Thứ sáu, 01/11/2024
IMG-LOGO

Thi Online Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán THPT năm 2022 có đáp án - đề 28

  • 14570 lượt thi

  • 50 câu hỏi

  • 90 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Hàm số y=log73x+1 có tập xác định là:

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số xác định khi 3x+1>0x>13. Tập xác định: D=13;+


Câu 3:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau (ảnh 1)

Số điểm cực đại của hàm số đã cho bằng:

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số đạt cực đại tại các điểm x=±2.

Vậy số điểm cực đại của hàm số đã cho bằng 2.


Câu 4:

Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [0;1], biết F1=2 và 11x+1Fxdx=1. Giá trị tích phân S=11x+12fxdx là:

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: 

S=11x+12fxdx=11x+12dFx=Fxx+1211211x+1Fxdx=6


Câu 5:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: Đồ thị hàm số (ảnh 1)

Đồ thị hàm số y=1f2020x2 có bao nhiêu tiệm cận đứng?

Xem đáp án

Đáp án B

Dựa vào bảng biến thiên, ta có f(x) = 2 có 3 nghiệm.

Suy ra đồ thị hàm số y=1f2020x2 có 3 tiệm cận đứng.


Câu 6:

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng P:3x2y+2z5=0 và Q:4x+5yz+1=0. Các điểm A, B phân biệt cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Khi đó AB cùng phương với vectơ nào sau đây?

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: PnP=3;2;2,QnQ=4;5;1.

Do ABPABQABnPABnQ nên đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là: u=nQ;nP=8;11;23

Do AB cũng là một vectơ chỉ phương của AB nên AB//u=8;11;23


Câu 7:

Giá trị lớn nhất M của hàm số y=fx=x55x320x+2 trên đoạn [−1;3] là:

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: f'x=5x415x220.

f'x=05x415x220=0x2=4x2=1. Do x20x2=4x=±2.

x1;3 nên x = 2.

Ta có f1=26,f2=46,f3=50.

So sánh các giá trị ta được giá trị lớn nhất của hàm số là M = 50.


Câu 8:

Cho log1215=a. Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án A

Đáp án B sai vì theo giả thiết log1215=alog2151=alog25=a.

Đáp án C sai vì log54=log522=2log52=2log25=2a.

Đáp án D sai vì log215+log2125=log251+log252=log252log25=3a.

Đáp án A đúng vì log225+log25=log252+log2512=2log25+12log25=5a2


Câu 9:

Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, V1 là thể tích tứ diện A’ABD. Hệ thức nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi a là cạnh của hình lập phương.

Khi đó ta có V=a3 và V1=13.12a2.a=a36.

Vậy V=6V1.

Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, V1 là thể tích (ảnh 1)


Câu 10:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo bằng a3. Thể tích khối chóp A’.ABCD bằng:

Xem đáp án

Đáp án B

Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo bằng a3 nên có cạnh bằng a.

Khối chóp A’.ABCD có chiều cao AA’ = a, diện tích đáy a2 có thể tích là: V=13.a.a2=13a3

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo bằng (ảnh 1)


Câu 12:

Cho hàm số gx=xx2tsintdt xác định với mọi x > 0. Tính g’(x) được kết quả:

Xem đáp án

Đáp án B

Ta gọi F(t) là nguyên hàm của  tsint.

Ta có gx=xx2tsintdt=Fx2Fx

g'x=2x2F'x212xF'xg'x=2x2sinx2sinx2x4


Câu 13:

Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=mx+4x+m nghịch biến khoảng (1;+∞) là:

Xem đáp án

Đáp án B

Tập xác định của hàm số là D=;mm;+.

Ta có y'=m24x+m2. Để hàm số nghịch biến trên khoảng 1;+ thì m1m24<01m<2.

Vậy giá trị cần tìm của m là 1m<2


Câu 14:

Thể tích của khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh bằng 2πa2 là:

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: Sxq=2πa2πrl=2πa2r.2a=2a2r=ah=a3.

Thể tích của khối nón là V=13πr2h=πa333


Câu 15:

Cho mặt cầu S(O;r) và một điểm A với OA > R. Từ A dựng các tiếp tuyến với mặt cầu S(O;r), gọi M là tiếp điểm bất kì. Tập hợp các điểm M là:

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên OA.

Xét tam giác OMA vuông tại M có:

1MH2=1MO2+1MA21MH2=1r2+1OA2r2

MH không đổi và H cố định.

Vậy M thuộc đường tròn (H;MH).

Cho mặt cầu S(O;r) và một điểm A với OA > R. Từ A dựng (ảnh 1)


Câu 16:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;−3;2). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua M và cắt các trục tọa độ tại A, B, C thỏa mãn OA = OB = OC ≠ 0?

Xem đáp án

Đáp án C

Giả sử mặt phẳng (α) cần tìm cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại Aa;0;0,B0;b;0,C0;0;c.

Điều kiện (a,b,c ≠0). Phương trình mặt phẳng α:xa+yb+zc=1.

Mặt phẳng (α) đi qua nên α:1a3b+2c=1     *

Theo bài ra OA=OB=OC0a=b=c0a=b=c       1a=b=c     2a=b=c     3a=b=c   4.

Thay (1) vào (*), ta có phương trình vô nghiệm.

Thay (2), (3), (4) vào (*), ta được tương ứng a=4,a=6,a=34.

Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài.


Câu 17:

Cho hai số thực x, y thỏa mãn x0;y0x+y=1. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=4x2+3y4y2+3x+25xy. Khi đó có giá trị bằng:

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:

P=4x2+3y4y2+3x+25xy=16xy2+34xy+12x3+y3=16xy2+34xy+12x+yx+y23xy=16xy22xy+12.

Ta có: 0xx+y24=14;xy=0x=0 hoặc y=0;xy=14x=y=12.

Đặt t = xy thì P=ft=16t22t+12 với t0;14

f't=32t2;f't=0t=116;f0=12;f116=19116;f14=252

Vậy M=252;m=19116. Do đó M+8m=108


Câu 18:

Có một mảnh bìa hình chữ nhật ABCD với AB=4a, AD=2a. Người ta đánh dấu M là trung điểm của AB, NP là các điểm thuộc CD sao cho DN=CP=a. Sau đó người ta cuốn mảnh bìa lại sao cho cạnh BC trùng với cạnh AD tạo thành một hình trụ. Thể tích của tứ diện AMNP với các đỉnh A, M, N, P nằm trên hình trụ vừa tạo thành bằng:

một mảnh bìa hình chữ nhật ABCD với AB=4a, AD=2a (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án C

Mảnh bìa sau khi được cuốn lại trở thành hình trụ như hình vẽ với AB,DC.

Ta dễ thấy AMNP và dAM,NP=AD=2a. Khi đó:

VAMNP=16.AM.NP.dAM,NP.sinAM,NP=16.AM.NP.AD.

2πR=AB nên R=2aπAM=NP=2R=4aπVAMNP=16a33π2.

một mảnh bìa hình chữ nhật ABCD với AB=4a, AD=2a (ảnh 2)


Câu 19:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và a > 0. Giả sử rằng với mọi x0;a, ta có f(x) > 0 và fxfax=1. Giá trị tích phân I=0adx1+fx là:

Xem đáp án

Đáp án A

Từ giả thiết, suy ra fax=1fx

Đặt t=axdt=dx. Đổi cận x=0t=ax=at=0.

Khi đó I=a0dt1+fat=0adt1+1ft=0aftdtft+1=0afxdxfx+1

Suy ra 2I=I+I=0afxdxfx+1+0afxdxfx+1=0adx=aI=a2


Câu 20:

Trên mặt phẳng phức, tập hợp các số phức z=x+yi thỏa mãn z+2+i=z¯3i là đường thẳng có phương trình:

Xem đáp án

Đáp án D

Từ z=x+yiz¯=xyi.

Do đó

x+yi+2+i=xyi3ix+2+y+1i=xy+3ix+22+y+12=x2+y+324x+2y+5=6y+9y=x1.


Câu 21:

Cho hàm số fx=x33x+m+2. Có bao nhiêu số nguyên dương m50 sao cho với mọi bộ ba số thực a,b,c1;3 thì f(a), f(b), f(c) là độ dài ba cạnh một tam giác nhọn?

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt gx=x33x+2max1;3gx=20;min1;3gx=0. Khi đó fx=m+gx.

Ta có:

fa+fb>fc,a,b,c1;3m>gcga+gb,a,b,c1;3m>max1;3gx2min1;3gxm>20.

f2a+f2b>f2c,a,b,c1;3m+ga2+m+gb2>m+gc2,a,b,c1;3m2+2ga+gbgcm+g2a+g2bg2c>0,a,b,c1;3m+ga+gbgc22gagb+2gagc+2gbgc2g2c>0,a,b,c1;3m+ga+gbgc2>2gagcgbgc,a,b,c1;3m+ga+gbgc2>2max1;3gxmin1;3gx2,a,b,c1;3m>max1;3gx+2022min1;3gxm49.


Câu 22:

Biết đồ thị hàm số y=mnx2+mx+1x2+mx+n6 (m, n là tham số) nhận trục hoành và trục tung làm hai đường tiệm cận. Giá trị của tổng bằng:

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có limx+y=limx+mnx2+mx+1x2+mx+n6=mn suy ra y=mn là đường tiệm cận ngang.

Theo giả thiết đồ thị hàm số trên nhận trục hoành và trục tung làm hai đường tiệm cận nên ta có: mn=0n6=0m=6n=6m+n=12.


Câu 23:

Cho hàm số f(x) liên tục, có đạo hàm tới cấp hai trên R và f0=0,f2=2,f'0=1 và 02x23x+2f''xdx=10. Giá trị tích phân I=02fxdx là:

Xem đáp án

Đáp án B

Nhận thấy cần phân tích tích phân 02x23x+2f''xdx=10   1

Ta sử dụng phương pháp chia làm hai cột để làm tích phân từng phần cho nhanh.

Cho hàm số f(x) liên tục, có đạo hàm tới cấp hai trên R và (ảnh 1)

1x23x+2f'x022x3fx02+202fxdx=102f'0f23f0+202fxdx=1002fxdx=5.


Câu 24:

Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho. Thể tích khối tứ diện OO’AB theo a là:

Xem đáp án

Đáp án B

Kẻ đường sinh AA’. Gọi D là điểm đối xứng với A’ qua O’ và H là hình chiếu của B trên đường thẳng A’D.

Do BHA'D,BHAA'BHAOO'A'.

A'B=AB2A'A2=a3BD=A'D2A'B2=aΔO'BD đều.

Do ΔO'BD đều nên BH=a32.

Lại có SΔAOO'=a22, suy ra thể tích khối tứ diện OO’AB là V=3a312.

Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ (ảnh 1)


Câu 25:

Cho a là số thực dương a≠1. Biết bất phương trình 2logaxx1 có nghiệm đúng với mọi x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án A

Cách 1: Đặt fx=2logaxx+1.

Ta có fx=2logaxx+10f1=0x>0max0;+fx=0.

Suy ra x = 1 là điểm cực đại của hàm số f(x).

Do đó f'1=2lna1=0lna=2a=e27;8.

Cách 2: 2logaxx1logaxx1a1;x>0 .

Yêu cầu bài toán tương đương đồ thị y=logax không nằm trên đường thẳng y=x1,x>0a>1.

Suy ra đường thẳng phải là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

Do đó y'1=1lna=0lna=1a=e27;8.


Câu 26:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn z2i=1+iz là một đường tròn. Tọa độ tâm I của đường tròn là:

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt z=x+yix;y.

Ta có:

z2i=1+izx+yi2i=1+ix+yix+y2i=xy+x+yix2+y22=xy2+x+y2x2+y2+4y4=0.

Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm I(0;−2).


Câu 27:

Cho a=log712 và b=log1214. Biểu diễn c=log8454 theo a và b, ta được kết quả:

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có a=log712=log722.3=2log72+log73    1.

b=log1214=log714log712=log77.2a=1+log72a1+log72=ablog72=ab1.

Thay log72=ab1 vào (1) ta được a=2ab1+log73log73=a2ab1.

Do đó 

c=log8454=log754log784=log72.33log722.3.7=log72+3log732log72+log73+1=3a+51aba+1.


Câu 28:

Hàm số y = f(x) có f(−2) = f(2) = 0 và y = f’(x) như hình vẽ. Hàm số gx=f3x2 nghịch biến trên khoảng nào?

Hàm số y = f(x) có f(−2) = f(2) = 0 và y = f’(x) như hình vẽ (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có g'x=2f3xf'3x.

Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau:

Hàm số y = f(x) có f(−2) = f(2) = 0 và y = f’(x) như hình vẽ (ảnh 2)

Khi đó ta thấy rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm kép không được chọn và bản thân phương trình f(3−x) = 0 cũng thế.

Do vậy f'3x=03x=23x=13x=2x=5x=2x=1.

Lập trục xét dấu: 

Hàm số y = f(x) có f(−2) = f(2) = 0 và y = f’(x) như hình vẽ (ảnh 3)

Từ trục xét dấu, suy ra hàm số g(x) nghịch biến trên các khoảng (−∞;1) và (2;5).


Câu 29:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4;2;−6), B(2;4;1). Gọi d là đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác ABO sao cho tổng khoảng cách từ A, B đến d là lớn nhất. Trong các vectơ sau, vectơ nào là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d?

Xem đáp án

Đáp án A

Ta gọi AE và BF lần lượt là khoảng cách từ các điểm A, B tới đường thẳng d và gọi G là trọng tâm của tam giác ABO.

Khi đó AE+BFAG+BG. Do vậy giá trị lớn nhất của tổng khoảng cách giữa hai điểm A, B tới đường thẳng d là AG+BG và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi d là đường thẳng qua G đồng thời vuông góc với AG, BG.

Do vậy ud=AG,BG=263;163;4, ta chọn u=13;8;6

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4;2;−6), B(2;4;1). Gọi d (ảnh 1)


Câu 30:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) chứa d:x11=y+21=z2 và tạo với trục Oy một góc lớn nhất. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng P:x+by+cz+d=0. Giá trị b+c+d là:

Xem đáp án

Đáp án D

Cách 1: Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và (P) tạo với Oy góc lớn nhất.

Vì (P) chứa d nên (P) đi qua điểm M(1;−2;0).

Phương trình mặt phẳng (P) là P:ax1+by+2+cz=0   1.

Điều kiện a2+b2+c2>0.

Vì N(0;−1;2) nên N thuộc (P).

Do vậy ta có –a+b+2c = 0 hay a = b+2c.

Thay vào (1) ta được: b+2cx+by+cz+b2c=0   2.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến nP=b+2c;b;c, trục Oy có vectơ chỉ phương là j=0;1;0.

Gọi α là góc của Oy và (P) ta có sinα=cosj,nP=b2b2+5c2+4cb.

Trường hợp 1: b = 0 thì α = 0.

Trường hợp 2: b ≠ 0 thì sinα=12+5cb2+4cb.

Đặt t=cb, xét hàm số ft=5t2+4t+2.

Ta có sinα lớn nhất khi ft=5t2+4t+2 nhỏ nhất t=25cb=25c=2b5.

Thay vào (2), ta được: b4b5x+by2b5z+b+4b5=0x+5y2z+9=0.

Cách 2:

Ta có vectơ chỉ phương của d là vd=1;1;2; vectơ chỉ phương của Oy là vOy=0;1;0.

Gọi n=vΔ,J=1  21       0;2  10    0;1  10    1=2;0;1.

Gọi nP là vectơ pháp tuyến của (P), suy ra nP=n,vΔ=0       11  2;1      22    1;2     01   1=1;5;2.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là 1.x1+5.y+22z=0x+5y2z+9=0


Câu 31:

Có 12 bạn học sinh trong đó có đúng một bạn tên A và đúng một bạn tên B. Xếp ngẫu nhiên 12 học sinh vào một bàn tròn và một bàn dài mỗi bàn 6 học sinh. Xác suất để hai bạn A và B ngồi cùng bàn và cạnh nhau bằng:

Xem đáp án

Đáp án D

Số trường hợp đồng khả năng là nΩ=A126.5!.

Gọi A là biến cố hai bạn A và B ngồi cùng bàn và cạnh nhau.

Ta có các trường hợp sau:

+ Trường hợp 1: A và B ngồi bàn dài.

− Chọn 2 vị trí trên bàn dài để xếp A và B ngồi cạnh nhau có 5 cách. Xếp A và B có 2 cách.

− Chọn 4 bạn trong 10 bạn còn lại để xếp vào 4 vị trí. Có A104 cách.

− Xếp 6 bạn còn lại vào bàn tròn. Có 5! cách.

Trường hợp này có 2.5.A104.5! cách.

+ Trường hợp 2: A và B ngồi bàn tròn.

− Xếp A và B ngồi cạnh nhau. Có 2 cách.

− Chọn 4 bạn trong 10 bạn để xếp vào bàn tròn. Có A104 cách.

− Xếp 6 bạn còn lại vào bàn dài. Có 6! cách.

Trường hợp này có 2.A104.6! cách.

Suy ra số trường hợp thuận lợi là nA=2.5.A104.5!+2.A104.6!.

Vậy xác suất cần tìm là PA=nAnΩ=16


Câu 32:

Cho hàm số fx=x33x2+x+32. Phương trình ffx2fx1=1 có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt t = f(x). Khi đó phương trình trở thành

ft2t1=1t33t2t+52=0t13,05979197t20,8745059057t30,9342978758

Xét phương trình x33x2+x+32=t13,05979197. Bấm máy tính ta được 1 nghiệm.

Xét phương trình x33x2+x+32=t20,8745059057. Bấm máy tính ta được 3 nghiệm.

Xét phương trình x33x2+x+32=t30,9342978758. Bấm máy tính ta được 1 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thực.


Câu 33:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;2;2) và mặt cầu S:x2+y2+z12=4. Từ điểm A kẻ 3 tiếp tuyến AB, AC, AD với mặt cầu (S), trong đó B, C, D là các tiếp điểm. Phương trình mặt phẳng (BCD) là:

Xem đáp án

Đáp án A

(S) có tâm I(0;0;1); bán kính R = 2.

Xét tam giác ΔABI vuông tại B có BI=R=2,AI=3.

Gọi H=BCDAI

Ta có AIBCD tại H và BI2=HI.AIIH=43.

Khi đó mặt phẳng (BCD) có vectơ pháp tuyến n=AI và cách I một khoảng 43 nên mpBCD:2x+2y+z+d=0dI;BCD=431+d3=43d=3d=5.

Do vậy BCD:2x+2y+z+3=0dA;BCD=133BCD:2x+2y+z5=0dA;BCD=53.

dA;BCD=133>AI nên không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng (BCD) là 2x+2y+z5=0.

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;2;2) và mặt cầu (ảnh 1)


Câu 34:

Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn u2100u11. Đặt fx=x33x2. Biết flogu2+4=flogu1. Số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho un>102020 là:

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: u2=q.u1q=u2u1100 và đặt a=logu10,b=logq2.

Khi đó logu2=logqu1=logu1+logq=a+b.

Kết hợp với giả thiết, ta có: 

a+b33a+b2+4=a33a2b33b2+4+3aba+b2=0b22b+10+3aba+b20=0a=0b=2u1=1q=100.

Do đó un=100n1>1020202n1>2020n>1011nmin=1012.


Câu 35:

Cho tích phân I=1212xln1+x1xex+1dx=alnb+c thì giá trị của a−b+c là:

Xem đáp án

Đáp án A

Vì hàm số fx=xln1+x1x là hàm số chẵn và liên tục trên 12;12 nên ta có:

I=1212xln1+x1xex+1dx=012xln1+x1xdx.

Đặt ,u=ln1+x1xdv=xdx ta có: du=2x21v=12x21.

I=12x21ln1+x1x120+012dx=38ln3+12a=38;b=3;c=12.

Vậy ab+c=383+12=238.


Câu 36:

Gọi m là số thực dương sao cho đường thẳng y = m+1 cắt đồ thị hàm số y=x43x22 tại hai điểm A, B thỏa mãn tam giác OAB vuông tại O (O là gốc tọa độ). Kết luận nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình hoành độ giao điểm x43x22=m+1x43x23m=0.

Đặt x2=t,t0, ta có phương trình t23tm3=0   *

Theo giả thiết ta có m > 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

Suy ra đường thẳng y = m+1 luôn cắt đồ thị hàm số y=x43x22 tại hai điểm A, B.

Vì A, B đối xứng với nhau qua Oy nên A(x;m+1) và B(−x;m+1).

Tam giác OAB vuông tại OOA.OB=0x2=m+12.

Thay x2=m+12 vào phương trình x43x23m=0 ta được m4+4m3+3m23m5=0

m1m3+5m2+8m+5=0m=1 (do m > 0).


Câu 37:

Cho hàm số y=x3+ax2+bx+c. Giả sử A, B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số. Biết rằng AB đi qua gốc tọa độ. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=abc+ab+c là:

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: Δ:y=2b32a29x+cab9.

Vì  đi qua gốc tọa độ nên ab = 9c.

Thay ab = 9c vào P, ta được: P=9c2+10c=3c+532259259


Câu 38:

Giá trị của m để bất phương trình 1+log5x2+1log5mx2+4x+m thỏa mãn với mọi x là:

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

1+log5x2+1log5mx2+4x+mlog55+log5x2+1log5mx2+4x+mlog55x2+1log5mx2+4x+m.

Bất phương trình thỏa mãn với mọi xmx2+4x+m>05x2+1mx2+4x+m,x

mx2+4x+m>05mx24x+5m0,xm>0164m2<05m>01645m20m>0m<2m>2m<5m3m72<m3.

Lưu ý: Sử dụng dấu tam thức bậc hai không đổi trên R:

+fx=ax2+bx+x0,xa>0Δ0.+fx=ax2+bx+x>0,xa>0Δ<0.


Câu 39:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;1), B(3;−1;1) và C(−1;−1;1). Gọi (S1) là mặt cầu có tâm A, bán kính bằng 2; (S2) và (S3) là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán kính bằng 1. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu (S1), (S2), (S3)?

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với cả ba mặt cầu đã cho có phương trình là ax+by+cz+d=0 (điều kiện a2+b2+c2>0).

Khi đó ta có hệ điều kiện sau:

dA;P=2dB;P=1dC;P=1a+2b+c+da2+b2+c2=23ab+c+da2+b2+c2=1ab+c+da2+b2+c2=1a+2b+c+d=2a2+b2+c23ab+c+d=2a2+b2+c2ab+c+d=2a2+b2+c2

Khi đó ta có: 

3ab+c+d=ab+c+d3ab+c+d=ab+c+d3ab+c+d=a+bcda=0ab+c+d=0

Với a = 0 thì

2b+c+d=2b2+c22b+c+d=2b+c+d2b+c+d=2b2+c24bcd=0c+d=0c=d=0,b0c+d=4b,c=±22b.

Do đó có 3 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.

Với ab+c+d=0 thì ta có

3b=2a2+b2+c22a=a2+b2+c23b=4a2a=a2+b2+c2b=43ac=113a.

Do đó có 4 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.

Vậy có 7 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.


Câu 40:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x21=y+12=z3 và hai điểm A(2;0;3), B(2;−2;−3). Biết M(a;b;c) điểm thuộc d thỏa mãn MA4+MB4 nhỏ nhất. Giá trị biểu thức 2a+3b+c bằng:

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó ta có:

MA4+MB4=MA2+MB222MA2.MB2=2MI2+AB2222MI2AB222=4.MI4+2MI2AB2+AB442.MI4+MI2AB2AB48=2.MI4+3MI2AB2+AB48=2MI2+3AB242AB4

Do đó MA4+MB4 đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất  M là hình chiếu vuông góc của I lên d.

Điểm I(2;−1;0). Lấy M2+t;1+2t;3td.IM=t;2t;3t.

IMudIM.ud=0t+4t+9t=0t=0.

Suy ra MI2;1;0. Vậy 2a+3b+c=1


Câu 41:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng diện tích các hình phẳng (A), (B) lần lượt bằng 3 và 7. Tích phân 0π2cosx.f5sinx1dx bằng:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt t=5sinx1dt=5cosxdxcosxdx=15dt.

Đổi cận x=0t=1;x=π2t=4.

Khi đó

0π2cosx.f5sinx1dx=14ft15dt=1514ftdt=1511ftdt+14ftdt

Mặt khác 3=11ftdt=11ftdt7=14ftdt=14ftdt11ftdt=314ftdt=7. Vậy I=1537=45


Câu 42:

Cho hình chóp tam giác có đáy là một tam giác vuông cân, cạnh huyền bằng 10 m sao cho các cạnh bên của chóp hợp với đáy các góc 45o,45o,60o. Khi đó thể tích của khối chóp nằm trong khoảng nào sau đây?

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi I là chân đường cao của chóp và SI = h dựa theo góc của các cạnh ta có: IB=IC=h;IA=h3

IB=3IAIB2=3IA2.

Áp dụng định lí Pi−ta−go cho ΔIHB (với H là trung điểm BC) ta có:

h2=a2h32+a24h=1534a (với a = 10m).

Vậy V=13.h.12.a2244,6m3

Cho hình chóp tam giác có đáy là một tam giác vuông cân (ảnh 1)


Câu 43:

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a và góc BAC^=120°, cạnh bên BB’=a. Gọi I là trung điểm CC’. Côsin góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I) là:

Xem đáp án

Đáp án A

SΔABC=cosα.SΔAB'Icosα=SΔABCSΔAB'I.SΔABC=12.AB.AC.sin120°=34a2.

AB’ là đường chéo hình vuông A'B'BAA'B=a2.

AI=AC2+IC2=a2+a22=52aB'I=C'I2+B'C'2=C'I2+BC2=C'I'2+AC2+AB22AB.AC.cos120°=a22+a2+a2212.a.a=132a

Theo định lý Pi−ta−go đảo ta thấy ΔAB'I vuông tại ASΔAB'I=12.AI.AB'=12a2.a52=10a24.

Vậy cosα=SΔABCSΔAB'I=3a2410a24=3010.

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân (ảnh 1)


Câu 44:

Người ta cần làm một hộp theo dạng một khối lăng trụ đều không nắp với thể tích lớn nhất từ một miếng tôn hình vuông có cạnh là 1 mét. Thể tích của hộp cần làm là:

Xem đáp án

Đáp án D

Người ta cần làm một hộp theo dạng một khối lăng trụ đều không nắp (ảnh 1)

Giả sử mỗi góc ta cắt đi một hình vuông cạnh x(m).

Khi đó chiều cao của hộp là x(m) với 0<x<12 và cạnh đáy của hộp là (1−2x)(m).

Thể tích của hộp là V=x12x2m3.

Xét hàm số fx=x12x2.

Ta có:

f'x=18x+12x2,f'x=0x=16x=12x=160;12

Ta có bảng biến thiên f(x) như sau:

Người ta cần làm một hộp theo dạng một khối lăng trụ đều không nắp (ảnh 2)

Vậy thể tích cần tìm là: V=227m3.


Câu 45:

Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P=z+i+2z2i. Giá trị của biểu thức E=M2m2 là:

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: z=1x2=1y2 với y1;1.

P=z+i+2z2i=x2+y+12+2x2+y22=1y2+y+12+21y2+y22=2+2y+254y=21+y+254y

Xét hàm số gx=21+y+254y với y1;1.

g'y=121+y454y.g'y=0y=34.g1=6;g1=4;g34=922.

Do đó maxP=M=922;minP=m=4. Suy ra E=492


Câu 46:

Cho hàm số y=fx=ax2+bx+c có đồ thị (C) như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f2x+m2fx+m3=0 có 6 nghiệm phân biệt?

Cho hàm số y = f(x) = ax^2 +bx+c có đồ thị (C) như hình vẽ. Có bao (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình f2x+m2fx+m3=0.

fx+1fx+m3=0fx=1       1fx=3m   2.

Từ đồ thị hàm số y=fx=ax2+bx+c ta vẽ được đồ thị hàm số y = f(|x|).

Cho hàm số y = f(x) = ax^2 +bx+c có đồ thị (C) như hình vẽ. Có bao (ảnh 2)

Từ đồ thị hàm số, suy ra phương trình (1) có 2 nghiệm.

Để phương trình f2x+m2fx+m3=0 có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt khi đó 1<3m<30<m<4

Do m nên có 3 giá trị m thỏa mãn.


Câu 47:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi m là số nghiệm thực của phương trình: f4fx712fx+24=84fx.

Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi m là (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt t=4fx7ft3t+3=1t. Khi đó t1ft=t2+t2.

Vẽ đồ thị hàm số f(x) và y=t2+t2 trên hệ trục tọa độ.

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi m là (ảnh 2)

Phương trình f(t)−y = 0 có nghiệm t=1t=a3<a<1fx=2fx=a+74.

Nhìn đồ thị, ta xét phương trình f(x) = 2 có 2 nghiệm.

3<a<11<a+74<32 nên phương trình fx=a+74 có 3 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm hay m = 5.


Câu 48:

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lập các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập. Xác suất để lấy được số chia hết cho 1111 là:

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có số phần tử của không gian mẫu nΩ=8!.

Giả sử số tự nhiên n=a1a2a3a4b1b2b3b4¯ chia hết cho 1111 trong đó a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4 thuộc {1;2;3;4;5;6;7;8}.

Ta có 1+2+3+4+5+6+7+8=369n9n1111n9999.

Đặt x=a1a2a3a4¯;y=b1b2b3b4¯n=104x+y=9999x+x+y

n9999x+y9999.

Do 0<x+y<2.9999x+y=9999 a1+b1=a2+b2=a3+b3=a4+b4=9.

Có 4 cặp số có tổng bằng 9 là 1;8,2;7,3;6,4;5

Có cách chọn cặp số trên, mỗi cặp số có 2 hoán vị nên có 4!.24 số chia hết cho 1111.

Gọi A là biến cố “Số tự nhiên được lấy chia hết cho 1111” nA=4!.24.

Xác suất của biến cố A là PA=1105.


Câu 49:

Cho các hàm số y=x3 và y=x13 cùng xét trên có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi các điểm A và B lần lượt nằm trên các đồ thị đó sao cho AOB là tam giác đều. Biết rằng tồn tại hai tam giác như vậy với diện tích lần lượt là S1 và S2 trong đó S1 < S2. Tỷ số S2S1 bằng:

Cho các hàm số y = x^2 và y = x^1/2 cùng xét trên có (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án A

Các đồ thị hàm số y = x3y=x13 cùng xét trên (0;+∞) đối xứng qua đường thẳng y=x.

Do đó gọi Aa;a3,Ba3;a với a > 0, ta có tam giác OAB cân tại O.

Để tam giác đều thì OA=ABa2+a6=2a3a2a64a4+a2=0.

Vì a > 0 nên a2=2±3.

Mặt khác ta có:

SOAB=34OA2=34a2+a6=a43S2S1=a22a122=97+563 


Câu 50:

Phương trình log2cotxtanx=1+cos2xsin2x với x0;π4 có bao nhiêu nghiệm?

Xem đáp án

Đáp án B

Do x0;π4 nên cotx>10<tanx<1cotxtanx>0.

cotxtanx=cosxsinxsinxcotx=2cos2xsin2x nên phương trình đã cho tương đương

log22cos2xsin2x=1+cos2xsin2x 

log2cos2xlog2sin2x=cos2xsin2x (do 0<sin2x,cos2x<1,x0;π4)

log2cos2xcos2x=log2sin2xsin2x

Xét hàm số ft=log2tt với t0;1.

Ta có f't=1tln21>0,t0;1 (vì 0<t<10<tln2<ln2<lne=1)

1tln2>11tln21>0

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên khoảng (0;1).

Suy ra fcos2x=fsin2xcos2x=sin2xtan2x=1x=π8.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x=π8.


Bắt đầu thi ngay