50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 9

Câu 1:

4 π .

Thể tích khối cầu (S) bằng:

A.

16 π .

B.

32 π .

C.

\frac{4 π}{3} .

D.

\frac{16 π}{3} .

Xem đáp án

Đáp án C.

Diện tích mặt cầu (S) là: $4 π R^{2} = 4 π \Rightarrow R = 1.$

Do dó thể tích khối cầu (S) là: $V = \frac{4}{3} π . R^{3} = \frac{4}{3} π$ (đvtt).

Câu 2:

Hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số $y = x^{3} - 2 x$ là

A.

y_{C T} + y_{C D} = 0.

B.

y_{C D} = y_{C T} .

C.

2 y_{C D} = 3 y_{C T} .

D.

y_{C D} = 2 y_{C T} .

Xem đáp án

Đáp án A.

TXĐ: $D = ℝ .$

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} \Rightarrow x_{C T} = - x_{C D} .$

Mà hàm số đã cho là hàm số lẻ nên ta suy ra $y_{C T} = - y_{C D}$ hay $y_{C T} + y_{C D} = 0.$

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (2; - 3; 1)$ và $\vec{b} = (- 1; 4; - 2) .$ Giá trị của biểu thức $\vec{a} . \vec{b}$ bằng

A. -16

B.-4

C. 4.

D. 16.

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = 2. (- 1) + (- 3) .4 + 1. (- 2) = - 16.$

Câu 4:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} .$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- \infty; - 2) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- \infty; - 2) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; 1) .$

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- 1; 1) .

Xem đáp án

Đáp án B.

TXĐ: $D = ℝ .$

Ta có $y^{'} = 4 x^{3} - 4 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{array} .$

Bảng xét dấu như sau:

Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(0; 1);$ nên nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 2) .$

Câu 5:

Biểu thức $P = \sqrt[3]{x . \sqrt[5]{x^{2} . \sqrt{x}}} = x^{α}$ (với $x > 0$ ), giá trị của là

A.

\frac{1}{2} .

B.

\frac{5}{2} .

C.

\frac{9}{2} .

D.

\frac{3}{2} .

Xem đáp án

Đáp án A.

Với x > 0 ta có: $P = \sqrt[3]{x . \sqrt[5]{x^{2} . \sqrt{x}}} = \sqrt[3]{x . \sqrt[5]{x^{2} . x^{\frac{1}{2}}}} = \sqrt[3]{x . \sqrt[5]{x^{\frac{5}{2}}}} = \sqrt[3]{x . x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[3]{x^{\frac{3}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} = x^{α}$

Vậy $α = \frac{1}{2} .$

Câu 6:

Cho các số thực a, b (với a>b ). Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm là hàm liên tục trên thì

A.

\int_{a}^{b} f (x) d x = f^{'} (a) - f^{'} (b) .

B.

\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (b) - f (a) .

C. $\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (a) - f (b) .$

D.

\int_{a}^{b} f (x) d x = f^{'} (b) - f^{'} (a) .

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có:

\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (b) - f (a) .

Câu 7:

Cho khối cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và OA, OB, OC đôi một vuông góc. Thể tích của (S) bằng

A.

\frac{\sqrt{3} π a^{3}}{2} .

B.

\frac{\sqrt{3} π a^{3}}{6} .

C.

\frac{3 \sqrt{3} π a^{3}}{8} .

D.

\frac{4 π a^{3}}{3} .

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có: $R = \frac{\sqrt{O A^{2} + O B^{2} + O C^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{3} a}{2} \Rightarrow V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} π a^{3} .$

Câu 8:

Số nghiệm thực của phương trình

l o g_{3} x + \log_{3} (x - 6) = \log_{3} 7

là

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án C.

Điều kiện: $\{\begin{cases} x > 0 \\ x - 6 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x > 6.$

Phương trình tương đương với: $\log_{3} [x (x - 6)] = \log_{3} 7 \Leftrightarrow x (x - 6) = 7$

$\Leftrightarrow x^{2} - 6 x - 7 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 7 (t h o a m a n) \\ x = - 1 (l o a i) \end{array} .$

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm thực.

Câu 9:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A (1; 2; - 3)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; - 1; 3)$ là:

A.

2 x - y + 3 z + 9 = 0.

B.

2 x - y + 3 z - 4 = 0.

C.

x - 2 y - 4 = 0.

D. $2 x - y + 3 z + 4 = 0.$

Xem đáp án

Đáp án A.

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A (1; 2; - 3)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; - 1; 3)$ là:

$2 (x - 1) - 1 (y - 2) + 3 (z + 3) = 0 \Leftrightarrow 2 x - y + 3 z + 9 = 0.$

Câu 10:

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = e^{x} + x

là

A.

e^{x} + x^{2} + C

B.

e^{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C

C.

\frac{1}{x + 1} e^{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C

D.

e^{x} + 1 + C

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có: $\int (e^{x} + x) d x = \int e^{x} d x + \int x d x = e^{x} + \frac{x^{2}}{2} + C .$

Câu 11:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;-2;0), B(3;-2;-8) Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

A. $\vec{u} = (1; 2; - 4) .$

B.

\vec{u} = (2; 4; 8) .

C.

\vec{u} = (- 1; 2; - 4) .

D.

\vec{u} = (1; - 2; - 4) .

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có: $\vec{A B} = (2; 4; - 8) = 2 (1; 2; - 4),$ vậy đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1; 2; - 4) .$

Câu 12:

Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi bất kỳ?

A. 66528.

B. 924.

C. 7.

D. 942.

Xem đáp án

Đáp án B.

Số cách lấy 6 viên bi bất kỳ (không phân biệt màu) trong 12 viên bi là một tổ hợp chập 6 của 12 (viên bi).

Vậy ta có $C_{12}^{6} = 924$ cách lấy.

Câu 13:

Một cấp số cộng có

u_{1} = - 3, u_{8} = 39.

Công sai của cấp số cộng đó là

A. 8.

B. 7.

C. 6.

D. 5.

Xem đáp án

Đáp án C.

Theo công thức $u_{8} = u_{1} + 7 d,$ suy ra $d = \frac{u_{8} - u_{1}}{7} = \frac{39 + 3}{7} = 6.$

Câu 14:

Cho hai số phức

z_{1} = 4 + 3 i,

z_{2} = - 4 + 3 i,

z_{3} = z_{1} . z_{2} .

Lựa chọn phương án đúng:

A.

|z_{3}| = 25.

B.

z_{3} = {|z_{1}|}^{2} .

C.

\bar{z_{1} + z_{2}} = z_{1} + z_{2} .

D.

z_{1} = \bar{z_{2}} .

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có: $z_{3} = z_{1} . z_{2} = (4 + 3 i) (- 4 + 3 i) = - 25 \Rightarrow |z_{3}| = 25.$

Câu 15:

Cho hai số phức

z_{1} = 4 + 3 i,

z_{2} = - 4 + 3 i,

z_{3} = z_{1} . z_{2} .

Lựa chọn phương án đúng:

A.

|z_{3}| = 25.

B.

z_{3} = {|z_{1}|}^{2} .

C.

\bar{z_{1} + z_{2}} = z_{1} + z_{2} .

D.

z_{1} = \bar{z_{2}} .

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có: $z_{3} = z_{1} . z_{2} = (4 + 3 i) (- 4 + 3 i) = - 25 \Rightarrow |z_{3}| = 25.$

Câu 16:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = x^{3} - 3 x + 4

trên đoạn

[0; 2] .

A.

\min_{[0; 2]} y = 2.

B.

\min_{[0; 2]} y = 0.

C.

\min_{[0; 2]} y = 1.

D.

\min_{[0; 2]} y = 4.

Xem đáp án

Đáp án A.

TXĐ: $D = ℝ .$

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 3 = 0 [\begin{array}{l} x = 1 \in [0; 2] \\ x = - 1 \notin [0; 2] \end{array} .$

Ta lại có: $y (0) = 4, y (2) = 6, y (1) = 2.$

Do đó: $\min_{[0; 2]} y = y (1) = 2.$

Câu 17:

Tìm m để hàm số $y = m x^{4} + (m^{2} - 1) x + 1$ đạt cực đại tại x=0

A. m=0

B. m=-1

C. m=1

D.

- 1 < m < 1.

Xem đáp án

Đáp án B

TXĐ: $D = ℝ .$

Ta có: $y^{'} = 4 m x^{3} + (m^{2} - 1) .$

Để hàm số đạt cực đại tại x=0 thì $y^{'} (0) = 0 \Leftrightarrow m^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1.$

+ Với $m = 1 \Rightarrow y = x^{4} + 1,$ suy ra $y^{'} = 4 x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0.$

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x=0

Do đó suy ra m=1 không thỏa mãn.

+ Với $m = - 1 \Rightarrow y = - x^{4} + 1,$ suy ra $y^{'} = - 4 x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0.$

Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số đạt cực đại tại x=0

Do đó suy ra m=-1 thỏa mãn.

Câu 18:

Kí hiệu a, b là phần thực và phần ảo của số phức $3 - 2 \sqrt{2 i} .$ Tính $P = a b .$

A.

P = 6 \sqrt{2 i} .

B.

P = 6 \sqrt{2} .

C.

P = - 6 \sqrt{2 i} .

D.

P = - 6 \sqrt{2} .

Xem đáp án

Đáp án D.

Số phức $3 - 2 \sqrt{2 i}$ có phần thực $a = 3,$ phần ảo $b = - 2 \sqrt{2} .$

Vậy $P = a b = - 6 \sqrt{2} .$

Câu 19:

Trong không gian với hệ tọa độ Ozyz, phương trình nào sau đây không phải phương trình mặt cầu?

A.

2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + 2 x - 4 y + 6 z + 5 = 0.

B.

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + y - z = 0.

C.

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 3 x + 7 y + 5 z - 1 = 0.

D.

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 3 x - 4 y + \sqrt{3} z + 7 = 0.

Xem đáp án

Đáp án D.

Ở A, B, C đều có hệ số của $x^{2}, y^{2}, z^{2}$ bằng nhau; nên chưa loại được đáp án.

Ở đáp án D có $a = \frac{3}{2}; b = \frac{- 4}{2} = - 2; c = \frac{\sqrt{3}}{2}; d = 7$

\Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = 0,

nên phương trình ở đáp án D không phải là phương trình mặt cầu

Câu 20:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a^{2} = b c .$ Tính $S = 2 \ln a - \ln b - \ln c .$

A.

S = 2 \ln (\frac{a}{b c}) .

B. S=1

C.

S = - 2 \ln (\frac{a}{b c}) .

D. S=0

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có: $S = 2 \ln a - (\ln b + \ln c) = \ln a^{2} - \ln (b c) = \ln (b c) - \ln (b c) = 0.$

Câu 21:

Phương trình bậc hai nào dưới đây nhận hai số phức

2 - 3 i

và

2 + 3 i

làm nghiệm?

A.

z^{2} + 4 z + 3 = 0.

B.

z^{2} + 4 z + 13 = 0.

C.

z^{2} - 4 z + 13 = 0.

D.

z^{2} - 4 z + 3 = 0.

Xem đáp án

Đáp án C.

Vì $\{\begin{cases} (2 - 3 i) + (2 + 3 i) = 4 \\ (2 - 3 i) . (2 + 3 i) = 13 \end{cases},$ nên $2 - 3 i$ và $2 + 3 i$ là hai nghiệm của phương trình $z^{2} - 4 z + 13 = 0.$

Câu 22:

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho M là trọng tâm tam giác ABC.

A.

(P) : 6 x + 3 y + 2 z + 18 = 0.

B.

(P) : 6 x + 3 y + 2 z + 6 = 0.

C.

(P) : 6 x + 3 y + 2 z - 18 = 0.

D.

(P) : 6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0.

Xem đáp án

Đáp án C.

Gọi $A (a; 0; 0),$ $B (0; b; 0),$ $C (0; 0; c)$ lần lượt là các giao điểm của mặt phẳng (P) với các trục Ox, Oy, Oz.

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.$

Do M(1;2;3) là trọng tâm tam giác ABC

$\Rightarrow \{\begin{cases} x_{a} + x_{b} + x_{c} = 3 x_{M} \\ y_{a} + y_{b} + y_{c} = 3 y_{M} \\ z_{a} + z_{b} + z_{c} = 3 z_{M} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a + 0 + 0 = 3.1 \\ 0 + b + 0 = 3.2 \\ 0 + 0 + c = 3.3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ b = 6 \\ c = 9 \end{cases} .$

Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là: $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1 \Leftrightarrow 6 x + 3 y + 2 z - 18 = 0.$

Câu 23:

Tập nghiệm của bất phương trình $2^{\frac{1}{x}} < \frac{1}{4}$ là

A.

(- \frac{1}{2}; 0) .

B.

(- \infty; - 2) .

C.

(- \frac{1}{2}; + \infty) \ \{0\} .

D.

(- 2; 0) .

Xem đáp án

Đáp án A.

Bất phương trình tương đương với: $2^{\frac{1}{x}} < \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{1}{x} < - 2 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < x < 0.$

Câu 24:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = - x^{2} + 4

và

y = - x + 2 ?

A.

\frac{5}{7} .

B.

\frac{8}{3} .

C.

\frac{9}{2} .

D. 9.

Xem đáp án

Đáp án A.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: $- x^{2} + 4 = - x + 2$

$\Leftrightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 2 \end{array} .$

Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: $S = \int_{- 1}^{2} |(- x^{2} + 4) - (- x + 2)| d x$

$= \int_{- 1}^{2} (- x^{2} + x + 2) d x = {(- \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x)|}_{- 1}^{2} = \frac{9}{2} .$

Câu 25:

Cho hình nón có bán kính đáy r = 4 và diện tích xung quanh bằng $20 π .$ Thể tích của khối nón đã cho bằng

A.

16 π .

B.

4 π .

C.

\frac{16 π}{3} .

D.

\frac{80 π}{3} .

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có: $S_{x q} = π r l \Rightarrow l = \frac{S_{x q}}{π r} = \frac{20 π}{π .4} = 5 \Rightarrow h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3.$

Vậy $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} . π {.4}^{2} .3 = 16 π .$

Câu 26:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:

A. 4.

B. 1.

C. 3.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có: $\lim_{x \to 1^{-}} y = + \infty$ nên x=1 là TCĐ và $\lim_{x \to + \infty} y = 5;$ $\lim_{x \to - \infty} y = 2;$ nên $y = 2; y = 5$ là hai TCN của đồ thị hàm số đã cho.

Câu 27:

Cho lăng trụ ABCD. A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên AA'=a . hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H của AB. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho

A.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} .

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2} .

C.

V = a^{3} .

D.

V = \frac{a^{3}}{3} .

Xem đáp án

Đáp án B.

Theo giả thiết, ta có $A^{'} H ⊥ A B .$

Tam giác vuông $A^{'} H A,$ có $A^{'} H = \sqrt{A^{'} A^{2} - A H^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Diện tích hình vuông $S_{A B C D} = a^{2}$ (đvdt).

Thể tích khối lăng trụ $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là:

$V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = S_{A B C} . A^{'} H = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$ (đvtt)

Câu 28:

Tính đạo hàm của hàm số $y = f (x) = x^{π} . π^{x}$ tại điểm $x = 1.$

A.

f^{'} (1) = π .

B.

f^{'} (1) = π^{2} + \ln π .

C.

f^{'} (1) = π^{2} + π \ln π .

D.

f^{'} (1) = 1.

Xem đáp án

Đáp án C.

Đạo hàm $f^{'} (x) = {(x^{π})}^{'} . π^{x} + x^{π} . {(x^{π})}^{'} = π . x^{π - 1} . π + x^{π} . π^{x} . \ln π .$

Suy ra $f^{'} (1) = π^{2} + π \ln π .$

Câu 29:

Số giao điểm của đồ thị hàm số

y = x^{3} - 3 x + 1

và trục Ox bằng

A. 4.

B.3

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án B.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x + 1$ và trục Ox là:

Bấm máy tính ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên số giao điểm là 3.

Câu 30:

Trong không gian cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi j là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

\tan φ = \frac{\sqrt{2}}{3} .

B.

\tan φ = \frac{2 \sqrt{3}}{3} .

C.

\tan φ = \frac{\sqrt{3}}{3} .

D.

\tan φ = \frac{\sqrt{3}}{2} .

Xem đáp án

Đáp án B.

Dễ dàng xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng d đi qua S và song song với AB. Trong mặt phẳng (SAB) có

$S H ⊥ A B \Rightarrow S H ⊥ d .$ Ta có $\{\begin{cases} C D ⊥ H K \\ C D ⊥ S H \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ (S H K) \Rightarrow C D ⊥ S K \Rightarrow d ⊥ S K .$

Từ đó suy ra $\hat{(S A B), (S C D)} = \hat{S H, S K} = \hat{H S K} .$

Trong tam giác vuông SHK, có $\tan \hat{H S K} = \frac{H K}{S H} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} .$

Câu 31:

Tìm tập nghiệm S của phương trình

l o g_{2} (9 - 2^{x}) = 3 - x .

A.

S = \{- 3; 0\} .

B.

S = \{0; 3\} .

C.

S = \{1; 3\}

D.

S = \{- 3; 1\} .

Xem đáp án

Đáp án B.

Phương trình tương đương với: $\Leftrightarrow 9 - 2^{2} = 2^{3 - x} \Leftrightarrow 9 - 2 x = \frac{8}{2^{x}}$

$\Leftrightarrow {(2^{x})}^{2} - {9.2}^{x} + 8 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2^{x} = 1 \\ 2^{x} = 8 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 3 \end{array} .$

Câu 32:

Một thùng đựng thư được thiết kế như hình vẽ bên, phần phía trên là nửa hình trụ. Thể tích của thùng đựng thư bằng

Một thùng đựng thư được thiết kế như hình vẽ bên, phần phía trên là nửa hình trụ. Thể tích của thùng đựng thư bằng (ảnh 1)

A.

320 + 80 π .

B.

640 + 40 π .

C.

640 + 80 π .

D.

640 + 160 π .

Xem đáp án

Đáp án C.

Thể tích phần phía dưới (hình hộp chữ nhật): $V_{1} = 4.4.40 = 640.$

Thể tích phần bên trên (nửa hình trụ): $V_{2} = \frac{1}{2} \times (2^{2} π 40) = 80 π .$

Vậy thể tích thùng đựng thư: $V = V_{1} + V_{2} = 640 + 80 π .$

Câu 33:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}$ là

A.

\frac{1}{3 \sqrt{x^{3} + 1}} + C .

B.

\frac{2}{3} \sqrt{x^{3} + 1} + C .

C.

\frac{2}{3 \sqrt{x^{3} + 1}} + C .

D. $\frac{1}{3} \sqrt{x^{3} + 1} + C .$

Xem đáp án

Đáp án B.

Đặt: $t = \sqrt{x^{3} + 1} \Rightarrow t^{2} = x^{3} + 1 \Rightarrow \frac{2}{3} t d t = x^{2} d x .$

Khi đó $I = \frac{2}{3} \int d t = \frac{2}{3} t + C .$

Với $t = \sqrt{x^{3} + 1}$ thì $I = \frac{2}{3} \sqrt{x^{3} + 1} + C .$

Câu 34:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên của hifh chóp bằng nhau và bằng 2p. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SCD).

A.

d = \frac{a \sqrt{7}}{\sqrt{30}} .

B.

d = \frac{2 a \sqrt{7}}{\sqrt{30}} .

C.

d = \frac{a}{2} .

D.

d = \frac{a \sqrt{2}}{2} .

Xem đáp án

Đáp án B.

Gọi O là tâm của đáy, suy ra $S O ⊥ (A B C D) .$

Ta có $d (A, (S C D)) = 2 d (O; (S C D)) .$

Gọi J là trung điểm CD, suy ra $O J ⊥ C D .$

Gọi K là hình chiếu của O trên SJ, suy ra

Khi đó $d (O; (S C D)) = O K = \frac{S O . O J}{\sqrt{S O^{2} + O J^{2}}} = \frac{a \sqrt{7}}{\sqrt{30}} .$

Vậy $d (A, (S C D)) = 2 O K = \frac{2 a \sqrt{7}}{\sqrt{30}} .$

Câu 35:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 1}$ và đường thẳng $d_{2} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 3}{2} .$ Viết phương trình đường thẳng $Δ$ đi qua $A (1; 0; 2),$ cắt d1 và d2 vuông góc

A.

\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 2}{1} .

B.

\frac{x - 1}{4} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 2}{- 1} .

C.

\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z - 2}{- 4} .

D.

\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{1} .

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có: $\vec{u_{d_{2}}} = (1; 2; 2) .$

Gọi $I = d_{1} \cap Δ, I (1 + t; - 1 + 2 t; - t) \Rightarrow \vec{A I} = (t; 2 t - 1; - t - 2) = \vec{u_{Δ}} .$

Do $Δ ⊥ d_{2} \Rightarrow \vec{u_{Δ}} . \vec{u_{d_{2}}} = 0 \Leftrightarrow t + 2 (2 t - 1) + 2 (- t - 2) = 0 \Leftrightarrow t = 2.$

Vậy $\vec{A I} = (2; 3; - 4) .$

Phương trình đường thẳng cần tìm là: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z - 2}{- 4} .$

Câu 36:

Cho hàm số $y = \frac{x^{2} - m^{2} + 2 m + 1}{x - m}$ (với m là tham số). Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

A.

m < - \frac{1}{3} .

B.

m \leq - \frac{1}{2} .

C.

m < - 1.

D.

m < - \frac{1}{4} .

Xem đáp án

Đáp án B.

TXĐ: $D = ℝ \ \{m\} .$

Ta có: $y^{'} = \frac{x^{2} - 2 m x + m^{2} - (2 m + 1)}{{(x - m)}^{2}} .$

Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì: $y^{'} \geq 0, \forall x \in D$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + m^{2} - (2 m + 1) \geq 0, \forall x \neq m$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 > 0 \\ Δ^{'} = 2 m + 1 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \leq - \frac{1}{2} .$

Câu 37:

Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho $|z + 1 - 2 i| = |\bar{z} - 2 + i|$ là một đường thẳng có phương trình

A.

x + 3 y = 0.

B.

3 x - y = 0.

C.

x - y = 0.

D.

x + y = 0.

Xem đáp án

Đáp án B.

Gọi số phức z thỏa mãn đề bài là: $z = x + y i$ $(x, y \in ℝ) .$

Ta có: $|z + 1 - 2 i| = |\bar{z} - 2 + i| \Leftrightarrow |x + 1 + (y - 2) i| = |x - 2 + (1 - y) i| .$

Suy ra:

{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} \Leftrightarrow 6 x - 2 y = 0 \Leftrightarrow 3 x - y = 0.

Câu 38:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R có đồ thị

y = f^{'} (x)

như hình vẽ. Đặt

g (x) = 2 f (x) - {(x - 1)}^{2} .

Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = g (x)

trên đoạn

[- 3; 3]

bằng

A.

g (0) .

B.

g (1) .

C.

g (3) .

D.

g (- 3) .

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có: $g^{'} (x) = 2 f^{'} (x) - 2 (x - 1) = 2 [f^{'} (x) - (x - 1)] .$

Và đường thẳng $y = x - 1$ cùng với đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R có đồ thị y=f(x) như hình vẽ. Đặt g(x)=2f(x)-(x-1)^2 Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số y=g(x) trên đoạn [-3;3] bằng (ảnh 1)

Ta có: $g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = x - 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 3 \\ x = 1 \\ x = 3 \end{array}$

Bảng biến thiên của hàm g(x) trên [-3;3]

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: $\underset{[- 3; 3]}{\min g} (x) = \min \{g (- 3); g (3)\}$

Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f (x), y = x - 1, x = - 3, x = 1.$

Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f (x), y = x - 1, x = 1, x = 3.$

Ta có $S_{1} > S_{2} \Leftrightarrow \int_{- 3}^{1} [f^{'} (x) - (x - 1)] d x > \int_{1}^{3} [(x - 1) - f^{'} (x)] d x$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \int_{- 3}^{1} g^{'} (x) d x > \frac{1}{2} \int_{- 3}^{1} [- g^{'} (x)] d x$

$\Leftrightarrow \int_{- 3}^{1} g^{'} (x) d x + \int_{1}^{3} g^{'} (x) d x > 0 \Leftrightarrow \int_{- 3}^{3} g^{'} (x) d x > 0 \Leftrightarrow {g (x)|}_{- 3}^{3} > 0$

$\Leftrightarrow g (3) - g (- 3) > 0 \Leftrightarrow g (3) > g (- 3) \Rightarrow \min_{[- 3; 3]} g (x) = g (- 3) .$

Câu 39:

Cho A là tập hợp các só tự nhiên có 7 chữ số. Lấy một số bất kì của tập A. Tính xác suất để lấy được số lẻ và chia hết cho 9.

A.

\frac{625}{1701} .

B.

\frac{1}{9} .

C.

\frac{1}{18} .

D.

\frac{1250}{1710} .

Xem đáp án

Đáp án C.

Cho A là tập hợp các số tự nhiên có 7 chữ số $\Rightarrow |Ω| = {9.10}^{6}$

Số chia hết cho 9 số có tổng các chữ số chia hết cho 9

Gọi số lẻ có 7 chữ số chia hết cho 9 cần tìm là x ta có $1000017 \leq x \leq 9999999,$ có $\frac{9999999 - 1000017}{18} + 1 = 500000$ số thõa mãn.

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{50000}{{9.10}^{6}} = \frac{1}{18} .$

Câu 40:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

y = x^{2};

y = \frac{x^{2}}{4};

y = \frac{8}{x} .

A.

\frac{7}{3} - 2 \ln 2.

B.

\frac{3}{2} + 2 \ln 2.

C.

4 l n 2.

D.

- \frac{5}{3} + \frac{4}{3} \ln 2.

Xem đáp án

Đáp án C.

Các hoành độ giao điểm $\{\begin{cases} x^{2} = \frac{2}{x} \Leftrightarrow x^{3} = 2 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{2} \\ x^{2} = \frac{8}{x} \Leftrightarrow x^{3} = 8 \Leftrightarrow x = 2 \\ \frac{x^{2}}{4} = \frac{2}{x} \Leftrightarrow x^{3} = 9 \Leftrightarrow x = 2 \\ \frac{x^{2}}{4} = \frac{8}{x} \Leftrightarrow x^{3} = 32 \Leftrightarrow x = 2 \sqrt[3]{4} \end{cases}$

Gọi S là diện tích cần xác định, ta có

$S = S_{1} + S_{2}$

$= \int_{\sqrt[3]{2}}^{2} (x^{2} - \frac{2}{x}) d x + \int_{2}^{2 \sqrt[3]{4}} (\frac{8}{x} - \frac{x^{2}}{4}) d x = {(\frac{x^{3}}{3} - 2 \ln x)|}_{\sqrt[3]{2}}^{2} + {(8 \ln x - \frac{x^{3}}{12})|}_{2}^{2 \sqrt[3]{4}} = 4 \ln 2$ (đvdt).

Câu 41:

Có bao nhiêu số nguyên m để GTNN của hàm số

y = f (x) = |- x^{4} + 8 x^{2} + m|

trên đoạn

[- 1; 3]

đạt giá trị nhỏ nhất.

A. 23.

B. 24.

C. 25

D. 26.

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có: $y = f (x) = |- x^{4} + 8 x^{2} + m| = |x^{4} - 8 x^{2} - m| = |{(x^{2} - 4)}^{2} - 16 - m| .$

Đặt $t = (x^{2} - 4),$ vì $x \in [- 1; 3] \Rightarrow t \in [0; 25] .$

Khi đó $y = g (t) = |t - 16 - m| .$

Ta có $\min_{[- 1; 3]} f (x) = \min_{[0; 25]} g (t) = \min \{|m - 9|; |m + 16|\} .$

Nếu $m - 9 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq 9,$ khi đó $\min_{[- 1; 3]} f (x) = m - 9 \geq 0,$ khi đó $\min (\min_{[- 1; 3]} f (x)) = 0,$ khi m=9

Nếu $m + 16 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq - 16,$ $\Leftrightarrow \min_{x \in [- 1; 3]} f (x) = - m - 16 \geq 0,$ khi m=-16

Nếu $(m - 9) (m + 16) < 0 \Leftrightarrow - 16 < m < 9,$ khi đó $\min_{x \in [- 1; 3]} f (x) = 0,$ khi đó $\min (\min_{[- 1; 3]} f (x)) = 0$

Vậy $\min (\min_{[- 1; 3]} f (x)) = 0,$ khi $- 16 \leq m \leq 9.$

Vì nên có 26 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 42:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn

2 f (x) + 3 f (1 - x) = x \sqrt{1 - x},

với mọi

x \in [0; 1] .

Tích phân

\int_{0}^{2} x f^{'} (\frac{x}{2})

bằng

A.

- \frac{4}{75} .

B.

- \frac{4}{25} .

C.

- \frac{16}{75} .

D.

- \frac{16}{25} .

Xem đáp án

Đáp án C.

Đặt $t = \frac{x}{2} \Rightarrow d t = \frac{1}{2} d x .$

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = 2 \Rightarrow t = 1 \end{cases} .$

Khi đó tích phẩn cần tính: $I = \int_{0}^{1} 2 t . f^{'} (t) 2 d t = 4 \int_{0}^{1} t . f^{'} (t) d t = 4 \int_{0}^{1} t . d (f (t))$

$= {4 t . f (t)|}_{0}^{1} - 4 \int_{0}^{1} f (t) d t = 4 f (1) - 4 \int_{0}^{1} f (t) d t$ (1).

Theo tính chất tích phân có

$\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{1}{2 + 3} \int_{0}^{1} [2 f (x) + 3 f (1 - x)] d x = \frac{1}{5} \int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x} d x = \frac{4}{75}$ (2).

Thay lần lượt $x = 0; x = 1$ vào đẳng thức đã cho có:

$\{\begin{cases} 2 f (0) + 3 f (1) = 0 \\ 2 f (1) + 3 f (0) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow f (1) = f (0) = 0$ (3).

Kết hợp (1), (2), (3) có $I = - \frac{16}{75} .$

Câu 43:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

Δ : \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{- 1}

và hai điểm

A (1; 2; - 1), B (3; - 1; - 5) .

Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A và cắt đường thẳng sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d là lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là:

A.

\frac{x - 3}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z + 5}{- 1} .

B.

\frac{x}{- 1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z}{4} .

C.

\frac{x + 2}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{- 1} .

D.

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{6} = \frac{z + 1}{- 5} .

Xem đáp án

Đáp án D.

Gọi $I = Δ \cap d .$

Khi đó $I (- 1 + 2 t; 3 t; - 1 - t) \in d .$

Ta có: $\vec{A B} = (2; - 3; - 4);$ $\vec{A I} = (2 t - 2; 3 t 5 - 2; - t) \Rightarrow [\vec{A I}, \vec{A B}] = (8 - 15 t; 6 t - 8; 10 - 12 t) .$

Suy ra: $d (B; d) = \frac{|[\vec{A I}, \vec{A B}]|}{|\vec{A I}|} = \sqrt{\frac{405 t^{2} - 576 t + 228}{14 t^{2} - 20 t + 8}} .$

Xét hàm số $f (t) = \frac{405 t^{2} - 576 t + 228}{14 t^{2} - 20 t + 8} = \frac{3}{2} . \frac{135 t^{2} - 192 t + 76}{7 t^{2} - 10 t + 4}$

Ta có: $f^{'} (t) = \frac{3}{2} . \frac{- 6 t^{2} + 16 t y - 8}{{(7 t^{2} - 10 t + 4)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 2 \\ t = \frac{2}{3} \end{array} .$

Bảng biến thiên hàm f(t) như sau

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra $d {(B; d)}_{\min} = f (\frac{2}{3}) = 27.$

Suy ra $\vec{A I} = (\frac{1}{3}; 2; - \frac{5}{3}) .$

Chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: $\vec{u} = 3 \vec{A I} = (1; 6; - 5) .$

Vậy phương trình đường thẳng d: $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{6} = \frac{z + 1}{- 5} .$

Câu 44:

Cho hàm số bậc bốn y=f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Cho hàm số bậc bốn y=f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. (ảnh 1)

Số điểm cực trị của hàm số $g (x) = f (2 x^{3} + 3 x^{2})$ là

A. 5.

B. 3.

C. 7.

D. 11.

Xem đáp án

Đáp án C.

Do $y = f (x)$ là hàm số bậc bốn nên là hàm số liên tục và có đạo hàm luôn xác định với mọi x.

Theo đồ thị hàm số ta có được $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = x_{1} \in (- 2; - 1) \\ x = x_{2} \in (- 1; 0) \\ x = x_{3} \in (0; \frac{3}{4}) \end{array} .$

Mặt khác $g^{'} (x) = (6 x^{2} + 6 x) . f^{'} (2 x^{3} + 3 x^{2}) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 6 x^{2} + 6 x = 0 \\ f^{'} (2 x^{3} + 3 x^{2}) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 1 \\ 2 x^{3} + 3 x^{2} = x_{1} \\ 2 x^{3} + 3 x^{2} = x_{2} \\ 2 x^{3} + 3 x^{2} = x_{3} \end{array} .$

Xét hàm số $h (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2}$ trên

Ta có $h^{'} (x) = 6 x^{2} + 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 1 \end{array},$ từ đó ta có bảng biến thiên của như sau:

Từ BBT của hàm số $h (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2}$ nên ta có $h (x) = x_{1}$ có đúng một nghiệm, $h (x) = x_{2}$ có đúng 1 nghiệm, $h (x) = x_{3}$ có đúng ba nghiệm phân biệt và các nghiệm này đều khác 0 và

Vì thế phương trình $g^{'} (x) = 0$ có đúng bảy nghiệm phân biệt và đều là các nghiệm đơn nên hàm số $y = g (x)$ có 7 cực trị.

Câu 45:

Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f'(x) có bảng biến thiên:

Bất phương trình $f (\sin x) < - 3 x + m$ nghiệm đúng với mọi $x \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ khi và chỉ khi

A.

m \geq f (1) + \frac{3 π}{2} .

B.

m > f (- 1) - \frac{3 π}{2} .

C.

m > f (\frac{π}{2}) + \frac{3 π}{2} .

D.

m > f (1) + \frac{3 π}{2} .

Xem đáp án

Đáp án A.

Bất phương trình đã cho tương đương với $m > f (\sin x) + 3 x, \forall x \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}) .$

Xét hàm số $g (x) = f (\sin x) + 3 x$ trên $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}) .$

Bài toán trở thành tìm m để $m > g (x), \forall x \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}) \Leftrightarrow m \geq \max_{(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}) .} g (x) .$

Ta có $g^{'} (x) = \cos x . f^{'} (\sin x) + 3.$

Nhận xét:

Với $x \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}) \Rightarrow \{\begin{cases} 0 < \cos x \leq 1 \\ - 1 < \sin x < 1 \Rightarrow - 3 < f^{'} (\sin x) < 0 \end{cases} \Rightarrow g^{'} (x) > 0. x \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}) \Rightarrow \{\begin{cases} 0 < \cos x \leq 1 \\ - 1 < \sin x < 1 \Rightarrow - 3 < f^{'} (\sin x) < 0 \end{cases} \Rightarrow g^{'} (x) > 0.$

Do đó ta có $m \geq \max_{(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}) .} g (x) = g (\frac{π}{2}) = f (\sin \frac{π}{2}) + 3. \frac{π}{2} = f (1) + \frac{3 π}{2} .$

Vậy $m \geq f (1) + \frac{3 π}{2} .$

Câu 46:

Cho phương trình

2^{{(x - 1)}^{2}} . \log_{2} (x^{2} - 2 x + 3) = 4^{|x - m|} . \log_{2} (2 |x - m| + 2)

với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt.

A.

m \in (- \infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{2}; + \infty) .

B.

m \in (- \infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{3}{2}; + \infty) .

C.

m \in (- \infty; - 1] \cup [1; + \infty) .

D.

m \in (- \infty; 1) \cup (1; + \infty) .

Xem đáp án

Đáp án A.

Phương trình tương đương với

$2^{x^{2} - 2 x + 3} . \log_{2} (x^{2} - 2 x + 3) = 2^{2 |x - m| + 2} . \log_{2} (2 |x - m| + 2)$ (*)

Xét hàm $f (t) = 2^{t} . \log_{2} t$ trên $[2; + \infty) .$

Ta có $f^{'} (t) = 2^{t} . \ln 2. \log_{2} t + \frac{2^{t}}{t . \ln 2} > 0, \forall t > 2.$

Suy ra hàm số f(t) là hàm số đồng biến trên $[2; + \infty) .$

Nhận thấy (*) có dạng $f (x^{2} - 2 x + 3) = f (2 |x - m| + 2) \Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 3 = 2 |x - m| + 2$

$\Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} = 2 |x - m| \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {(x - 1)}^{2} = 2 (x - m) \\ {(x - 1)}^{2} = - 2 (x - m) \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} - 4 x + 2 m + 1 = 0 (1) \\ x^{2} = 2 m - 1 (2) \end{array} .$ Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

TH1. Phương trình (1) và (2) đều có nghiệm kép và hai nghiệm này khác nhau

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} {Δ^{'}}_{(1)} = 0 \\ x^{2} = 2 m - 1 = 0 \end{cases} \Rightarrow m \in \emptyset .$

TH2. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, phương trình (2) vô nghiệm

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} {Δ^{'}}_{(1)} > 0 \\ x^{2} = 2 m - 1 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 - (2 m + 1) > 0 \\ 2 m - 1 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow m < \frac{1}{2} .$

TH3. Phương trình (1) vô nghiệm, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} {Δ^{'}}_{(1)} < 0 \\ x^{2} = 2 m - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 - (2 m + 1) < 0 \\ 2 m - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m > \frac{3}{2} .$

TH4. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biết, phương trình (2) cũng có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm của (1) giống hai nghiệm của (2) hay nói cách khác hai phương trình tương đương

Vậy $m \in (- \infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{2}; + \infty)$ là giá trị cần tìm.

Câu 47:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn $x y \leq 4 y - 1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = \frac{6 y}{x} + \ln (\frac{x + 2 y}{y}) .$

A.

24 + \ln 6.

B.

12 + \ln 4.

C.

\frac{3}{2} + \ln 6.

D.

3 + \ln 4.

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có $x y \leq 4 y - 1 \Leftrightarrow \frac{x}{y} \leq \frac{4}{y} - \frac{1}{y^{2}} = - {(\frac{1}{y} - 2)}^{2} + 4 \leq 4.$

Đặt $t = \frac{x}{y},0 < t \leq 4.$

$S = \frac{6 y}{x} + \ln (\frac{x + 2 y}{y})$ thành $S = \frac{6}{t} + \ln (t + 2) .$

Xét hàm số $f (t) = \frac{6}{t} + \ln (t + 2)$ trên $(0; 4]$ được $\min_{(0; 4]} f (t) = f (4) = \frac{3}{2} + \ln 6.$

Câu 48:

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = BA = BC = 1. Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABC?

A.

\frac{1}{6} .

B.

\frac{\sqrt{2}}{12} .

C.

\frac{1}{8} .

D.

\frac{\sqrt{3}}{12} .

Xem đáp án

Đáp án C.

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC).

Khi đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ A B C .$

Vì $Δ A B C .$ cân tại B nên H thuộc đường trung trực BM của AC..

Đặt AC=x

Ta có: $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} . B M . A C = \frac{1}{2} . x . \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} = \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{4}$ và $R = \frac{a b c}{4 S_{Δ A B C}} = \frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}} .$

Chiều cao của khối chóp là: $S H = \sqrt{S B^{2} - B H^{2}} = \sqrt{S B^{2} - R^{2}} = \sqrt{\frac{3 - x^{2}}{4 - x^{2}}} .$

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3} . S H . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} . \sqrt{\frac{3 - x^{2}}{4 - x^{2}}} . \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{4} = \frac{\sqrt{x^{2} (3 - x^{2})}}{12} .$

Theo bất đẳng thức Côsi ta có: $\sqrt{x^{2} (3 - x^{2})} \leq \sqrt{\frac{{(x^{2} + 3 - x^{2})}^{2}}{4}} = \frac{3}{2} .$

Do đó $V = \frac{\sqrt{x^{2} (3 - x^{2})}}{12} \leq \frac{3}{2.12} = \frac{1}{8} .$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x^{2} = 3 - x^{2} \Leftrightarrow x = \sqrt{\frac{3}{2}} .$

Câu 49:

Số giá trị nguyên của tham số m nằm trong khoảng $(0; 2020)$ để phương trình $||x - 1| - |2019 - x|| = 2020 - m$ có nghiệm là

A. 2018.

B. 2019.

C. 2020.

D. 2021.

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có: $f (x) = ||x - 1| - |2019 - x|| = \{\begin{cases} 2018, x \notin [1; 2019] \\ |2 x - 2020|, x \in [1; 2019] \end{cases} .$

Vì hàm số $h (x) = 2 x - 2020$ là hàm số đồng biến trên đoạn $[1; 2019]$ nên ta có

$\{\begin{cases} \min_{[1; 2019]} h (x) = \min \{h (1); h (2019)\} = - 2018 \\ \max_{[1; 2019]} h (x) = \max \{h (1); h (2019)\} = 2018 \end{cases}$

Suy ra $\{\begin{cases} \min_{[1; 2019]} f (x) = 0 \\ \max_{[1; 2019]} f (x) = 2018 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} \min_{ℝ} f (x) = 0 \\ \max_{ℝ} f (x) = 2018 \end{cases} .$

Do đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $0 \leq 2020 - m \leq 2018 \Leftrightarrow 2 \leq m \leq 2020$

Suy ra có 2018 giá trị nguyên của m nằm trong khoảng $(0; 2020) .$

Câu 50:

Cho hàm số $f (x) = \sqrt[3]{7 + 3 x} - \sqrt[3]{7 - 3 x} + 2019 x .$ Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện $f (|x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - m|) + f (2 x - 2 x^{2} - 5) < 0,$ $\forall x \in (0; 1) .$ Số phần tử của S là?

A. 7.

B. 3.

C. 9.

D. 5.

Xem đáp án

Đáp án C.

Vì $f (x) = \sqrt[3]{7 + 3 x} - \sqrt[3]{7 - 3 x} + 2019 x$ là hàm số lẻ và đồng biến trên R nên ta có

$f (|x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - m|) < - f (2 x - 2 x^{2} - 5) \Leftrightarrow |x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - m| < 2 x^{2} - 2 x + 5$

$\Leftrightarrow - 2 x^{2} + 2 x - 5 < x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - m < 2 x^{2} - 2 x + 5 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 5 < m \\ x^{3} + x + 5 > m \end{cases} .$

Xét $g (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 5$ và $h (x) = x^{3} + x + 5$ trên có bảng biến thiên là

Từ bảng biến thiên suy ra $f (|x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - m|) + f (2 x - 2 x^{2} - 5) < 0, \forall x \in (0; 1)$ khi và chỉ khi $\{\begin{cases} m \geq - 3 \\ m \leq 5 \end{cases} \Rightarrow - 3 \leq m \leq 5.$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề)

Đề số 9

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan