Giải Sách bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai

Với giải sách bài tập Toán 10 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10 Bài 1

376 lượt xem


Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 1 trang 8 SBT Toán 10 Tập 2: Tính biệt thức và nghiệm (nếu có) của các tam thức bậc hai sau. Xác định dấu của chúng tại x = -2.

Sách bài tập Toán 10 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

a) Ta có:  ∆ = b2 – 4ac = 32 – 4.( –2).( –4) = –23 < 0 nên f(x) vô nghiệm và f (x) cùng dấu với a với mọi giá trị x.

Ta lại có: a = 0 – 2 < 0 nên tại x = – 2 thì f(– 2) < 0.

Vì vậy f(x) âm tại x = –2.

b) Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 82 – 4.2.8 = 0 nên g (x) = 0 có nghiệm kép là:

x0 = b2a = 82.2 = – 2. Do đó g (– 2) = 0.

 

Vì vậy g(x) không âm cũng không dương tại x = –2.

c) Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 72 – 4.3.( – 10 ) = 169 > 0 nên h(x) có hai nghiệm phân biệt lần lượt là:

Sách bài tập Toán 10 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

 

h(– 2) = 3.(– 2)2 + 7.(– 2) – 10 = – 12 < 0.

Vì vậy h(x) âm tại x = – 2.

Bài 2 trang 9 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để:

a) fx=2m8x2+2mx+1 là một tam thức bậc hai;

b) fx=2m+3x2+3x4m2 là một tam thức bậc hai có x = 3 là một 

c) fx=2x2+mx3 nghiệm;dương tại x = 2.

Lời giải:

a) fx là tam thức bậc hai khi và chỉ khi 2m – 8 ≠ 0 hay m ≠ 4.

b) fx là tam thức bậc hai khi và chỉ khi 2m + 3 ≠ 0 hay m ≠ 32.

Tam thức fx có x = 3 là một nghiệm khi và chỉ khi f (3) = (2m + 3) . 32 + 3.3 – 4m2 = 0

Suy ra – 4m+ 18m + 36 = 0 hay – 2m+ 9m + 18 = 0

Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 92 – 4.( –2 ).18 = 225 > 0 nên phương trình ẩn m có hai nghiệm phân biệt lần lượt là:

Sách bài tập Toán 10 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Vậy m = 6 thỏa mãn f(x) là tam thức bậc hai có x = 3 là một nghiệm.

c) fx=2x2+mx3 dương tại x = 2 khi và chỉ khi f (2) = 2.22 + 2m – 3 > 0

Suy ra 2m + 5 > 0 ⟺ m > 52.

Vậy m > 52 thì f(x) dương tại x = 2.

Bài 3 trang 9 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để:

a) fx=m2+9x2+m+6x+1 là một tam thức bậc hai có một nghiệm duy nhất;

b) fx=m1x2+3x+1 là một tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt;

c) fx=mx2+m+2x+1 là một tam thức bậc hai vô nghiệm.

Lời giải:

a) fx là một tam thức bậc hai khi và chỉ khi m2 + 9 ≠ 0, mà m2 + 9 > 0, đúng với mọi m ∈ R.

fx có một nghiệm duy nhất khi ∆ = b2 – 4ac = (m + 6)2 – 4.(m2 + 9).1 = 0

⇔ –3m2 + 12m = 0

⇔ 3m.(4 – m) = 0

⇔ m = 0 hoặc m = 4

Vậy m = 0 hoặc m = 4 là một tam thức bậc hai có một nghiệm duy nhất.

b) fx là một tam thức bậc hai khi và chỉ khi m – 1 ≠ 0 hay m ≠ 1.

fx có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆ = b2 – 4ac = 32 – 4. (m – 1 ).1 > 0

⇔ 13 – 4m > 0

⇔ m < 134.

Vậy m < 134 thì f(x) là một tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt.

c) f(x) là một tam thức bậc hai khi a = m ≠ 0.

Ta có: ∆ = (m + 2)2 – 4m = m2 + 4 > 0

Để f(x) vô nghiệm thì ∆ < 0 ⇔ m2 + 4 < 0

Mà m2 + 4 > 0 với mọi m nên không tồn tại giá trị của m thỏa mãn.

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu.

Bài 4 trang 9 SBT Toán 10 Tập 2: Dựa vào đồ thị của các hàm số bậc hai được cho trong hình dưới đây, xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng:

Sách bài tập Toán 10 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

a) Quan sát hình vẽ a), ta thấy:

Đồ thị hàm số nằm trên trục hoành khi x < – 2,5 hoặc x > 3 hay f(x) > 0 khi x ∈ ( – ∞; – 2,5) ∪ (3; + ∞).

Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm x = – 2,5 và x = 3 hay f(x) = 0 khi x = – 2,5 và x = 3.

Đồ thị hàm số nằm dưới trục hoành khi – 2,5 < x < 3 hay f(x) < 0 khi x ∈ (– 2,5; 3).

b) Quan sát hình vẽ b) ta thấy:

Đồ thị hàm số nằm trên trục hoành khi x ≠ –1 hay g(x) > 0 khi x ≠ –1.

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm x =  –1 hay fgx) = 0 khi x = – 1.

c) Đồ thị hàm số nằm dưới trục hoành với mọi x ∈ ℝ hay f(x) < 0 với mọi x ∈ ℝ.

Bài 5 trang 9 SBT Toán 10 Tập 2: Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:

Sách bài tập Toán 10 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Lời giải:

a) Ta có: ∆ = b2 – 4ac = (– 5)2 – 4.1.4 = 9 > 0 nên f (x) có hai nghiệm phân biệt lần lượt là:

Sách bài tập Toán 10 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Như vậy, f (x) có a = 1 > 0, ∆ > 0 và có hai nghiệm x1 = 1, x2 = 4 nên áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai, ta có:

f (x) âm trong khoảng (1;  4).

f (x) dương trong khoảng (–∞; 1) và (4; +∞).

b) Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 22 – 4.13.( –3) = 0 nên f (x) có nghiệm kép x0 = -b2a = 3.

Như vậy, f (x) có a = 13 < 0, ∆ = 0 nên f (x) âm với mọi x ≠ 3.

c) Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 62 – 4.3.4 = –12 < 0, a = 3 > 0 nên f (x) dương với mọi x ∈ ℝ.

d) Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 32 – 4.(–2).5 = 49 > 0 nên f (x) có hai nghiệm phân biệt lần lượt là:

Sách bài tập Toán 10 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Như vậy, f (x) có a = –2  < 0, ∆ > 0 và có hai nghiệm x1 = –1, x2 = 52 nên:

f (x) dương trong khoảng ( –1; 52).

f (x) âm trong khoảng (–52; –1) và (52; +).

e) Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 32 – 4.( –6 ) .( –1 ) = –15 < 0, a = –6  < 0 nên f ( x ) âm với mọi x ∈ ℝ.

g) Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 122 – 4.4.9 = 0 nên f (x) có nghiệm kép 32

Như vậy, f (x) có a = 4 > 0, ∆ = 0 nên f (x) dương với mọi x ≠ 32.

Bài 6 trang 9 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để:

a) fx=m+1x2+5x+2 là tam thức bậc hai không đổi dấu trên ℝ,

b) fx=mx27x+4 là tam thức bậc hai âm với mọi x ∈ ℝ;

c) fx=3x24x+3m1 là tam thức bậc hai dương với mọi x ∈ ℝ;

d) fx=m2+1x23mx+1 là tam thức bậc hai âm với mọi x ∈ ℝ.

Lời giải:

a) f (x) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi m + 1 ≠ 0 hay m ≠  –1

f (x) không đổi dấu trên ℝ khi và chỉ khi ∆ = b2 – 4ac = 52 – 4.( m + 1 ). 2 < 0

⇔ 17 – 8m < 0

⇔ m > 178.

Vậy m > 178 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) f (x) là tam thức bậc hai âm với mọi x ∈ ℝ khi và chỉ khi m < 0 và

∆ = b2 – 4ac = 49 – 16m < 0 ⇔ m > 4916 

Do đó m thỏa mãn đồng thời m < 0 và m > 4916 (vô lí).

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

c) Do f (x) có a = 3 > 0 nên f (x) là tam thức bậc hai dương với mọi x ∈ ℝ khi và chỉ khi ∆’ = 4 – 3.(3m – 1 ) < 0

⇔ 7 – 9m < 0

⇔ m > 79

Vậy m > 79 thoả mãn yêu cầu đề bài.

d) f (x) là tam thức bậc hai âm với mọi x ∈ ℝ khi và chỉ khi a = m2 + 1 < 0 và ∆ < 0.

Ta có m2 ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ 

⇒ a = m2 + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Như vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 7 trang 10 SBT Toán 10 Tập 2: Chứng minh rằng:

a) 2x2+3x+1>0 với mọi x ∈ ℝ;

b) x2+x+140với mọi x ∈ ℝ,

c) x2<2x+3 với mọi x ∈ ℝ.

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai 2x2+3x+1 có a = 2 > 0, ∆ = 3 – 4.2.1 = –5 < 0 với mọi x ∈ ℝ. Như vậy 2x2+3x+1>0 với mọi x ∈ ℝ.

b) Tam thức bậc hai x2+x+140 có a = 1 > 0, ∆ = 1 – 4.1.14 = 0 nên x2+x+140 với mọi x ∈ ℝ.

c) Tam thức bậc hai –x2 + 2x – 3 có a = –1 < 0, ∆ = 4 – 4.( –1).( –3) = –8 < 0 với mọi x ∈ ℝ. Như vậy –x2 + 2x – 3 < 0 với mọi x ∈ ℝ hay x2<2x+3 với mọi x ∈ ℝ.

Bài 8 trang 10 SBT Toán 10 Tập 2:Xác định giá trị của các hệ số a, b, c và xét dấu của tam thức bậc hai fx=x2+bx+c trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị của hàm số fx đi qua ba điểm có toạ độ là (– 1; – 4), (0; 3) và (1; –14);

b) Đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua ba điểm có toa độ là (0; –2), (2; 6) và (3; 13);

c) f(– 5) = 33, f (0) = 3 và f(2) = l9.

Lời giải:

a) Theo đề bài:

Đồ thị của hàm số y=fx đi qua điểm có toạ độ là (– 1; – 4) nên –4 = a – b + c (1)

Đồ thị của hàm số y=fx đi qua điểm có toạ độ là (0; 3) nên 3 = c (2)

Đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua điểm có toạ độ là (1; – 14) nên –14 = a + b + c (3)

Thay (2) vào phương trình (1) và (3) ta có:

ab=7a+b=172a=24a+b=17a=1212+b=17a=12b=5 

 

Vậy f (x) = –12x2 – 5x + 3.

Xét f ( x ) = –12x2 – 5x + 3 có ∆ = (– 5)2 – 4.(–12).3 = 169 > 0 nên f (x) có hai nghiệm phân biệt lần lượt là:

Sách bài tập Toán 10 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Như vậy, f (x) có a = –12 < 0, ∆ > 0 và có hai nghiệm x1 = –34, x2 = 13  nên:

f (x) dương trong khoảng ( –34; 13 ).

f (x) âm trong khoảng -;-34 và 13;+

b) Ta có:

Đồ thị của hàm số y=fx đi qua điểm có toạ độ là (0; – 2) nên –2 = c (1)

Đồ thị của hàm số y=fx đi qua ba điểm có toạ độ là (2; 6) nên 6 = 4a + 2b + c (2)

Đồ thị của hàm số y=fx đi qua ba điểm có toạ độ là (3; 13) nên 13 = 9a + 3b + c (3).

Thay (1) vào phương trình (2) và (3) ta có:

4a + 2b=89a+3b=152a + b=43a+b=5=13.1+b=5=1b=2 

 

Do đó f (x) = x2 + 2x – 2.

Xét f ( x ) = x2 + 2x – 2 có ∆ = 22 – 4.( –2 ).1 = 12 nên f ( x ) có hai nghiệm phân biệt lần lượt là:

Sách bài tập Toán 10 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Như vậy, f (x) có a = 1 > 0, ∆ > 0 và có hai nghiệm x1 = –1 + 3, x2 = –1 – 3 nên:

f (x) âm trong khoảng ( –1 – 3; –1 + 3 ).

f (x) dương trong khoảng Sách bài tập Toán 10 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai - Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

c) Ta có:

f(– 5) = 33 nên 33 = 25a – 5b + c (1)

f (0) = 3 nên 3 = c (2)

f(2) = 19 nên 19 = 4a + 2b + c (3)

Thay (2) vào phương trình (1) và (3) ta có 25a5b=304a+2b=16 . Giải hệ phương trình ta được a = 2 và b =  4.

Vậy f (x) = 2x2 + 4x + 3.

Xét f (x) = 2x2 + 4x +3 có ∆ = 42 – 4.2.3 = –8 < 0, a = 2 > 0 nên f (x) dương với mọi x ∈ ℝ.

Bài viết liên quan

376 lượt xem