IMG-LOGO

Đề số 1

  • 3106 lượt thi

  • 50 câu hỏi

  • 90 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

 Trong không gian vói hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng đi qua điểm A1;4;7 và vuông góc với mặt phẳng (P):x+2y2z3=0 có phương trình là

Xem đáp án

Đường thẳng đi qua điểm A1;4;7 và vuông góc với mặt phẳng x+2y2z3=0 nên có một vectơ chỉ phương u=(1;2;2) có phương trình là x11=y42=z+72. 


Câu 2:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng ;+ 

Xem đáp án

Đáp án D

Loại ngay đáp án B, C vì hàm bậc một nếu có đồng biến thì đồng biến trên từng khoảng xác định.

Loại đáp án A vì phương trình y'=3x22=0 có 2 nghiệm phân biệt.

Đáp án D: Ta có y'=3x2+3>0,x; suy ra hàm số đồng biến trên khoảng R.


Câu 3:

Tìm phần ảo của số phức z=2i2i. 

Xem đáp án

 Đáp án C

Ta có:  z=2i2i=4i2.1=2+4i.

Vậy phần ảo của số phức z là 4.


Câu 4:

Tìm tập xác định của hàm số  y=log22x2x1

Xem đáp án

 Đáp án A

Điều kiện:  2x2x1>0x<12x>1.

Tập xác định D=(;12)(1;+). 


Câu 5:

Cho một hình đa diện. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau?

Xem đáp án

 Đáp án C

Mỗi cạnh chỉ là cạnh chung của 2 mặt.


Câu 6:

Biết F(x) là nguyên hàm của fx=4x31x2+3x thỏa mãn 5F(1)+F(2)=43 Tính F(2)

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có Fx=x4+1x+32x2+C. 

Theo giả thiết 5F1+F2=43572+C+452+C=43C=12. 

Do đó Fx=x4+1x+32x2+12F2=23. 


Câu 7:

 Cho cấp số cộng có  u1=2018,d=3.Khi đó u2 bằng

Xem đáp án

 Đáp án D

Ta có:  1du5=u1+4d=20183.4=2006.

Cho cấp số cộng có un = 2018, d = -3 Khi đó uk bằng A. =2020 B.  =2006 (ảnh 1)

Câu 8:

Đường cong như hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?

 Đường cong như hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây? (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án A

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm 0;2 loại đáp án B.

Đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị ab0 nên ta loại đáp án C.

Đồ thị hàm số quay lên nên ta loại đáp án D.


Câu 9:

Trong không gian Oxyz, tìm phương trình mặt phẳng (a) cắt ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại 3 điểm 3;0;0,B0;4;0,C0;0;2. 

Xem đáp án

Đáp án D

Mặt phẳng (a) có phương trình là:  

α:x3+y4+z2=14x3y+6z+12=0.
Trong không gian Oxyz, tìm phương trình mặt phẳng (a) cắt ba trục Ox, Oy, Oz (ảnh 1)

Câu 11:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y=x1x2x20 là

Xem đáp án

 Đáp án B

TXD:  D=1;+\5

limx5y=limx+(x1x2x20)=0 nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng Y = 0  làm đường tiệm cận ngang.

limx5y=,limx5+=+ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng X = 5 làm đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận.


Câu 13:

Tập nghiệm của bất phương trình log112xx>0 là

Xem đáp án

 Đáp án C

Điều kiện: 0<x<12. 

Ta có: log1312xx>012xx<1 (vì  0<13<1)

12xx1<013xx<0. 

Mặt khác x(0;12)12>x>13. 

Dấu của biểu thức log

logab>0[0<a,b<11<a,b logab<0[0<a<1<b0<b<1<a


Câu 14:

Cho hàm số f(x) xác định trên R\{2} liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ:

 Cho hàm số y = f(x) xác định trên R \ {2}  liên tục trên mỗi khoảng xác định và (ảnh 1)

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình f(x) = m có 3 nghiệm thực phân biệt.

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình f(x)=m có 3 nghiệm thực phân biệt khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 3 điểm phân biệt.

 Cho hàm số y = f(x) xác định trên R \ {2}  liên tục trên mỗi khoảng xác định và (ảnh 2) 

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra:  2<m<1.


Câu 15:

 Một khối trụ có bán kính R, chiều cao h và thể tích V1 Tăng bán kính đáy lên gấp đôi, chiều cao khối trụ không đổi thì thể tích khối trụ khi đó

Xem đáp án

 Đáp án B

Khối trụ ban đầu có thể tích là  V1=πR2h.

Sau khi tăng lên thì khối trụ có thể tích: V2=π.(2R)2h=4πR2h=4V1. 


Câu 16:

Tìm giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y=x33x2+m nhận điểm A(1;3) làm tâm đối xứng

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:  y''=x33x2+m''=6x6=0x=1y1=m2.

Đồ thị hàm số nhận điểm A (1;3) làm tâm đối xứng khi và chỉ khi

y1=3m2=3m=5. 


Câu 17:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAABCD. Góc giữa SC và (ABCD) là 45o Thể tích khối chóp S.ABCD là

Xem đáp án

Đáp án D

Góc giữa SC và (ABCD)SCA^=45°. 

Xét ΔSACSA=AC=a2 (và ΔSAC vuông cân tại A)

Vậy VS.ABCD=13SA.SABCD=13a2a2=a323. 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD).  (ảnh 1)


Câu 18:

Tìm tham số thực m để hàm số y=fx=x2+x12x+4  khi  x4mx+1            khi  x=4 liên tục tại điểm x0=4 

Xem đáp án

Đáp án C

Tập xác định D =  

Ta có f4=4m+1. 

limx4fx=limx4x2+x12x+4=limx4x+4x3x+4=limx4x3=7. 


Câu 19:

Cho hai số z1,z2 phức  thỏa mãn |z1|=|z2|=|z1z2|=1. Tính |z1+z2| 

Xem đáp án

 Đáp án A

Ta có:  z1z22=z1z2z1z2¯=z1z2z1¯z2¯=z12+z22z1.z2¯+z1¯.z2

z1.z2¯+z1¯.z2=1 

z1+z22=z1+z2z1+z2¯=z1+z2z1¯+z2¯=z12+z22+z1.z2¯+z1¯.z2=3. 

Từ đó suy ra z1+z2=3. 


Câu 20:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm H (1;-2;3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B và C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là

Xem đáp án

 Đáp án A

Gọi  Aa;0;0Ox,B0;b;0Oy,C0;0;cOz.

Phương trình mặt chắn của P:xa+yb+zc=1. 

Ta có: AH=1a;2;3,BH=1;2b;3,BC=0;b;c,AC=a;0;c. 


Câu 21:

 Cho 0<x1,0<a1M=1logax+1loga3x+1loga5x+...+1loga2019x. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Xem đáp án

Đáp án D

Với điều kiện 0<x1,0<a1. 

Ta có: M=logxa+logxa3+logxa5+...+logxa2019 

=logx(a.a3.a5...a2019)=(1+3+5+...+2019)logxa(*) 

=10102.logxa=10102logax. 

loga(y1.y2.....yn)=logay1+logay2+...+logayn (với a,y1,y2,...,yn>0;a1)

Công thức: 1+3+5+...+(2n1)=n2. 

Chứng minh dựa vào tính tổng của một CSC với u1=1,un=2n1,d=2. 

Khi đó tổng S=n2(u1+un)=n2(1+2n1)=n2 


Câu 22:

Cho đồ thị hàm số y=13x42x21 có 3 điểm cực trị là A, B, C. Biết M, N là hai điểm di động lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho diện tích tam giác ABC gấp 3 lần diện tích tam giác AMN. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN

Xem đáp án

Đáp án D

Dễ thấy ABC là tam giác đều, nên có thể giả sử tọa độ ba điểm cực trị của hàm số đã cho là A(0;1), B(-3;-4), C(3;-4)

Đặt  AM=x, AN=y (x,y>0)

Từ giả thiết suy ra  12xysin60°=1323234xy=4.

Lại có MN2=x2+y22xycos60°2xy4=4.  

GTNN của độ dài đoạn thẳng MN là 2.

Công thức tính diện tích tam giác thông thường khác:  SΔABC=13AB.AC.sinA.


Câu 23:

Tổng các nghiệm của phương trìnhlog217.2x8=2x bằng

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện: 17.2x8>0.  

Phương trình tương đương với:  17.2x8=22x2x217.2x+8=0.

Đặt 2x=t (với t>0)

Khi đó phương trình trở thành:  t217t+8=0.

Phương trình có hai nghiệm t1,t2  thỏa mãn: t1.t2=8  

2x1.2x2=82x1+x2=23x1+x2=3.

Bài toán không cần tính cụ thể x1,x2    mà ta chỉ cần sử dụng tính chất ax1.ax2=ax1+x2.   

 


Câu 24:

Cho lim1+2n25n23n4+2=abc  (với ac là phân số tối giản). Khẳng định nào sau đây là sai?

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:  lim1+2n25n23n4+2=lim1n2+2n253+2n4=253=2153a=2,b=15,c=3

Khi đó  acb+1=2.315+1=35


Câu 25:

Cho hàm số fx thỏa mãn f'x=2018x.ln2018cosx và f0=2.

 Khẳng định nào đúng?

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:  fx=2018xln2018cosxdxf0=2fx=2018xsinx+C2=20180sin0+C

fx=2018xsinx+1.

 


Câu 26:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z+4+z4=10.   Tập hợp điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy là một hình phẳng có diện tích bằng

Xem đáp án

Đáp án B

Giả sử z=x+yi x,yMx,y

là điểm biểu diễn z trên mặt phẳng OxyA4;0,B4;0 tương ứng là các điểm biểu diễn số phức z1=4,z2=4   

Theo bài ra  z4+z+4=10MA+MB=10=2aa=5.

AB=8=2cc=4b=a2c2=3

Vậy tập hợp điểm M là elip có hai tiêu điểm A, B. Phương trình elip:  x225+y29=1.

Diện tích của elip:  S=πab=15π.


Câu 27:

Người ta xây một sân khấu với mặt sân có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai hình tròn là 20 mét và 15 mét. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 mét. Chi phí làm mỗi mét vuông phần giao nhau của hai hình tròn là 300 ngàn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần còn lại là 100 ngàn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân của sân khấu gần với số nào trong các số dưới đây?

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi O, I lần lượt là tâm của các đường tròn bán kính bằng 20 mét và bán kính bằng 15 mét.

Gắn hệ trục Oxy, vì OI=30  mét nên I0;30.   

Phương trình hai đường tròn lần lượt là x2+y2=202 và x2+y302=152.   

Gọi A, B là các giao điểm của hai đường tròn đó.

Tọa độ A, B là nghiệm của hệ  x2+y2=202x2+y302=152x=±545512y=21512.

Tổng diện tích hai đường tròn là π202+152=625πm2.  

Phần giao của hai hình tròn chính là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y=30152x2

   y=202x2.

Do đó diện tích phần giao giữa hai hình tròn là

 S=545512545512202x2+152x230dx60,2546m2.

Số tiền để làm phần giao giữa hai hình tròn là:

 300000.60,254618076386 (đồng).

Số tiền để làm phần còn lại là:

100000.625π2.60,2546=184299220 (đồng)

Vậy tổng số tiền làm sân khấu là:

184299220+18076386202375606 (đồng).


Câu 28:

Gọi z1,z2  là hai nghiệm phức của phương trình z24z+5=0.   Giá trị của biểu thức z112019+z212019  bằng

Xem đáp án

Đáp án D

Xét phương trình:  z24z+5=0z22=1z1=2+iz2=2i.

Khi đó ta có:  z112019+z212019=1+i2019+1i2019

=1+i.1+i21009+1i.1i21009

 =1+i.2i1009+1i.2i1009

 =2i1009.1+i1i=2i1010=21010.

 

Lũy thừa đơn vị ảo i

i4n=1;i4n+1=i;i4n+2=1;i4n+3=in

 .


Câu 29:

Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' ABCD là hình chữ nhật A'A=A'B=A'D.  Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' biết rằng  AB=a,AD=a3,A'A=2a.

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi O là giao điểm của ACBD.

ABCD là hình chữ nhật  OA=OB=OD.

A'A=A'B=A'D  nên A'OABD  (vì A'O  là trực tâm tam giác ABD)

ΔABD vuông tại A

BD=AB2+AD2=2aOA=OB=OD=a.

ΔA'AO vuông tại  OA'O=A'A2+AO2=a3.

SABCD=AB.AD=a23VABCD.A'B'C'D'=A'O.SABCD=3a3

 

 

Cho lăng trụ  có ABCD là hình chữ nhật   Tính thể tích khối lăng trụ  biết rằng   (ảnh 1)

Câu 30:

Cho ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn ba số phức z1,z2,z3 với z3z1,z3z2  . Biết z1=z2=z3  và z1+z2=0.   Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt z1=z2=z3=R.  Khi đó A, B, C nằm trên đường tròn O;R.  

Do z1+z2=0 nên hai điểm A, B đối xứng nhau qua O.

Như vậy điểm C nằm trên đường tròn đường kính AB (bỏ đi hai điểm AB) hay tam giác ABC vuông tại C.

Cho ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn ba số phức   với  . Biết   và   Mệnh đề nào sau đây đúng? (ảnh 1)


Câu 31:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=2cosx+32cosxm nghịch biến trên khoảng 0;π3.   

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt t=cosx  (vì 0<x<π312<t<1 ).

(t'=sinx<0,x0;π3,  do đó t=cosx nghịch biến trên 0;π3  ).

Hàm số trở thành  yt=2t+32tmtm2

Ta có: y't=2m62tm2.                           

Do đó yêu cầu toán trở thành yt đồng biến trên khoảng 12;1   khi  y't>0,t12;1.

 

2m6>02tm0,t12;1m<3m2t,t12;1m<3m1;2m<3.

Câu 32:

Cho tập X=1,2,3,4,5,6,7,8,9. Hỏi có tất cả bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

(I) “Có A94 số có 4 chữ số được lập từ tập X

(II) “ A105 là một tổ hợp chập 3 của X”

(III) “Mỗi hoán vị các phần tử của X là một chỉnh hợp chập 9 của X”

Xem đáp án

Đáp án B

(I) “Có A94  số có 4 chữ số được lập từ tập X” là mệnh đề sai vì có 94  số có 4 chữ số được lập từ tập X.

(II) “ A105 là một tổ hợp chập 3 của X” là mệnh đề sai vì A105  là một chỉnh hợp chập 3 của X.

(III) “Mỗi hoán vị các phần tử của X là một chỉnh hợp chập 9 của X” là mệnh đề đúng.


Câu 33:

Cho hàm số fx=1x.   Nếu Fx  là một nguyên hàm của hàm số fx  và đồ thị hàm số y=Fx  đi qua M1;0  thì Fx  

Xem đáp án

Đáp án C

 Fx=1xdx=lnx+C đồ thị hàm số y=Fx  đi qua  M1;0

C=0Fx=lnx.

 

Lỗi học sinh dễ mắc đó là: 1xdx=lnx+C.  


Câu 35:

Cho hàm số fx liên tục và nhận giá trị dương trên 0;1. Biết fx.f1x=1 với x0;1.  Tính giá trị  I=01dx1+fx

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:  1+fx=fxf1x+fxfx1+fx=1f1x+1

Xét  I=01dx1+fx

Đặt  t=1xx=1tdx=dt.

Đổi cận:  x=0t=1x=1t=0.

Khi đó I=10dt1+f1t=01dt1+f1t=01dx1+f1x=01fx1+fxdx.  

Mặt khác 01dx1+fx+01fx1+fxdx=011+fx1+fxdx=01dx=1  hay  2I=1.

Vậy  I=12.


Câu 36:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt phẳng α  đi qua A, B và trung điểm M của SC. Mặt phẳng α chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích lần lượt là V1,V2  với V1<V2.   Tính tỉ số  V1V2.

Xem đáp án

Đáp án D

Kẻ MN//CDNCD  , suy ra ABMN là thiết diện của khối chóp.

Ta có VS.ABMN=VS.ABM+VS.AMN.VS.ABMVS.ABC=SMSC=12VS.ABM=12VS.ABC=14VS.ABCDVS.AMNVS.ACD=SMSC.SNSD=14VS.AMN=18VS.ABCD.   

Do đó  VS.ABMN=14VS.ABCD+18VS.ABCD=38VS.ABCD

Suy ra VABMNDC=58VS.ABCD  nên V1V2=35.  

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt phẳng   đi qua A, B và trung điểm M của SC. Mặt phẳng   chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích lần lượt là   với   Tính tỉ số    (ảnh 1)


Câu 37:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;0;0,B0;0;2  và mặt cầu S:x2+y2+z22x2y+1=0.  Số mặt phẳng chứa hai điểm A,B và tiếp xúc với mặt cầu S

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi phương trình mặt phẳng là: P:Ax+By+Cz+D=0  (với A2+B2+C20   )

Theo đề bài, mặt phẳng Pqua A, B nên ta có: A+D=02C+D=0A=2CD=2C.  

Vậy mặt phẳng P  có dạng: 2Cx+By+Cz2C=0.

S có tâm I1,1,0    R=1.

P  tiếp xúc với (S) nên dI;P=R  

 2C+B2C5C2+B2=1B2=5C2+B2C=0.

Suy ra  A=D=0.

Vậy phương trình mặt phẳng  P:y=0.


Câu 38:

Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy, AB=a2,BC=a,SC=2a  SCA^=30°.  Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:  AC=SC.cos30°=a3

AB2+BC2=2a2+a2=3a2=AC2ΔABClà tam giác vuông ở B.

Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AC, SC.

Khi đó ta có: H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC.

 IHABC.

Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC, suy ra  R=12SC=a.

Vậy  R=a.

 


Câu 39:

Phương trình x22xx1=m  (với m là tham số thực) có tối đa bao nhiêu nghiệm thực?

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:  fx=x22xx1=x22xx1=x33x2+2xx2x22xx1=x3+3x22x0x<2x22xx1=x3+x2+2xx<0

 f'x=3x26x+2,   x23x2+6x2,  0x<23x2+2x+2,  x<0.

 f'x=0x=3+33x=333x=173

Bảng biến thiên hàm số fx

Phương trình   (với m là tham số thực) có tối đa bao nhiêu nghiệm thực? (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình fx=m  có tối đa 4 nghiệm.


Câu 40:

Cho đồ thị hàm số y=fx như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm sốy=fx+2018+m2 có 5 điểm cực trị?

Cho đồ thị hàm số  như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số  có 5 điểm cực trị? (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có hàm số y=fx+2018  có đồ thị là hàm số y=fx tịnh tiến sang trái 2018 đơn vị.

Hàm số y=fx+2018+m2có đồ thị hàm số y=fx+2018 tịnh tiến lên trên m2  đơn vị.

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y=fx  có 3 điểm cực trị.

Khi tịnh tiến sang trái 2018 đơn vị thì số điểm cực trị hàm số y=fx+2018  vẫn là 3 điểm cực trị.

Để hàm số y=fx+2018+m2  có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số y=fx+2018  cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt (trừ các điểm cực trị tiếp xúc với trục hoành).

 2m2<62m<66<m2.

Do mm2;2  .

Hàm số

Số điểm cực trị

Điều kiện

 y=fx

 y=fx+fm

 y=fx+m

 y=fx+m

 

 

2a+1 

 

 

a là số điểm cực trị dương của y=fx  

 


Câu 41:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M0;1;2 và hai đường thẳng d1:x11=y+21=z32,d2:x+12=y41=z24.   Phương trình đường thẳng đi qua M, cắt cả d1  d2  

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi Δ là đường thẳng cần tìm.

 Δd1=At1+1;t12;2t1+3;  Δd2=B2t21;t2+4;4t2+2.

MA=t1+1;t11;2t1+1;MB=2t21;t2+5;4t2

Ta có: M,A,B  thẳng hàng khi MA=kMB  

t1+1=k2t21t11=kt2+52t1+1=4kt2t1=72k=12kt2=2t1=72t2=4 

Suy ra  MB=9;9;16.

Đường thẳng Δ  đi qua M0;1;2 , một vectơ chỉ phương là u=9;9;16  có phương trình là:  Δ:x9=y+19=z216.

 

Câu 42:

Cho phương trình 4x22x+1m.2x22x+2+3m2=0. Tìm tập hợp tất cả các tham số m sao cho phương trình có 4 nghiệm phân biệt
Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:  4x22x+1m.2x22x+2+3m2=04x22x+12m.2x22x+1+3m2=0.

Đặt 2x22x+1=t  ta có phương trình t22m.t+3m2=01  

Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt  (1) phải có 2 nghiệm phân biệt t1,t2  lớn hơn 1

 Δ'>0t11t21>0t1+t22>0Δ'>0t1t2t1+t2+1>0t1+t2>2m23m+2>03m22m+1=02m>2m>2,m<1m>1m>1m>2

Với dạng toán phương trình có mũ phức tạp, ta luôn cố gắng tìm điểm chung để đặt ẩn phụ.

Tìm điều kiện của ẩn phụ để thỏa mãn yêu cầu đề bài đã cho.

Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ax2+bx+c=0a0 có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn giá trị  α.

 Δ>0S2>αa.fα>0


Câu 43:

Cho khối nón đỉnh O, trục OI. Mặt phẳng trung trực của OI chia khối nón thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần là

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi R là bán kính đáy của khối nón trục OIV=13πR2.OI.  

Giả sử mặt phẳng trung trục của OI cắt trục OI tại H, cắt đường sinh OM tại N.

Khi đó mặt phẳng này chia khối nón thành 2 phần, phần trên là khối nón mới có bán kính r=R2  có chiều cao là OI2.  

 V1=13πR22OI2=πR2OI24.

Phần dưới là khối nón cụt có thể tích V2=VV1=πR2OI3πR2OI24=7πR2OI24.  

Vậy tỉ số thể tích là V1V2=πR2OI247πR2OI24=17.  


Câu 44:

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'có thể tích là V và độ dài cạnh bên là AA'=6.  Cho điểm A1   thuộc cạnh AA'  sao cho AA1=2.  Các điểm B1,C1  lần lượt thuộc cạnh BB',CC'  sao cho BB1=x,CC1=y.  Biết rằng thể tích khối đa diện ABC.A1B1C1  bằng 12V.  Giá trị của x+y  bằng

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi M, N lần lượt thuộc BB'CC'  sao cho BM=CN=2.

 Khi đó ta có:

 VABC.A1B1C1=VABC.A1MN+VA1MNC1B1=13V+x+y412A'BC'B'

 =13V+x+y412.23V.

Mặt khác theo giả thiết ta có:

 VABC.A1B1C1=12V13V+x+y412.23V=12V13+x+y412.23=12x+y=7.

 

Cho hình lăng trụ tam giác   có thể tích là V và độ dài cạnh bên là   Cho điểm   thuộc cạnh   sao cho   Các điểm   lần lượt thuộc cạnh   sao cho   Biết rằng thể tích khối đa diện   bằng   Giá trị của   bằng (ảnh 1)


Câu 45:

Biết rằng Fx=tanxdx  F0=3Fπ=6.  Khi đó giá trị của biểu thức Fπ3+F4π3  tương ứng bằng

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: Fx=tanxdx=sinxdxcosx=lncosx+C  xác định trên 2 miền

+ Miền thứ nhất π2+k2π<x<3π2+k2π,  ta có:

3Fπ=3lncosπ+C=6C=2Fx=lncosx+2

F4π3=lncos4π3+2=2+ln2

+ Miền thứ hai π2+k2π<x<π2+k2π , ta có:

F0=lncos0+C=6C=6Fx=lncosx+6

Fπ3=lncosπ3+6=6+ln2 

 Do đó:  F4π3+Fπ3=2ln2+8.


Câu 46:

Một kĩ sư được một công ty xăng dầu thuê thiết kế một mẫu bồn chứa xăng với thể tích V cho trước, hình dạng như hình bên, các kích thước r, h thay đổi sao cho nguyên vật liệu làm bồn xăng là ít nhất.

Một kĩ sư được một công ty xăng dầu thuê thiết kế một mẫu bồn chứa xăng với thể tích V cho trước, hình dạng như hình bên, các kích thước r, h thay đổi sao cho nguyên vật liệu làm bồn xăng là ít nhất.   Người kĩ sư này phải thiết kế kích thước h như thế nào để đảm bảo được đúng yêu cầu mà công ty xăng dầu đã đưa ra? (ảnh 1)

Người kĩ sư này phải thiết kế kích thước h như thế nào để đảm bảo được đúng yêu cầu mà công ty xăng dầu đã đưa ra?

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện h0  

Ta có:  V=43πr3+πr2hh=V43πr3πr2

Diện tích toàn phần của bồn xăng là  Sr=4πr2+2πrhh=4πr3+2V83πr3r

Ta có:  S'r=83πr32Vr2=083πr3=2Vr=3V4π3.

Lập bảng biến thiên ta sẽ thấy Sminr=3V4π3h=4π.3V4π+2V83π.3V4πr=0  nguyên vật liệu làm bồn xăng là ít nhất Sminh=0.  


Câu 47:

Cho hàm số fx  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên 0;2  . Biết f0=1  fx.f2x=e2x24x  với mọi x0;2.  Tính tích phân  I=02x33x2.f'xfxdx.
Xem đáp án

Đáp án D

Từ giả thiết  fx.f2x=e2x24xx=2f2=1.

Ta có  I=02x33x2.f'xfxdx.

Đặt  u=x33x2dv=f'xfxdxdu=3x26xdxv=lnfx

Khi đó I=x33x2lnfx02023x26xlnfxdx=f2=1302x22xlnfxdx=3J

 

Ta có  J=02x22xlnfxdx=x=2t202t222tlnf2td2t

 =202x222xlnf2xd2x=02x22xlnf2xdx

Suy ra  2J=02x22xlnfxdx+02x22xlnf2xdx

 =02x22xlnfx.f2xdx

 =02x22xlne2x24xdx=02x22x2x24xdx=3215

 J=1615

Vậy  I=3J=165.


Câu 48:

Cho đa giác đều 100 đỉnh, chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Xác suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của 1 tam giác tù là

Xem đáp án

Đáp án C

Số cách chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh là C1003  

Giả sử chọn được 1 tam giác tù ABC với góc nhọn A, B tù, C nhọn.

Chọn 1 đỉnh bất kì lấy làm đỉnh A có 100 cách. Kẻ đường kính qua đỉnh vừa chọn chia đường tròn thành 2 phần (trái và phải)

Để tạo thành tam giác tù thì 2 đỉnh còn lại được chọn sẽ cùng nằm bên trái hoặc cùng nằm bên phải

+ Hai đỉnh còn lại cùng nằm bên trái có C100212=C492  cách

+ Hai đỉnh còn lại cùng nằm bên phải có C100212=C492  cách

Vậy có tất cả số tam giác tù là  tuy nhiên ứng với mỗi tam giác vai trò góc nhọn của A, C như nhau nên số tam giác tính 2 lần. Do đó số tam giác tù tạo thành là  100.C492+C4922=100100210048=117600.

Vậy xác suất cần tìm  P=117600C1003=811.


Câu 49:

Cho hai số thực x>0,y>1  thỏa mãn 2x2y+1log2x=log2yy+11.  Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x2+y  bằng

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:  2x2y+1log2x=log2yy+112x22y+1log2x=log2yy+1+1y+11y+1+1

 2x2log2x=2y+1log2y+1+12.2x2log2x=2y+1+1log2y+1+1=2x2log2x2

Nhận thấy ngay hàm số ft=2t.log2t  đơn điệu trên miền dương

 x2=y+1+1y=x2121P=x2+y=x4x2=x21221414.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x2=12x=22  (vì x>0 ).

Vậy  Pmin=14.


Câu 50:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'  AB<BC,BC=3cm.  Hai mặt phẳngACC'A'  BDD'B'  hợp với nhau góc α0<απ2.  Đường chéo B'D  hợp với mặt phẳng CDD'C'  một góc β 0<β<π2.Hai góc α,β thay đổi nhưng thỏa mãn hình hộp ADD'A'.BCC'B'  luôn là hình lăng trụ đều. Giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D'  

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: ACC'A',BDD'B'^=COD^=αCBD^=α2BC=BD.cosCBD^=3cosα2,CD=BD.sinCBD^=3sinα2CD=BD.sinCBD^=3sinα2  

Ta có: B'D,CDD'C'^=B'DC'^=β.   

Do ADD'A'.BCC'B'  luôn là hình lăng trụ đều nên BC=CC'

VABCD.A'B'C'D'=BC.CD.CC'=27sinα2cos2α2sin2α2cos4α2=12.2sin2α2.cos2α2122sin2α2+cos2α2+cos2α232=427  

 

 

Cho hình hộp chữ nhật   có   Hai mặt phẳng   và   hợp với nhau góc   Đường chéo   hợp với mặt phẳng   một góc β  Hai góc   thay đổi nhưng thỏa mãn hình hộp   luôn là hình lăng trụ đều. Giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp   là (ảnh 1)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  2sin2α2=cos2α2tan2α2=12α=arctan22

sin2α2cos2α2239V63.


Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan