Đặt điều kiện: g(x) > 0

Bước 2: Đặt t=logagx

Giải phương trình f(t) = 0, tìm t.

Bước 3: Thay vào phương trình: t=logagx, tìm x.

Bước 4: Kết hợp với điều kiện và kết luận.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Nếu đặt t=log2x thì phương trình 15log2x+21+log2x=1 trở thành phương trình nào?

A. t25t+6=0

B. t2+5t+6=0

C. t26t+5=0

D. t2+6t+5=0

Hướng dẫn giải

Chọn A

Phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Câu 2: Gọi x1,x2 là 2 nghiệm của phương trình 14+log2x+22log2x=1. Khi đó x1.x2bằng:

A. 12

B. 18

C. 14

D. 34

Hướng dẫn giải

Chọn B.

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện: x>0x4x116

Đặt t=log2x ,điều kiện t4t2. Khi đó phương trình trở thành:

14+t+22t=1t2+3t+2=0t=1t=2x=12x=14

Vậy x1.x2=18

[Phương pháp trắc nghiệm]

Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm là 12  14.

Câu 3: Phương trình log52(2x1)8log52x1+3=0 có tập nghiệm là:

A. 1;3

B. 1;3

C. 3;63

D. 1;2

Hướng dẫn giải

Chọn C.

[Phương pháp tự luận]

Phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

[Phương pháp trắc nghiệm]

Thay x =1 (thuộc B, D) vào vế trái ta được 3=0 vô lý, vậy loại B, D,

Thay x = - 1 vào log52x1 ta được log53 không xác định, nên loại A

Vậy chọn đáp án  C.

Câu 4: Gọi x1, x2là các nghiệm của phương trình log22x3log2x+2=0. Giá trị của biểu thức P=x12+x22 bằng bao nhiêu?

A. 20

B. 5

C. 36

D. 25

Hướng dẫn giải.

Chọn A.

Điều kiện x >0. Giải phương trình bậc hai với ẩn là log2x ta được:

log22x3log2x+2=0log2x=1log2x=2x=2x=4

Khi đó, P=x12+x22=22+42=20.

Câu 5:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log22x+2log2xm=0 có nghiệm x >2

A. m<1.

B. m3.

C. m<3.

D. m>3.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

log22x+2log2xm=0 (1).

Đặt t=log2x, phương trình (1) trở thành: t2+2tm=0t2+2t=m (2).

Phương trình (1) có nghiệm x>2 phương trình (2) có nghiệm:

t>1  do   t=log2x>log22=1

Xét hàm số y=t2+2ty'=2t+2,  y'=0t=1 ( loại).

Bảng biến thiên

Phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Từ Bảng biến thiên suy ra phương trình (2) có nghiệm t>1m>3.

Dạng 4. Phương pháp mũ hóa

A. Phương pháp giải

Xét phương trình: logagx=fx(0<a1)

Bước 1: Đặt điều kiện g(x) > 0

Bước 2: Giải phương trình:

logagx=fx(0<a1)gx=afx

Bước 3: Kết hợp với điều kiện, kết luận nghiệm.

Câu 1: Cho x thỏa mãn phương trình log25.2x82x+2=3x. Giá trị của biểu thức P=xlog24x là

A. P=4

B. P=1

C. P=8

D. P=2

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có

log25.2x82x+2=3x5.2x82x+2>05.2x82x+2=82x5.2x82x+2>02x=452x=42x=4x=2

Vậy P=2log24.2=8

Câu 2: Phương trình log23.2x1=2x+1có bao nhiêu nghiệm?

A. 1.

B. 2.

C. 3. 

D. 0.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện 

3.2x1>02x>13x>log213

log23.2x1=2x+13.2x1=22x+12.4x3.2x+1=02x=12x=12x=0x=1

(thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính:

log23x2X12X1=0

Ấn SHIFT CALC nhập X=5, ấn =. Máy hiện X=0.

Ấn Alpha X Shift STO A

Ấn AC. Viết lại phương trình: 

log23x2X12X1XA=0

Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 5 =. Máy hiện X=-1.

Ấn Alpha X Shift STO B.

Ấn AC. Viết lại phương trình: 

log23x2X12X1XAXB=0

Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi B? Ấn =. Máy hỏi X? Ấn 1=

Máy không giải ra nghiệm. Vậy đã hết nghiệm.

Câu 3: Số nghiệm nguyên dương của phương trình log24x+4=xlog122x+13 là:

A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 0.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =2.

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình log525xlog5m=x có nghiệm duy nhất.

A. m=154.

B. m=1

C. m1m=154.

D. m1.

Hướng dẫn giải.

Chọn C.

Điều kiện 25xlog5m>0

PT:

25xlog5m=5xt=5x>0t2t=log5m

Xét gt=t2t trên 0;+ ta có bảng biến thiên:

Phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

PT đã cho có nghiệm duy nhất:

log5m=14log5m0m=154m1.

Dạng 5. Phương pháp hàm số, đồ thị và đánh giá

A. Phương pháp giải

Giải bằng phương pháp đồ thị:

Giải phương trình:

 logax=fx0<a1*

Xem phương trình * là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y=logax0<a1  y=fx. Khi đó ta thực hiện hai bước:

 Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số y=logax0<a1  và y=fx.

Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

Sử dụng đánh giá

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Phương trình: lnx2+x+1ln2x2+1=x2x có tổng bình phương các nghiệm bằng:

A. 5

B. 1

C. 9

D. 25

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Câu 2:  Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình log32x2log23x+1=m có ba nghiệm phân biệt.

A. m>3

B. m<2

C.  m>0

D. m=2

Hướng dẫn gải:

Chọn B.

Điều kiện: 1<x2.

Phương trình đã cho tương đương với:

log32x2+log32x+1=mlog32x2x+1=mx2x+1=32m (*)

Phương trình * là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số fx=x2x+1 và đường thẳng y=32m (cùng phương với trục hoành).

Xét hàm số fx=x2x+1 xác định trên 1;22;+.

Ta có :

Phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Đồ thị

Phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Dựa vào đồ thị, ta thấy để phương trình * có ba nghiệm phân biệt khi

0<32m<max1;2gx32m<94m<2

Chọn B.

Câu 3: Cho phương trình log3x22x+1x+x2+1=3x có tổng tất cả các nghiệm bằng

A. 5

B. 3

C.  5

D. 2

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Tìm nghiệm của phương trình log2x1=3.

A. x=9

B. x=7

C. x=8

D. x=10

Câu 2: Phương trình log24x222=8 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 8

Câu 3: Số nghiệm của phương trình log2x.log3(2x1)=2log2x là:

A. 2.

B. 0.

C. 1.

D. 3.

Câu 4: Tìm tập nghiệm S của phương trình log2x24x+3=log24x4

A. S=1  ;7.

B. S=7.

C. S=1.

D. S=3;7.

Câu 5: Số nghiệm của phương trình log55xlog255x3=0 là:

A. 3.

B. 4.

C. 1.

D. 2.

Câu 6: Gọi x1,x2 là 2 nghiệm của phương trình log3x2x5=log32x+5.

Khi đó x1x2 bằng:

A. 5. 

B. 3. 

C. -2

D. 7.

Câu 7: Số nghiệm của phương trình log4x+12.logx2=1 là:

A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Câu 8: Giải phương trình log4x+1+log4x3=3.

A. x=1±217.

B. x=1+217.

C. x=33

D. x=5

Câu 9: Phương trình log3(5x3)+log13(x2+1)=0 có 2 nghiệm x1,x2 trong đó x1<x2.Giá trị của P=2x1+3x2 là

A. 5.

B. 14.

C. 3.

D. 13.

Vậy 2x1+3x2=2.1+3.4=14.

Câu 10: Số nghiệm của phương trình log2(x3+1)log2(x2x+1)2log2x=0 là:

A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Câu 11: Với giá trị m bằng bao nhiêu thì phương trình log2+3(mx+3)+log23(m2+1)=0 có nghiệm bằng 1?

A.  m=1m=1

B. m=1m=2

C. m <3

D. m >3

Câu 12: Phương trình loga3+23log4a3=0 có bao nhiêu nghiệm trên R?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 13: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình log32x2log23x+1=m có ba nghiệm phân biệt.

A. m >3

B. m <2

C. m >0

D. m =2

Câu 14: Nếu đặt t=log2x thì phương trình log24xlogx2=3 trở thành phương trình nào?

A. t2t1=0

B. 4t23t1=0

C. t+1t=1

D. 2t1t=3

Câu 15: Phương trình 14lnx+22+lnx=1 có tích các nghiệm là:

A. e3

B. 1e

C. e

D. 2

Câu 16: Nghiệm lớn nhất của phương trình log3x+2log2x=2logx là :

A. 100.

B. 2.

C. 10.

D. 1000.

Câu 17: Nếu đặt t=log25x1 thì phương trình log25x1.log42.5x2=1 trở thành phương trình nào?

A. t2+t2=0

B. 2t2=1

C. t2t2=0

D. t2=1

Câu18: Nghiệm nguyên của phương trình log2xx21.log3x+x21=log6xx21 là:

A. x =1

B. x =-1

C. x =2

D. x =3

Câu19: Điều kiện cần và đủ của tham số m để phương trình log22x(m1)log2x+4m=0 có hai nghiệm phân biệt thuộc 1;4 là

A. 3<m4

B. 3m103

C. 103<m4

D. 3<m103.

Câu 20. Cho phương trình 4.5log(100x2)+25.4log(10x)=29.101+logx. Gọi a  và   b lần lượt là 2 nghiệm của phương trình. Khi đó tích ab bằng:

A. 0

B. 1

C. 1100.

D. 110

Câu 21: Với giá trị nào của m thì phương trình log2(4x+2m3)=x có 2 nghiệm phân biệt?

A.  m<12

B.  m>4x23

C.  0<m<12

D. m>0

Câu 22: Phương trình  log3x2+x+1=x2x+log3x có bao nhiêu nghiệm

A.  1 nghiệm   

B.  2 nghiệm 

C.  3 nghiệm

D. Vô nghiệm

Câu 23: Số nghiệm của phương trình log3x22x=log5x22x+2 là

A. 3

B. 2

C.  1

D. 4

Câu 24: Tập hợp các giá trị của m để phương trình mln12xx=m có nghiệm thuộc ;0 là

A. ln2;+

B. 0;+

C. 1;e

D. ;0

Câu 25: Biết phương trình log52x+1x=2log3x212x có nghiệm duy nhất x=a+b2 trong đó a,b là các số nguyên. Tính a +b?

A.  5

B. -1

C.  1

D. 2

Đáp án

Phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bài viết liên quan

237 lượt xem


Có thể bạn quan tâm