Giải Sách bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai
Với giải sách bài tập Toán 10 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10 Bài 1
Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai
Bài 1 trang 8 SBT Toán 10 Tập 2: Tính biệt thức và nghiệm (nếu có) của các tam thức bậc hai sau. Xác định dấu của chúng tại x = -2.
Lời giải:
a) Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 32 – 4.( –2).( –4) = –23 < 0 nên f(x) vô nghiệm và f (x) cùng dấu với a với mọi giá trị x.
Ta lại có: a = 0 – 2 < 0 nên tại x = – 2 thì f(– 2) < 0.
Vì vậy f(x) âm tại x = –2.
b) Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 82 – 4.2.8 = 0 nên g (x) = 0 có nghiệm kép là:
x0 = = = – 2. Do đó g (– 2) = 0.
Vì vậy g(x) không âm cũng không dương tại x = –2.
c) Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 72 – 4.3.( – 10 ) = 169 > 0 nên h(x) có hai nghiệm phân biệt lần lượt là:
h(– 2) = 3.(– 2)2 + 7.(– 2) – 10 = – 12 < 0.
Vì vậy h(x) âm tại x = – 2.
Bài 2 trang 9 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để:
a) là một tam thức bậc hai;
b) là một tam thức bậc hai có x = 3 là một
c) nghiệm;dương tại x = 2.
Lời giải:
a) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi 2m – 8 ≠ 0 hay m ≠ 4.
b) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi 2m + 3 ≠ 0 hay m ≠ .
Tam thức có x = 3 là một nghiệm khi và chỉ khi f (3) = (2m + 3) . 32 + 3.3 – 4m2 = 0
Suy ra – 4m2 + 18m + 36 = 0 hay – 2m2 + 9m + 18 = 0
Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 92 – 4.( –2 ).18 = 225 > 0 nên phương trình ẩn m có hai nghiệm phân biệt lần lượt là:
Vậy m = 6 thỏa mãn f(x) là tam thức bậc hai có x = 3 là một nghiệm.
c) dương tại x = 2 khi và chỉ khi f (2) = 2.22 + 2m – 3 > 0
Suy ra 2m + 5 > 0 ⟺ m > .
Vậy m > thì f(x) dương tại x = 2.
Bài 3 trang 9 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để:
a) là một tam thức bậc hai có một nghiệm duy nhất;
b) là một tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt;
c) là một tam thức bậc hai vô nghiệm.
Lời giải:
a) là một tam thức bậc hai khi và chỉ khi m2 + 9 ≠ 0, mà m2 + 9 > 0, đúng với mọi m ∈ R.
có một nghiệm duy nhất khi ∆ = b2 – 4ac = (m + 6)2 – 4.(m2 + 9).1 = 0
⇔ –3m2 + 12m = 0
⇔ 3m.(4 – m) = 0
⇔ m = 0 hoặc m = 4
Vậy m = 0 hoặc m = 4 là một tam thức bậc hai có một nghiệm duy nhất.
b) là một tam thức bậc hai khi và chỉ khi m – 1 ≠ 0 hay m ≠ 1.
có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆ = b2 – 4ac = 32 – 4. (m – 1 ).1 > 0
⇔ 13 – 4m > 0
⇔ m < .
Vậy m < thì f(x) là một tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt.
c) f(x) là một tam thức bậc hai khi a = m ≠ 0.
Ta có: ∆ = (m + 2)2 – 4m = m2 + 4 > 0
Để f(x) vô nghiệm thì ∆ < 0 ⇔ m2 + 4 < 0
Mà m2 + 4 > 0 với mọi m nên không tồn tại giá trị của m thỏa mãn.
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu.
Bài 4 trang 9 SBT Toán 10 Tập 2: Dựa vào đồ thị của các hàm số bậc hai được cho trong hình dưới đây, xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng:
Lời giải:
a) Quan sát hình vẽ a), ta thấy:
Đồ thị hàm số nằm trên trục hoành khi x < – 2,5 hoặc x > 3 hay f(x) > 0 khi x ∈ ( – ∞; – 2,5) ∪ (3; + ∞).
Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm x = – 2,5 và x = 3 hay f(x) = 0 khi x = – 2,5 và x = 3.
Đồ thị hàm số nằm dưới trục hoành khi – 2,5 < x < 3 hay f(x) < 0 khi x ∈ (– 2,5; 3).
b) Quan sát hình vẽ b) ta thấy:
Đồ thị hàm số nằm trên trục hoành khi x ≠ –1 hay g(x) > 0 khi x ≠ –1.
Đồ thị cắt trục hoành tại điểm x = –1 hay fgx) = 0 khi x = – 1.
c) Đồ thị hàm số nằm dưới trục hoành với mọi x ∈ ℝ hay f(x) < 0 với mọi x ∈ ℝ.
Bài 5 trang 9 SBT Toán 10 Tập 2: Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:
Lời giải:
a) Ta có: ∆ = b2 – 4ac = (– 5)2 – 4.1.4 = 9 > 0 nên f (x) có hai nghiệm phân biệt lần lượt là:
Như vậy, f (x) có a = 1 > 0, ∆ > 0 và có hai nghiệm x1 = 1, x2 = 4 nên áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai, ta có:
f (x) âm trong khoảng (1; 4).
f (x) dương trong khoảng (–∞; 1) và (4; +∞).
b) Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 22 – 4..( –3) = 0 nên f (x) có nghiệm kép x0 = = 3.
Như vậy, f (x) có a = < 0, ∆ = 0 nên f (x) âm với mọi x ≠ 3.
c) Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 62 – 4.3.4 = –12 < 0, a = 3 > 0 nên f (x) dương với mọi x ∈ ℝ.
d) Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 32 – 4.(–2).5 = 49 > 0 nên f (x) có hai nghiệm phân biệt lần lượt là:
Như vậy, f (x) có a = –2 < 0, ∆ > 0 và có hai nghiệm x1 = –1, x2 = nên:
f (x) dương trong khoảng ( –1; ).
f (x) âm trong khoảng (–; –1) và (; +).
e) Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 32 – 4.( –6 ) .( –1 ) = –15 < 0, a = –6 < 0 nên f ( x ) âm với mọi x ∈ ℝ.
g) Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 122 – 4.4.9 = 0 nên f (x) có nghiệm kép
Như vậy, f (x) có a = 4 > 0, ∆ = 0 nên f (x) dương với mọi x ≠ .
Bài 6 trang 9 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để:
a) là tam thức bậc hai không đổi dấu trên ℝ,
b) là tam thức bậc hai âm với mọi x ∈ ℝ;
c) là tam thức bậc hai dương với mọi x ∈ ℝ;
d) là tam thức bậc hai âm với mọi x ∈ ℝ.
Lời giải:
a) f (x) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi m + 1 ≠ 0 hay m ≠ –1
f (x) không đổi dấu trên ℝ khi và chỉ khi ∆ = b2 – 4ac = 52 – 4.( m + 1 ). 2 < 0
⇔ 17 – 8m < 0
⇔ m > .
Vậy m > thỏa mãn yêu cầu đề bài.
b) f (x) là tam thức bậc hai âm với mọi x ∈ ℝ khi và chỉ khi m < 0 và
∆ = b2 – 4ac = 49 – 16m < 0 ⇔ m >
Do đó m thỏa mãn đồng thời m < 0 và m > (vô lí).
Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
c) Do f (x) có a = 3 > 0 nên f (x) là tam thức bậc hai dương với mọi x ∈ ℝ khi và chỉ khi ∆’ = 4 – 3.(3m – 1 ) < 0
⇔ 7 – 9m < 0
⇔ m >
Vậy m > thoả mãn yêu cầu đề bài.
d) f (x) là tam thức bậc hai âm với mọi x ∈ ℝ khi và chỉ khi a = m2 + 1 < 0 và ∆ < 0.
Ta có m2 ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ
⇒ a = m2 + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.
Như vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Bài 7 trang 10 SBT Toán 10 Tập 2: Chứng minh rằng:
a) với mọi x ∈ ℝ;
b) với mọi x ∈ ℝ,
c) với mọi x ∈ ℝ.
Lời giải:
a) Tam thức bậc hai có a = 2 > 0, ∆ = 3 – 4.2.1 = –5 < 0 với mọi x ∈ ℝ. Như vậy với mọi x ∈ ℝ.
b) Tam thức bậc hai có a = 1 > 0, ∆ = 1 – 4.1. = 0 nên với mọi x ∈ ℝ.
c) Tam thức bậc hai –x2 + 2x – 3 có a = –1 < 0, ∆ = 4 – 4.( –1).( –3) = –8 < 0 với mọi x ∈ ℝ. Như vậy –x2 + 2x – 3 < 0 với mọi x ∈ ℝ hay với mọi x ∈ ℝ.
Bài 8 trang 10 SBT Toán 10 Tập 2:Xác định giá trị của các hệ số a, b, c và xét dấu của tam thức bậc hai trong mỗi trường hợp sau:
a) Đồ thị của hàm số đi qua ba điểm có toạ độ là (– 1; – 4), (0; 3) và (1; –14);
b) Đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua ba điểm có toa độ là (0; –2), (2; 6) và (3; 13);
c) f(– 5) = 33, f (0) = 3 và f(2) = l9.
Lời giải:
a) Theo đề bài:
Đồ thị của hàm số đi qua điểm có toạ độ là (– 1; – 4) nên –4 = a – b + c (1)
Đồ thị của hàm số đi qua điểm có toạ độ là (0; 3) nên 3 = c (2)
Đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua điểm có toạ độ là (1; – 14) nên –14 = a + b + c (3)
Thay (2) vào phương trình (1) và (3) ta có:
Vậy f (x) = –12x2 – 5x + 3.
Xét f ( x ) = –12x2 – 5x + 3 có ∆ = (– 5)2 – 4.(–12).3 = 169 > 0 nên f (x) có hai nghiệm phân biệt lần lượt là:
Như vậy, f (x) có a = –12 < 0, ∆ > 0 và có hai nghiệm x1 = –, x2 = nên:
f (x) dương trong khoảng ( –; ).
f (x) âm trong khoảng và
b) Ta có:
Đồ thị của hàm số đi qua điểm có toạ độ là (0; – 2) nên –2 = c (1)
Đồ thị của hàm số đi qua ba điểm có toạ độ là (2; 6) nên 6 = 4a + 2b + c (2)
Đồ thị của hàm số đi qua ba điểm có toạ độ là (3; 13) nên 13 = 9a + 3b + c (3).
Thay (1) vào phương trình (2) và (3) ta có:
Do đó f (x) = x2 + 2x – 2.
Xét f ( x ) = x2 + 2x – 2 có ∆ = 22 – 4.( –2 ).1 = 12 nên f ( x ) có hai nghiệm phân biệt lần lượt là:
Như vậy, f (x) có a = 1 > 0, ∆ > 0 và có hai nghiệm x1 = –1 + , x2 = –1 – nên:
f (x) âm trong khoảng ( –1 – ; –1 + ).
f (x) dương trong khoảng
c) Ta có:
f(– 5) = 33 nên 33 = 25a – 5b + c (1)
f (0) = 3 nên 3 = c (2)
f(2) = 19 nên 19 = 4a + 2b + c (3)
Thay (2) vào phương trình (1) và (3) ta có . Giải hệ phương trình ta được a = 2 và b = 4.
Vậy f (x) = 2x2 + 4x + 3.
Xét f (x) = 2x2 + 4x +3 có ∆ = 42 – 4.2.3 = –8 < 0, a = 2 > 0 nên f (x) dương với mọi x ∈ ℝ.
Bài viết liên quan
- Chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
- Chương 10: Xác suất
- Giải Sách bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn
- Giải Sách bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai
- Giải Sách bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 7