Mặt trụ và phương pháp giải bài tập - Toán lớp 12

Hamchoi.vn giới thiệu 50 Mặt trụ và phương pháp giải bài tập - Toán lớp 12 lớp 12 gồm các dạng bài tập có phương pháp giải chi tiết và các bài tập điển hình từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh biết cách làm. Bên cạnh có là 10 bài tập vận dụng để học sinh ôn luyện dạng Toán 12 này.

177 lượt xem


Mặt trụ và phương pháp giải bài tập - Toán lớp 12

I. Lý thuyết ngắn gọn

1. Khái niệm về mặt tròn xoay

a. Định nghĩa trục của đường tròn

Mặt trụ và phương pháp giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

• Trục của đường tròn (O; R) là đường thẳng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn đó.

• Khi điểm M không nằm trên đường thẳng Δ thì có duy nhất một đường tròn đi qua M và có trục là Δ, ta kí hiệu đường tròn đó là (CM) (xem hình vẽ)

b. Định nghĩa mặt tròn xoay

• Trong không gian, cho hình (H) và một đường thẳng Δ. Hình gồm tất cả các đường tròn (CM) với M thuộc (H) được gọi là hình tròn xoay sinh bởi (H) quay quanh Δ.

• Đường thẳng Δ gọi là trục của hình tròn xoay đó

• Khi (H) là một đường thì hình tròn xoay sinh bởi nó còn gọi là mặt tròn xoay.

2. Định nghĩa mặt trụ tròn xoay

Cho hai đường thẳng l và Δ sao cho l song song Δ; d(l, ∆) = R.

Khi ta quay l quanh trục Δ một góc 360° thì l tạo thành một mặt trụ tròn xoay (T) (mặt trụ).

Mặt trụ và phương pháp giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

• Δ gọi là trục của mặt trụ (T).

 l gọi là đường sinh của mặt trụ (T).

• R gọi là bán kính của mặt trụ (T).

3. Tính chất

a. Mặt trụ (T) là tập hợp các điểm M cách đường thẳng ∆ cố định một khoảng bằng R không đổi.

b. Nếu M1 là một điểm bất kì nằm trên mặt trụ thì đường thẳng l1 đi qua M1 và song song với ∆ sẽ nằm trên mặt trụ đó.

Cho mặt trụ (T) và mặt phẳng (P), ∆ là trục của mặt trụ tròn xoay, dP,Δ=h. Khi đó:

- Nếu (P)a thì (P)(T)=C(I;R)

- Nếu (P) // ∆ thì:

+ Nếu h < R: (P) cắt (T) theo hai đường sinh thì thiết diện là hình chữ nhật

Mặt trụ và phương pháp giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

+ Nếu h = R: (P) tiếp xúc (T), (P) được gọi là tiếp diện của mặt trụ (T)

Mặt trụ và phương pháp giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Điều kiện để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt trụ (T) là:dP;Δ=R (∆ là trục của trụ tròn xoay)

+ Nếu h > R: (P)(T)=

Mặt trụ và phương pháp giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Điều kiện để mặt phẳng (P) không cắt trụ (T) là: dP;Δ>R (∆ là trục của trụ tròn xoay).

4. Định nghĩa hình trụ và khối trụ tròn xoay

a. Định nghĩa hình trụ

Cắt mặt trụ (T) trục ∆, bán kính R bởi hai mặt phẳng phân biệt (P) và (P’) cùng vuông góc với ∆, ta được hai giao tuyến là hai đường tròn (C) và (C’).

Mặt trụ và phương pháp giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Phần mặt trụ (T) nằm giữa hai mặt phẳng cùng với hai hình tròn xác định bởi (C) và (C’) được gọi là hình trụ.

Khi đó: hai đường tròn (C) và (C’) gọi là hai đường tròn đáy, OO’ gọi là trục hình trụ, độ dài OO’ gọi là chiều cao của hình trụ, phần mặt trụ giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ.

b. Định nghĩa khối trụ: Hình trụ cùng với phần bên trong của nó được gọi là khối trụ.

5. Diện tích hình trụ và thể tích khối trụ

- Diện tích xung quanh hình trụ có bán kính R, chiều cao h là: Sxq=2πRh

- Diện tích toàn phần hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh hình trụ với diện tích hai đáy: Stp=Sxq+2×Sd=2πRh+2πR2

- Thể tích V của khối trụ tròn xoay có chiều cao h, bán kính mặt đáy R là: V=πR2h

II. Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Xác định mặt trụ

Phương pháp giải: Nếu một điểm M di động trong không gian có hình chiếu vuông góc M’ trên (α) di động trên đường tròn (C) cố định thì M thuộc mặt trụ cố định (T) chứa (C) và có trục vuông góc với (α)

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho (α) và một điểm O nằm trên (α). Gọi O’ là một điểm nằm ngoài (α) sao cho hình chiếu H của O’ lên (α) không trùng với O. Một điểm M di động trên (α) sao cho OO'M^=O'MH^. Chứng minh rằng M nằm trên mặt trụ có trục là OO’.

Mặt trụ và phương pháp giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải

Ta có H là hình chiếu của O’ lên (α)

O'H(α)O'HHM

Suy ra tam giác O’HM vuông tại H

Từ M kẻ MKOO' tại K

Xét hai tam giác vuông O’HM và MKO’ có:

O’M là cạnh chung

OO'M^=O'MH^

Suy ra hai tam giác O’HM và MKO’ bằng nhau

Suy ra MK = O’H không đổi

Vậy điểm M nằm trên mặt trụ có trục là OO’ và bán kính bằng O’H.

Ví dụ 2: Cho hình trụ có bán kính R và chiều cao cũng bằng R. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là dây cung của hai đường tròn đáy, cạnh AD và BC không phải là đường sinh của hình trụ.

a. Tính độ dài cạnh của hình vuông ABCD.

b. Kẻ đường sinh DH. Chứng minh năm điểm A, B, C, D, H cùng thuộc một mặt cầu.

Lời giải

Mặt trụ và phương pháp giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

a. Gọi a là độ dài cạnh hình vuông ABCD

Mặt trụ và phương pháp giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

b. Ta có:

ABADHBHDCBCD

Suy ra năm điểm A, B, C, D, H cùng thuộc một mặt cầu đường kính BD.

Dạng 2: Diện tích xung quanh hình trụ, thể tích khối trụ

Phương pháp giải: Áp dụng các công thức sau

- Diện tích xung quanh hình trụ có bán kính R, chiều cao h là: Sxq=2πRh

- Diện tích toàn phần hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh hình trụ với diện tích hai đáy: 

Stp=Sxq+2×Sd=2πRh+2πR2

- Thể tích V của khối trụ tròn xoay có chiều cao h, bán kính mặt đáy R là: V=πR2h

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Bên trong một hình trụ vẽ một hình vuông ABCD cạnh a có hai cạnh AB và CD lần lượt thuộc hai đáy của hình trụ. Mặt phẳng chứa hình vuông tạo với đáy của hình trụ một góc 45 độ. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ đó.

Mặt trụ và phương pháp giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải

Vẽ đường kính BH của đường tròn đáy

Ta có: ABAHABAD

ABCD;ABH=HAD^=45°

Suy ra tam giác AHD vuông cân tại H

HA=HD=a2

Suy ra chiều cao hình trụ là: h = HD = a2

Tam giác HAB vuông tại A, theo Py – ta – go:

HB2=AB2+AH2HB2=a2+a22=32a2HB=a32

Bán kính đáy của hình trụ là: R=HB2=a322

Vậy:

Diện tích xung quanh của hình trụ là: Sxq=2πRh=πa232

Thể tích của khối trụ là: V=πR2h=3πa382

Ví dụ 2: Cho hình trụ bán kính đáy R nội tiếp trong lăng trụ tứ giác đều có đường chéo hợp với đáy một góc α. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của lăng trụ ngoại tiếp.

Mặt trụ và phương pháp giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải

Hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn đáy hình trụ bán kính R nên có cạnh: AB = 2R

Mặt trụ và phương pháp giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Dạng 3: Thiết diện của hình trụ cắt bởi một mặt phẳng

Phương pháp giải:

- Các thiết diện qua trục của một hình trụ là các hình chữ nhật bằng nhau.

- Thiết diện vuông góc với trục của một hình trụ là một hình tròn bằng hình tròn đáy.

- Nếu một điểm M di động trong không gian có hình chiếu M’ lên một mặt phẳng (α)di động trên một đường tròn (C) cố định thì M thuộc mặt trụ cố định (T) chứa (C) và có trục vuông góc với (α).

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4π . Thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt phẳng (α) song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác ABB’A’, biết một cạnh của thiết diện là một dây cung của đường tròn đáy của hình trụ và căng một cung có số đo là 120°. Tính diện tích thiết diện ABB’A’.

Mặt trụ và phương pháp giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải

Thiết diện qua trục hình trụ là hình có hai kích thước h, 2R

Theo bài ta có:

h=2RSxq=4πh=2R2πRh=4πR=1h=2

Thiết diện song song với trục OO’ là hình chữ nhật ABB’A’

Dây cung AB căng một cung 120°

AOB^=120°

Tam giác OAB có:

AB=OA2+OB22.OA.OB.cosAOB^=3

Vì AA’ là đường sinh AA'=h=2

Diện tích thiết diện: SABB'A'=AB.AA'=23

Ví dụ 2: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng 3R2. Mặt phẳng (α)song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng R2. Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng (α).

Mặt trụ và phương pháp giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải

Thiết diện song song với trục OO’ là hình chữ nhật ABB’A’

OO’ // (ABB’A’)

dOO';α=dO;α=dO;AB

Gọi H là trung điểm AB

Mà OA = OB

OHAB

Tam giác OAH vuông tại H

AH=OA2OH2AH=R32AB=2AH=R3

Vậy SABB'A'=332R2

Dạng 4: Bài toán cực trị

Phương pháp giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho các số thực dương:

Dạng 2 số:

a+b2ababa2+b22

hoặc ab(a+b)24

Dạng 3 số:

a+b+c3abc3abca3+b3+c33

hoặc abc(a+b+c)327

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hình trụ có độ dài đường cao bằng 3, các đường tròn đáy lần lượt là (O; 1) và (O’; 1). Giả sử AB là đường kính cố định của (O; 1) và CD là đường kính thay đổi trên (O’; 1). Tìm giá trị lớn nhất Vmax của thể tích khối tứ diện ABCD.

Mặt trụ và phương pháp giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải

Mặt trụ và phương pháp giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Ví dụ 2: Cần sản xuất một vỏ hộp sữa hình trụ có thể tích V cho trước. Để tiết kiệm vật liệu nhất thì bán kính đáy phải bằng bao nhiêu?

Lời giải

Giả sử vỏ hộp sữa có bán kính đáy là R, chiều cao là h (R, h > 0)

Vì thể tích vỏ hộp là V nên ta có:

V=πR2hh=VπR2

Để tiết kiệm vật liệu nhất thì hình trụ vỏ hộp sữa phải có diện tích toàn phần nhỏ nhất

Mặt trụ và phương pháp giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

III. Bài tập áp dụng

Bài 1: Một mặt phẳng đi qua trục của một hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh a. Tính thể tích khối lăng trụ đó.

A. πa3

B. πa32

C. πa33

D. πa34

Bài 2: Cho hình lập phương cạnh a.Tính thể tích hình trụ ngoại tiếp hình lập phương

A. 3πa34

B. πa36

C. πa32

D. πa3

Bài 3: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 1, đáy lớn CD = 3, cạnh bên BC=DA=2. Cho hình thang đó quay quanh AB thì được vật tròn xoay có thể tích bằng

A. 43π

B. 53π

C. 23π

D. 73π

Bài 4 : Cho hình trụ có bán kính đáy R = 5 cm, chiều cao h = 7 cm. Tính diện tích xung quanh hình trụ

A. 85π(cm2)

B. 70π(cm2)

C. 35π(cm2)

D. 35π3(cm2)

Bài 5: Cho hình trụ có chiều cao bằng 62cm. Biết rằng một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song với AB, A’B’. Mà AB = A’B’ = 6cm. Diện tích tứ giác ABB’A’ bằng 60cm2. Tính bán kính đáy hình trụ

A. 4 cm

B. 5 cm

C. 32cm

D. 52cm

Bài 6: Trong tất cả các khối trụ có cùng thể tích 330. Xác định bán kính đáy của khối trụ có diện tích toàn phần nhỏ nhất

A. 165π3

B. 330π3

C. 165π

D. 330π

Bài 7:  Thể tích lớn nhất của khối trụ nội tiếp hình cầu có bán kính R bằng

A. 4πR339

B. 8πR333

C. 8πR339

D. 8πR327

Bài 8: Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình chữ nhật có chu vi bằng 12 cm. Thể tích lớn nhất mà hình trụ có thể nhận được là:

A. 8πcm3

B. 32πcm3

C. 16πcm3

D. 64πcm3

Bài 9: Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’, biết góc giữa mặt phẳng
(A’BC) và (ABC) bằng 45 độ. Diện tích tam giác A’BC bằng a26. Tính diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’.

A. 4πa233

B. 8πa233

C. 2πa2

D. 4πa2

Bài 10: Các hình trụ tròn xoay có diện tích toàn phần S không đổi, gọi chiều cao hình trụ là h và bán kính đáy hình trụ là r. Thể tích của khối trụ đó đạt giá trị lớn nhất khi:

A. h = 4r

B. h = 3r

C. h = 2r

D. h = r

Bài viết liên quan

177 lượt xem


Có thể bạn quan tâm