Nguyên hàm của hàm số phân thức hữu tỉ và cách giải - Toán lớp 12

Hamchoi.vn giới thiệu 50 Nguyên hàm của hàm số phân thức hữu tỉ và cách giải - Toán lớp 12 lớp 12 gồm các dạng bài tập có phương pháp giải chi tiết và các bài tập điển hình từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh biết cách làm. Bên cạnh có là 20 bài tập vận dụng để học sinh ôn luyện dạng Toán 12 này.

337 lượt xem


Nguyên hàm của hàm số phân thức hữu tỉ và cách giải - Toán lớp 12

A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Cho hàm số y = f(x) có dạng fx=PxQx trong đó P và Q là các đa thức, và P không chia hết cho Q.

- Hàm f(x) được gọi là hàm phân thức hữu tỉ thực sự nếu bậc của P < bậc của Q.

- Trong các bài toán tìm nguyên hàm và tích phân của hàm phân thức hữu tỉ, nếu f(x) chưa phải là hàm phân thức hữu tỉ thực sự thì ta thực hiện chia tử thức cho mẫu thức để được

fx=PxQx=Sx+RxQx=Sx+hx

Khi đó, hx sẽ là hàm phân thức hữu tỉ thực sự.

Ta có: Một phân thức thực sự luôn phân tích được thành tổng các phân thức đơn giản hơn. Đó là các biểu thức có dạng 1xa;1xak;ax+bx2+px+q;ax+bx2+px+qk là các hàm số có thể tìm nguyên hàm một cách dễ dàng. Để tách được phân thức ta dùng phương pháp hệ số bất định.

1. Trường hợp phương trình Q(x) = 0 có nghiệm thực và các nghiệm đều là nghiệm đơn.

Qx=a1x+b1a2x+b2...akxk+bk

(Số nhân tử chính bằng bậc của đa thức Qx).

Trong trường hợp này, g(x)  có thể biểu diễn dưới dạng:

gx=RxQx=A1a1x+b1+A2a2x+b2+...+Akakx+bk

Sau khi biểu diễn được g(x) về dạng này, bài toán trở thành bài toán cơ bản.

Ví dụ về cách phân tích:

4x3x23x+2=4x3x2x1=Ax1+Bx2=Ax2A+BxBx1x2

Khi đó A+Bx2AB=4x3, đồng nhất hệ số thì ta được

A+B=42A+B=3A=1B=5

Khi đó ta được: 

4x3x23x+2=4x3x2x1=1x1+5x2

2. Trường hợp Q(x) = 0 có nghiệm thực là nghiệm bội.

- Nếu phương trình Qx=0 có các nghiệm thực a1;a2;...;an trong đó a1 là nghiệm bội k thì ta phân tích gx=RxQx về dạng

Ví dụ về cách phân tích:

gx=A1xa1+A2xa12+...+Akxa1k+B1xa2+B2xa3+...+Bn+1xan

Từ đây, đồng nhất hệ số ta có  

Nguyên hàm của hàm số phân thức hữu tỉ và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

TỔNG QUÁT: Việc tính nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ thực sự sau khi phân tích được đưa về các dạng nguyên hàm sau:

1.  Axadx=A.lnxa+C,  k1

2.  Axakdx=Ak1.1xak1+C

3. Mở rộng: Nguyên hàm hàm phân thức chứa căn ở mẫu thức

3.1. Dạng 1: I=dxax2+bx+c

Phương pháp chung

Nguyên hàm của hàm số phân thức hữu tỉ và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

3.2. Dạng 2: I=mx+ndxax2+bx+c

Phương pháp chung

Nguyên hàm của hàm số phân thức hữu tỉ và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

3.3. Dạng 3:   I=dxpx+qax2+bx+c 

Phương pháp chung

Nguyên hàm của hàm số phân thức hữu tỉ và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

4. Nguyên hàm của một số nguyên hàm liên quan trong dạng bài này. Nguyên hàm của hàm số phân thức hữu tỉ và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

B. VÍ DỤ MINH HOẠ.

Ví dụ 1. Nguyên hàm 1x27x+6dx là:

A. 15lnx1x6+C

B. 15lnx6x1+C .

C. 15lnx27x+6+C .

D. 15lnx27x+6+C .

Lời giải

Ta có:

Nguyên hàm của hàm số phân thức hữu tỉ và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Đáp án đúng là B.

Ví dụ 2. Nguyên hàm 2x36x2+4x+1x23x+2dx là:

A. x2+lnx1x2+C

B. 12x2+lnx2x1+C

C. 12x2+lnx1x2+C

D. x2+lnx2x1+C .

Lời giải

Nguyên hàm của hàm số phân thức hữu tỉ và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Đáp án đúng là D.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=x3+3x2+3x7(x+1)2 với F(0) = 8 là:

A. x22+x+8x+1

B. x22+x8x+1

C.  x22x+8x+1

D. Một kết quả khác

Câu 2.  1x+1x+2dx  bằng:

A. lnx+1+lnx+2+C

B. lnx+1x+2+C

C. lnx+1+C

D. lnx+2+C

Câu 3.  x+1x23x+2dx bằng:

A. 3lnx22lnx1+C

B. 3lnx2+2lnx1+C

C. 2lnx23lnx1+C

D. 2lnx2+3lnx1+C

Câu 4.  1x24x5dx bằng:

A. lnx5x+1+C

B. 6lnx5x+1+C

C. 16lnx5x+1+C

D. 16lnx5x+1+C

Câu 5.  Tìm nguyên hàm: 1x(x3)dx

A. 13lnxx3+C

B. 13lnx+3x+C

C. 13lnxx+3+C

D. 13lnx3x+C

Câu 6.  1x2+6x+9dx  bằng:

A. 1x+3+C

B. 1x3+C

C. 1x3+C

D. 13x+C

Câu 7. Cho hàm fx=1x23x+2. Khi đó:

A. fxdx=lnx+1x+2+C

B. fxdx=lnx1x2+C

C. fxdx=lnx+2x+1+C

D. fxdx=lnx2x1+C

Câu 8. Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=1x24x+3 là

A. F(x)=12ln|x3x1|+C

B. F(x)=12ln|x1x3|+C

C. F(x)=ln|x24x+3|+C

D. F(x)=ln|x24x+3|+C

Câu 9. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x)=1x23x+2 thỏa mãn F 32 = 0. Khi đó F(3) bằng:

A. 2ln2

B. ln2

C. -2ln2

D. –ln2

Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết f(x)=2x+3x2+4x+3

A. x2+3xx2+4x+32+C

B. (2x+3)lnx2+4x+3+C

C. x2+3xx2+4x+3+C

D. 12lnx+1+3lnx+3+C

Câu 11. Tính dxx2+2x3

A. 14lnx1x+3+C

B. 14lnx+3x1+C

C. 14lnx+3x1+C

D. 14lnx1x+3+C

Câu 12. Họ nguyên hàm của f(x) =  1x(x+1) là:

A. F(x) = lnx+1x+C

B. F(x) = lnxx+1+C

C. F(x) =12lnxx+1+C

D. F(x) = lnx(x+1)+C

Câu 13. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x)=x3x2+2x3,F(0)=0 thì hằng số C bằng

A. 23ln3

B. 32ln3

C. 23ln3

D. 32ln3

Câu 14. Nguyên hàm của hàm số: y = dxa2x2 là:

A. 12alnaxa+x +C  

B. 12alna+xax +C

C. 1alnxax+a +C

D. 1alnx+axa +C

Câu 15. Nguyên hàm của hàm số: y =dxx2a2 là:

A. 12alnxax+a +C

B. 12alnx+axa +C

C. 1alnxax+a +C

D. 1alnx+axa +C

Câu 16. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số: f(x)=1x26x+5. Một học sinh trình bày như sau:

Nguyên hàm của hàm số phân thức hữu tỉ và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

(II) Nguyên hàm của các hàm số 1x5,   1x1 theo thứ tự là: lnx5,   lnx1

(III) Họ nguyên hàm của hàm số f(x) là: 

Nguyên hàm của hàm số phân thức hữu tỉ và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Nếu sai, thì sai ở phần nào?

A. I

B. I, II

C. II, III

D. III

Câu 17. Tính: P=x+1x2+1dx

A. P=xx2+1x+C

B. P=x2+1+lnx+x2+1+C

C. P=x2+1+ln1+x2+1x+C

D. Đáp án khác.

Câu 18. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số: y=14+x2

A. F(x)=24+x2

B. F(x)=x+24+x2

C. F(x)=lnx4+x2

D. F(x)=lnx+4+x2

Câu 19. Tính nguyên hàm dxx2+a?

A. lnxx2+a+C

B. ln2xx2+a+C

C. ln2x+x2+a+C

D. lnx+x2+a+C

Câu 20. Nguyên hàm của hàm số fx=2x1x3

A. Fx=2x1+1x12+C

B.  Fx=2x11x12+C

C. Fx=11x+141x4+C

D.  Fx=11x141x4+C

Đáp án

Nguyên hàm của hàm số phân thức hữu tỉ và cách giải – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bài viết liên quan

337 lượt xem


Có thể bạn quan tâm