50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 11

Câu 1:

Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 3x-z+1. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có tọa độ là:

A.

(3; 0; - 1)

B.

(3; - 1; 1)

C.

(3; - 1; 0)

D.

(- 3; 1; 1)

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\vec{n_{(P)}} = (3; 0; - 1)$ .

Câu 2:

Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức $z = \frac{(2 - 3 i) (4 - i)}{3 + 2 i}$ ?

A.

(- 1; - 4)

B. (1;4)

C. (1;-4)

D. (-1;4)

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $z = - 1 - 4 i$ .

Câu 3:

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y = \frac{2 x - 5}{x + 3}

là

A. x=-3

B. y=-3

C. x=2

D. y=2

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\lim_{x \to {(- 3)}^{+}} y = \lim_{x \to {(- 3)}^{+}} \frac{2 x - 5}{x + 3} = - \infty; \lim_{x \to {(- 3)}^{-}} y = \lim_{x \to {(- 3)}^{-}} \frac{2 x - 5}{x + 3} = + \infty$ .

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 3$ .

Câu 4:

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho

\vec{O A} = \vec{3 k} - \vec{i}

. Tìm tọa độ điểm A?

A.

A (3; 0; - 1)

B.

A (- 1; 0; 3)

C.

A (- 1; 3; 0)

D.

A (3; - 1; 0)

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $A (- 1; 0; 3)$ .

Câu 5:

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó?

A. $y = x^{3} + x - 5$

B.

y = x^{4} + 3 x^{2} + 4

C.

y = x^{2} + 1

D.

y = \frac{2 x - 1}{x - 1}

Xem đáp án

Đáp án A

Xét $y = x^{3} + x - 5$ , ta có $y^{'} = 3 x^{2} + 1 > 0, \forall x \in ℝ \Rightarrow$ hàm số đồng biến trên .

Câu 6:

Một hình nón có diện tích xung quanh bằng 2π ( $c m^{2}$ ) và bán kính đáy $r = \frac{1}{2}$ cm. Khi đó độ dài đường sinh của hình nón là

A. 1 cm

B. 3 cm

C. 4 cm

D. 2 cm

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $S_{x q} = π r l \Rightarrow l = \frac{S_{x q}}{π r} = 4$ .

Câu 7:

\lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x - 5}{- x + 12}

bằng

A.

- \infty

B.

- \frac{5}{12}

C.

+ \infty

D. -2

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có

\lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x - 5}{- x + 12} = + \infty

Câu 8:

Tìm tập nghiệm S của bất phương trình $5^{1 - 2 x} > \frac{1}{125}$ .

A.

S = (2; + \infty)

B.

S = (- \infty; 2)

C.

S = (0; 2)

D.

S = (- \infty; 1)

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $5^{1 - 2 x} > \frac{1}{125} \Leftrightarrow 5^{1 - 2 x} > 5^{- 3} \Leftrightarrow 1 - 2 x > - 3 \Leftrightarrow x < 2$ .

Câu 9:

Gọi

z_{1}, z_{2}

là hai nghiệm phức của phương trình

z^{2} + 6 z + 13 = 0

trong đó là số phức có phần ảo âm. Tìm số phức

ω = z_{1} + 2 z_{2}

.

A.

ω = 9 + 2 i

B.

ω = - 9 + 2 i

C.

ω = - 9 - 2 i

D.

ω = 9 - 2 i

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $z^{2} + 6 z + 13 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z_{1} = - 3 - 2 i \\ z_{2} = - 3 + 2 i \end{array} \Rightarrow ω = z_{1} + 2 z_{2} = - 9 + 2 i$ .

Câu 10:

Cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$ và $(P) : 2 x - y - 2 z + 1 = 0$ mặt phẳng thuộc không gian hệ tọa độ Oxyz. Biết $(P)$ và $S_{x q}$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r. Tính r.

A. r=3

B.

r = 2 \sqrt{2}

C.

r = \sqrt{3}

D.

r = 2

Xem đáp án

Đáp án B

Mặt cầu (S) có tâm $I (1; 2; 2)$ , bán kính $R = 3$ .

Ta có

d (I, (P)) = 1 \Rightarrow r = \sqrt{R^{2} - d^{2} (I, (P))} = 2 \sqrt{2}

.

Câu 11:

Tính $a + b + c$ , biết tồn tại duy nhất bộ các số nguyên a, b, c để $\int_{2}^{3} (4 x + 2) \ln xdx = a + b \ln 2 + c \ln 3$ . Giá trị của $a + b + c$ bằng

A. 19

B. -19

C. 5

D. -5

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $I = \int_{2}^{3} (4 x + 2) \ln xdx$ .

Đặt $\{\begin{cases} u = \ln x \\ d v = (4 x + 2) d x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{d x}{x} \\ v = 2 x^{2} + 2 x = 2 x (x + 1) \end{cases}$

$\Rightarrow I = {[2 x (x + 1) \ln x]|}_{2}^{3} - \int_{2}^{3} \frac{2 x (x + 1) d x}{x} = 24 \ln 3 - 12 \ln 2 - 2 \int_{2}^{3} (x + 1) d x$ $= {24 \ln 3 - 12 \ln 2 - 2 (\frac{x^{2}}{2} + x)|}_{2}^{3} = 24 \ln 3 - 12 \ln 2 - 2 (\frac{15}{2} - 4)$ $= 24 \ln 3 - 12 \ln 2 - 7 = a + b \ln 2 + c \ln 3$ .

\Rightarrow \{\begin{cases} a = - 7 \\ b = - 12 \\ c = 24 \end{cases} \Rightarrow a + b + c = - 7 - 12 + 24 = 5

.

Câu 12:

Tính tổng T của tất cả các nghiệm của phương trình

{4.9}^{x} - {13.6}^{x} + {9.4}^{x} = 0

?

A. T=2

B. T=3

C. $T = \frac{13}{4}$

D. $T = \frac{1}{4}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$4 {(\frac{9}{4})}^{x} - 13 {(\frac{6}{4})}^{x} + 9 = 0 \Leftrightarrow 4 {[{(\frac{3}{2})}^{x}]}^{2} - 13 {(\frac{3}{2})}^{x} + 9 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {(\frac{3}{2})}^{x} = \frac{9}{4} \\ {(\frac{3}{2})}^{x} = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 0 \end{array} \Rightarrow T = 2$ .

Câu 13:

Cho một hình nón đỉnh S có chiều cao bằng 8cm, bán kính đáy bằng 6cm. Cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa đáy được một hình nón (N) đỉnh S có đường sinh bằng 4cm. Tính thể tích của khối nón (N).

A.

\frac{768}{125} π c m^{3}

B.

\frac{786}{125} π c m^{3}

C.

\frac{2304}{125} π c m^{3}

D.

\frac{2358}{125} π c m^{3}

Xem đáp án

Đáp án A

Đường sinh của hình nón là $l = \sqrt{h^{2} + r^{2}} = 10$

Gọi là bán kính của hình nón ta có $\frac{r^{'}}{r} = \frac{4}{10} \Rightarrow r^{'} = \frac{12}{5}$ .

Chiều cao của hình nón là: $h^{'} = \sqrt{{l^{'}}^{2} - {r^{'}}^{2}} = \sqrt{4^{2} - {(\frac{12}{5})}^{2}} = \frac{16}{15}$ .

Do đó thể tích của hình nón là: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{768}{125} π$ .

Câu 14:

Tích vô hướng của hai véctơ $\vec{a} (- 2; 2; 5), \vec{b} (0; 1; 2)$ trong không gian bằng

A. 14

B. 13

C. 10

D. 12

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = - 2.0 + 2.1 + 5.2 = 12$ .

Câu 15:

Cho hàm số

f (x) = \{\begin{cases} 3 x + a - 1 khi x \leq 0 \\ \frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1}{x} khi x > 0 \end{cases}

. Tìm tất cả giá trị của a để hàm số đã cho liên tục tại điểm

x = 0

.

A. a=1

B. a=3

C. a=2

D. a=4

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 + 2 x - 1}{x (\sqrt{1 + 2 x} + 1)} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\sqrt{1 + 2 x + 1}} = 1$ .

$\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} (3 x + a - 1) = a - 1 = 1 \Rightarrow a = 2$ .

Câu 16:

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên R. Biết

\int_{0}^{2} x . f (x^{2}) d x = 2

, hãy tính

I = \int_{0}^{4} f (x) d x

.

A. I=2

B. I=1

C.

I = \frac{1}{2}

D. I=4

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có

\int_{0}^{2} x f (x^{2}) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} f (x^{2}) d (x^{2}) = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} f (x) d x \Rightarrow \int_{0}^{4} f (x) d x = 2 \int_{0}^{4} x f (x^{2}) d x = 4

.

Câu 17:

Gọi $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $2 z^{2} - 3 z + 4 = 0$ . Tính $w = \frac{1}{z_{1}} + \frac{1}{z_{2}} + i z_{1} z_{2}$ .

A.

w = - \frac{3}{4} + 2 i

B.

w = \frac{3}{4} + 2 i

C.

f (x) = m

D.

w = \frac{3}{2} + 2 i

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $z_{1} + z_{2} = \frac{3}{2}, z_{1} z_{2} = 2 \Rightarrow w = \frac{1}{z_{1}} + \frac{1}{z_{2}} + i z_{1} z_{2} = \frac{z_{1} + z_{2}}{z_{1} z_{2}} + i z_{1} z_{2} = \frac{3}{4} + 2 i$ .

Câu 18:

Cho $F (x) = \frac{a}{x} (\ln x + b)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1 + \ln x}{x^{2}}$ , trong đó $a, b \in ℤ$ . Tính S=z+b.

A. h

B. S=1

C. S=2

D. y=x

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $F (x) = \int \frac{1 + \ln x}{x^{2}} d x = - \int (1 + \ln x) d (\frac{1}{x}) = - \frac{1 + \ln x}{x} + \int \frac{d x}{x} = \frac{- 1}{x} (\ln x + 2)$ .

Do đó ta suy ra $a = - 1, b = 2 \Rightarrow S = a + b = 1$ .

Câu 19:

Một kĩ sư được nhận lương khởi điểm là 8.000.000 đồng/tháng. Cứ sau 2 năm lương mỗi tháng của kĩ sư đó được tăng thêm 10% so với mức lương hiện tại. Tính tổng số tiền T (đồng) kĩ sư đó nhận được sau 6 năm làm việc.

A. 635.520.000

B. 696.960.000

C. 633.600.000

D. 766.656.000

Xem đáp án

Đáp án A

+ Hai năm đầu: người đó nhận được $2.12.8 = 192$ triệu đồng.

+ Hai năm tiếp: người đó nhận được $2.12. (8 + 8.10 %) = 211,2$ triệu đồng.

+ Hai năm cuối: người đó nhận được $2.12. [8 + 8.10 % + (8 + 8.10 %) .10 %] = 232,32$ triệu đồng.

Vậy sau 6 năm người đó đã nhận được $192 + 211,2 + 232,32 = 635,52$ triệu đồng hay 635.520.000 đồng.

Câu 20:

Tìm m để hàm

y = \sqrt{\cos 3 x - 9 \cos x - m}

có tập xác định

A.

m \geq - 8

B. m=3

C. m<-8

D. $m \leq - 8$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y = \sqrt{\cos 3 x - 9 \cos x - m} = \sqrt{4 \cos^{3} x - 12 \cos x - m} = \sqrt{4 t^{3} - 12 t - m}, t = \cos x$ .

Theo bài ra $4 t^{3} - 12 t - m \geq 0, \forall t \in [- 1; 1] \Rightarrow \min (4 t^{3} - 12 t - m) \geq 0, \forall t \in [- 1; 1]$ .

f^{'} (t) = 12 t^{2} - 12 = 0 \Leftrightarrow t \in \{- 1; 1\} \Rightarrow \min f (t) = f (1) = - 8 - m \Rightarrow - 8 - m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq - 8

.

Câu 21:

Cho số phức $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ thỏa mãn $|z - 5 - 5 i| = 2 \sqrt{2}$ . Tìm sao cho $|z|$ nhỏ nhất.

A. P=12

B. P=8

C. P=9

D. P=21

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y = \sqrt{\cos 3 x - 9 \cos x - m} = \sqrt{4 \cos^{3} x - 12 \cos x - m} = \sqrt{4 t^{3} - 12 t - m}, t = \cos x$ .

Theo bài ra $4 t^{3} - 12 t - m \geq 0, \forall t \in [- 1; 1] \Rightarrow \min (4 t^{3} - 12 t - m) \geq 0, \forall t \in [- 1; 1]$ .

$f^{'} (t) = 12 t^{2} - 12 = 0 \Leftrightarrow t \in \{- 1; 1\} \Rightarrow \min f (t) = f (1) = - 8 - m \Rightarrow - 8 - m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq - 8$ .

Câu 22:

Cho tích phân

I = \int_{1}^{2} \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 2 x}{x + 1} d x = a + b \ln 2 + c \ln 3

với

a, b, c \in ℚ

. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. b<0

B. c>0

C. a<0

D. a+b+c>0

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $I = \int_{1}^{2} \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 2 x}{x + 1} d x = \int_{1}^{2} (x^{2} - 4 x + 6 - \frac{6}{x + 1}) d x = {(\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 6 x - 6 \ln |x + 1|)|}_{1}^{2}$

$= \frac{7}{3} - 6 \ln 3 + 6 \ln 2 \Rightarrow a = \frac{7}{3}, b = 6, c = - 6 \Rightarrow a + b + c = \frac{7}{3} > 0$ .

Câu 23:

Biết rằng phương trình $(z + 3) (z^{2} - 2 z + 10) = 0$ có ba nghiệm phức là $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ . Giá trị của $|z_{1}| + |z_{2}| + |z_{3}|$ bằng

A. 5

B. 23

C.

3 + 2 \sqrt{10}

D.

3 + \sqrt{10}

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $(z + 3) (z^{2} - 2 z + 10) = 0 \Leftrightarrow z = - 3$ hoặc $z = 1 \pm 3 i$ .

Do đó

|z_{1}| + |z_{2}| + |z_{3}| = |- 3| + |1 + 3 i| + |1 - 3 i| = 3 + 2 \sqrt{10}

.

Câu 24:

Giả sử rằng là hàm số liên tục và thỏa mãn

3 x^{5} + 96 = \int_{c}^{x} f (t) d t

với mỗi

x \in ℝ

, trong đó c là một hằng số. Giá trị của c thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. m=2

B. m=5

C. $z_{1}, z_{2}$

D. (3;5)

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $3 c^{5} + 96 = \int_{c}^{c} f (t) d t = 0 \Leftrightarrow c = - 2 \in (- 3; - 1)$ .

Câu 25:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{6 x^{2} + 13 x + 11}{2 x^{2} + 5 x + 2}$ và thỏa mãn $F (2) = 7$ . Biết rằng $F (\frac{1}{2}) = \frac{5}{2} + a \ln 2 + b \ln 5$ , trong đó a, b là các số nguyên. Tính trung bình cộng của a và b.

A. 10

B. 8

D. 3

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $f (x) = 3 = \frac{4}{2 x + 1} - \frac{3}{x + 2}$ nên $F (x) = 3 x + 2 \ln |2 x + 1| - 3 \ln |x + 2| + C$

Do đó $F (2) = 7 \Leftrightarrow 6 + 2 \ln 5 - 3 \ln 4 + C = 7 \Leftrightarrow C = 1 + 6 \ln 2 - 2 \ln 5$

Suy ra $F (x) = 3 x + 2 \ln |2 x + 1| - 3 \ln |x + 2| + 1 + 6 \ln 2 - 2 \ln 5$

Ta có $F (\frac{1}{2}) = \frac{5}{2} + 11 \ln 2 - 5 \ln 5$ . Từ đó, ta có $a = 11, b = - 5$ .

Vậy trung bình cộng của a và b là $\frac{11 + (- 5)}{2} = 3$ .

Câu 26:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A (0; 1; 2), B (2; - 2; 1), C (- 2; 0; 1)$ và mặt phẳng $(α)$ có phương trình $2 x + 2 y + z - 3 = 0$ . Biết rằng tồn tại duy nhất điểm thuộc mặt phẳng $(α)$ sao cho $M A = M B = M C$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?

A.

2 a + b - c = 0

B.

2 a + 3 b - 4 c = 41

C.

5 a + b + c = 0

D.

a + 3 b + c = 0

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\vec{A B} = (2; - 3; - 1), \vec{A C} = (- 2; - 1; - 1)$ và $\vec{A B} . \vec{A C} = 0$ nên tam giác ABC vuông tại A và trung điểm $I (0; - 1; 1)$ của cạnh BC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Do $M A = M B = M C$ nên M thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, nghĩa là M thuộc đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (ABC).

(ABC) nhận $\frac{1}{2} [\vec{A B}, \vec{A C}] = (1; 2; - 4)$ làm véctơ pháp tuyến nên $d : \{\begin{cases} x = t \\ y = - 1 + 2 t \\ z = - 1 - 4 t \end{cases}$ .

Ta có d và $(α)$ cắt nhau tại $M (2; 3; - 7)$ . Suy ra $2 a + 3 b - 4 c = 41$ .

Câu 27:

Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn $2 |z - i| = |z - \bar{z} + 2 i|$ là

A. Một đường thẳng.

B. Một đường elip.

C. Một parabol.

D. Một đường tròn.

Xem đáp án

Đáp án C

Giả sử $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ .

Ta có $2 |z - i| = |z - \bar{z} + 2 i| \Leftrightarrow 2 |x + (y - 1) i| = |x + y i - (x - y i) + 2 i| \Leftrightarrow |x + (y - 1) i| = |(y + 1) i|$

$\Leftrightarrow x^{2} + {(y - 1)}^{2} = {(y + 1)}^{2} \Leftrightarrow y = \frac{1}{4} x^{2}$ .

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện đã cho là parabol (P) có phương trình $y = \frac{1}{4} x^{2}$ .

Câu 28:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 27

và đường thẳng

d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}

. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Nếu phương trình của (P) là

a x + b y - z + c = 0

thì

A.

a + b + c = 1

B.

a + b + c = - 6

C.

a + b + c = 6

D.

a + b + c = 2

Xem đáp án

Đáp án C

Mặt cầu (S) có tâm I(2;5;3) và bán kính $R = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3}$ .

Gọi r là bán kính của đường tròn giao tuyến.

Ta có $R^{2} = r^{2} + d^{2} (I, (P))$ nên (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi $d (I, (P))$ là lớn nhất.

Do $d \subset (P)$ nên $d (I, (P)) \leq d (I, (d)) = I H$ , trong đó H là hình chiếu vuông góc của I trên d.

Dấu “=” xảy ra khi $(P) ⊥ I H$ .

Ta có $H (1 + 2 t; t; 2 + 2 t) \in d$ và $\vec{I H} = (2 t - 1; t - 5; 2 t - 1)$

Suy ra $(P) : x - 4 y + z - 3 = 0$ hay $(P) : - x + 4 y - z + 3 = 0$ . Do đó $a = - 1, b = 4, c = 3$ .

Câu 29:

Biết điểm A có hoành độ lớn hơn -4 là giao điểm của đường thẳng

y = x + 7

với đồ thị (C) của hàm số

y = \frac{2 x - 1}{x + 1}

. Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A cắt hai trục độ Ox, Oy lần lượt tại E, F. Khi đó tam giác OEF (O là gốc tọa độ) có diện tích bằng:

A.

\frac{33}{2}

B.

\frac{121}{2}

C.

\frac{121}{3}

D.

\frac{121}{6}

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị là

$\frac{2 x - 1}{x + 1} = x + 7$ .

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq - 1 \\ x^{2} + 8 x + 7 = 2 x - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 1 \\ x^{2} + 6 x + 8 = 0 \end{cases} \Rightarrow x = - 2; y = 5$

Phương trình tiếp tuyến: $f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1} \Rightarrow f^{'} (- 2) = 3 \Rightarrow y = 3 (x + 2) + 5 = 3 x + 11$ .

Với $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow y = 11 \\ y = 0 \Rightarrow x = - \frac{11}{3} \end{cases} \Rightarrow S = \frac{1}{2} . |11| . |- \frac{11}{3}| = \frac{121}{6}$ .

Câu 30:

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

y = \frac{\sin x + \cos x}{2 \sin x - \cos x + 3}

lần lượt là:

A.

m = - 1; M = \frac{1}{2}

B.

m = - 1; M = 2

C.

m = - \frac{1}{2}; M = 1

D.

m = 1; M = 2

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $\frac{\sin x + \cos x}{2 \sin x - \cos x + 3} = m \Rightarrow \sin x + \cos x = 2 m \sin x - m \cos x + 3 m$

$\Leftrightarrow (2 m - 1) \sin x - (m + 1) \cos x = - 3 m$ .

Phương trình trên có nghiệm khi

${(2 m - 1)}^{2} + {(m + 1)}^{2} \geq 9 m^{2} \Leftrightarrow 4 m^{2} + 2 m - 2 \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq \frac{1}{2}$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số lần lượt là $- 1; \frac{1}{2}$ .

Câu 31:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 6 y + m = 0$ và đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(α) : x + 2 y - 2 z - 4 = 0$ và $(β) : 2 x - y - z + 1 = 0$ . Đường thẳng Δ cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB=8 khi:

A. m=12

B. m=-12

C. m=-10

D. m=5

Xem đáp án

Đáp án B

Mặt cầu (S) có tâm $I (- 2; 3; 0)$ ; $R = \sqrt{13 - m}$

Đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(α) : x + 2 y - 2 z - 4 = 0$ và $(β) : 2 x - 2 y - z + 1 = 0$ .

Khi đó $\vec{n_{Δ}} = [\vec{n_{α}}, \vec{n_{β}}] = - 3 (2; 1; 2)$ , lại có điểm $M (0; 1; - 1) \in$ giao tuyến của 2 mặt phẳng.

Suy ra $Δ : \{\begin{cases} x = 2 t \\ y = 1 + t \\ z = - 1 + 2 t \end{cases}$ ; gọi $H (2 t; 1 + t; - 1 + 2 t)$ là hình chiếu vuông góc của I lên Δ.

Ta có: $\vec{I H} (2 t + 2; t - 2; 2 t - 1) . \vec{u_{Δ}} (2; 1; 2) = 4 t + 4 + t - 2 + 4 t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow H (0; 1; - 1)$ .

Khi đó $R^{2} = I H^{2} + {(\frac{A B}{2})}^{2} = 9 + 16 = 25 = 13 - m \Rightarrow m = - 12$ .

Câu 32:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} - (2 m + 1) x^{2} + 3 m x - m$ có đồ thị $(C_{m})$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc $(- 2018; 2018]$ để đồ thị $(C_{m})$ có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành.

A. 4033

B. 4034

C. 4035

D. 4036

Xem đáp án

Đáp án B

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow f (x) = 0$ có ba nghiệm phân biệt (*).

Ta có $x^{3} - (2 m + 1) x^{2} + 3 m x - m = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} - 2 m x + m) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ \underset{g (x)}{\underset{⏟}{x^{2} - 2 m x + m = 0}} \end{array}$ .

Do đó (*) $\Leftrightarrow g (x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác 1 $\Rightarrow \{\begin{cases} Δ^{'} = m^{2} - m > 0 \\ g (1) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 1 \\ m < 0 \end{cases}$ .

Kết hợp với $m \in (- 2018; 2018]$ và $m \in ℤ \Rightarrow$ có $2017 + 2017 = 4034$ số cần tìm.

Câu 33:

Một bảng khóa điện tử của phòng học gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn liên tiếp 3 nút khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút đó theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Một người không biết quy tắc mở cửa trên, đã nhấn ngẫu nhiên liên tiếp 3 nút khác nhau trên bảng điều khiển, tính xác suất để người đó mở được cửa phòng học.

A.

\frac{1}{12}

B.

\frac{1}{72}

C.

\frac{1}{90}

D.

\frac{1}{15}

Xem đáp án

Đáp án C

Không gian mẫu $Ω$ có số phần tử là $n (Ω) = A_{10}^{3} = 720$

Gọi E là biến cố “B mở được cửa phòng học”

Ta có $E = \{(0; 1; 9), (0; 2; 8), (0; 3; 7), (0; 4; 6), (1; 2; 7), (1; 3; 6), (1; 4; 5), (2; 3; 5)\}$

Do đó

n (E) = 8

. Vậy xác suất cần tính là

P = \frac{n (E)}{n (Ω)} = \frac{8}{720} = \frac{1}{90}

.

Câu 34:

Cho dãy số thỏa mãn $(u_{n})$ $2^{u_{1} + 1} + 2^{3 - u_{2}} = \frac{8}{\log_{3} (\frac{1}{4} u_{3}^{2} - 4 u_{1} + 4)}$ và với mọi $n \geq 1$ . Giá trị nhỏ nhất của n để $S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n} > 500^{100}$ bằng

A. 230

B. 233

C. 234

D. 231

Xem đáp án

Đáp án C

Dễ thấy $(u_{n})$ là cấp số nhân với công bội $q = 2 \Rightarrow u_{n} = u_{1} {.2}^{n - 1} \Rightarrow \{\begin{cases} u_{2} = 2 u_{1} \\ u_{3} = 4 u_{1} \end{cases}$

Ta có $2^{2 u_{1} + 1} + 2^{3 - u_{2}} \geq 2 \sqrt{2^{2 u_{1} + 1} {.2}^{3 - u_{2}}} = 2 \sqrt{2^{2 u_{1} - u_{2} + 4}} = 2 \sqrt{2^{4}} = 8$

Lại có $\frac{1}{4} u_{3}^{2} - 4 u_{1} + 4 = \frac{1}{4} {(u_{3})}^{2} - u_{3} + 4 \geq 3 \Rightarrow \frac{8}{\log_{3} (\frac{1}{4} u_{3}^{2} - 4 u_{1} + 4)} \leq \frac{8}{\log_{3} 3} = 8$

Do đó, dấu bằng xảy ra khi $u_{3} = 2 \Rightarrow u_{1} = \frac{1}{2} \Rightarrow S_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q} = \frac{2^{n} - 1}{2}$

Lại có $S_{n} > 5^{100} \Leftrightarrow \frac{2^{n} - 1}{2} > 5^{100} \Leftrightarrow 2^{n} > {2.5}^{100} + 1 \Leftrightarrow n > \log_{2} ({2.5}^{100} + 1) \approx 233,19$ .

Câu 35:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên R, có đồ thị của hàm số f'(x) và đường thẳng y=-x như hình bên. Hàm số $h (x) = f (x^{3} - 3) + \frac{{(x^{3} - 3)}^{2}}{2}$ đồng biến trên:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên R, có đồ thị của hàm số f'(x) và đường thẳng y=-x như hình bên. (ảnh 1)

A.

(- \infty; 0)

B.

(- \infty; 1)

C.

(1; + \infty)

D.

(0; 1)

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $g (x) = f (x) + \frac{x^{2}}{2} \Rightarrow g^{'} (x) = f^{'} (x) + x > 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) > - x \Leftrightarrow x > - 2$ .

Khi đó $h (x) = g (x^{3} - 3) = f (x^{3} - 3) + \frac{{(x^{3} - 3)}^{2}}{2} \Rightarrow h^{'} (x) = {[g (x^{3} - 3)]}^{'} = 3 x^{2} . g^{'} (x^{3} - 3)$

Suy ra $h^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow g^{'} (x^{3} - 3) > 0 \Leftrightarrow x^{3} - 3 > - 2 \Leftrightarrow x^{3} > 1 \Leftrightarrow x > 1$ .

Do đó hàm số $h (x)$ đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$ .

Câu 36:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R, thỏa mãn $f^{'} (x) - 2018 f (x) = 2018 x^{2017} e^{2018 x}$ và f(0)=2018. Tính giá trị f(1).

A.

f (1) = 2018 e^{- 2018}

B.

f (1) = 2017 e^{2018}

C.

f (1) = 2018 e^{2018}

D.

f (1) = 2019 e^{2018}

Xem đáp án

Đáp án D

Nhân cả hai vế với $e^{- 2018 x}$ , ta được:

$f^{'} (x) . e^{- 2018 x} - 2018 f (x) . e^{- 2018 x} = 2018 x^{2017} \Leftrightarrow {[f (x) . e^{- 2018 x}]}^{'} = 2018 x^{2017}$

Lấy nguyên hàm hai vế, ta được:

Do $f (0) = 2018$ , nên ta có $f (0) . e^{- 2018.0} = 0^{2018} + C \Leftrightarrow C = 2018$ .

Suy ra: $f (x) = (x^{2018} + 2018) e^{2018 x}$ .

Vậy $f (1) = 2019 e^{2018}$ .

Câu 37:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 4

và một điểm M(2;3;1). Từ M kẻ được vô số các tiếp tuyến tới (S), biết tập hợp các tiếp điểm là đường tròn (C). Tính bán kính r của đường tròn SC.

A.

r = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

B.

\frac{\sqrt{3}}{3}

C.

\frac{\sqrt{2}}{3}

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;0) bán kính R=2. Kẻ tiếp tuyến MA và MB sao cho M, A, I, B đồng phẳng suy ra đường tròn là đường tròn đường kính AB.

Gọi H là hình chiếu của A trên IM $\Rightarrow r = \frac{A B}{2} = A H$

Ta có: $M I = \sqrt{6} \Rightarrow A M = \sqrt{M I^{2} - I A^{2}} = \sqrt{2}$

Lại có:

\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{I A^{2}} + \frac{1}{M A^{2}} \Rightarrow A H = r = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

.

Câu 38:

Cho hàm số

y = x^{3} - 3 x^{2}

có đồ thị (C) và điểm M(m;-4) .Hỏi có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-10;10] sao cho qua điểm M có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến (C) .

A. 20

B. 15

C. 17

D. 12

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi $A (a; a^{3} - 3 a^{2}) \in (C)$

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x \Rightarrow$ phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A là:

$y = (3 a^{2} - 6 a) (x - a) + a^{3} - 3 a^{2}$

Để d đi qua điểm $M (m; - 4)$ thì: $- 4 = (3 a^{2} - 6 a) (m - a) + a^{3} - 3 a^{2}$ .

$\Leftrightarrow (a^{3} - 3 a^{2} + 4) + 3 a (a - 2) (m - a) = 0 \Leftrightarrow (a - 2) (a^{2} - a - 2) + (a - 2) (3 m a - 3 a^{2}) = 0$ .

$\Leftrightarrow (a - 2) [- 2 a^{2} + (3 m - 1) a - 2] = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 2 \\ g (a) = 2 a^{2} - (3 m - 1) a + 2 = 0 \end{array}$ Để qua M có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến $(C) \Leftrightarrow g (a) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ = {(3 m - 1)}^{2} - 16 > 0 \\ g (2) = 12 - 6 m \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} 3 m - 1 > 4 \\ 3 m - 1 < - 4 \end{array} \\ m \neq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m > \frac{5}{3} \\ m < - 1 \end{array} \\ m \neq 2 \end{cases}$ .

Kết hợp $\{\begin{cases} m \in ℤ \\ m \in [- 10; 10] \end{cases} \Rightarrow$ có 17 giá trị của m.

Câu 39:

Cho hàm số

f (x)

liên tục trên

[0; \frac{π}{2}]

, biết

\int_{0}^{\frac{π}{2}} [f^{2} (x) - 2 \sqrt{2} f (x) . \sin (x - \frac{π}{4})] d x = \frac{2 - π}{2}

. Tính tích phân

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x

.

A. I=0

B.

I = \frac{π}{4}

C.

I = 1

D.

I = \frac{π}{2}

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x - \frac{π}{4}) d x = - \frac{2 - π}{2}$ .

Do đó giả thiết tương đương với

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} [f^{2} (x) - 2 \sqrt{2} f (x) . \sin (x - \frac{π}{4}) + 2 \sin^{2} (x - \frac{π}{4})] d x = 0$

.

Suy ra $f (x) = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})$ .

Vậy $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = \sqrt{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x - \frac{π}{4}) d x = 0$ .

Câu 40:

Cho hàm số $f (x) = (m^{2018} + 1) x^{4} + (- 2 m^{2018} - 2 m^{2} - 3) x^{2} + (m^{2018} + 2019)$ , với m là tham số. Số điểm cực trị của hàm số $y = |f (x) - 2018|$ là

A. 5

B. 3

C. 6

D. 7

Xem đáp án

Đáp án D

Xét $g (x) = f (x) - 2018 = (m^{2018} + 1) x^{4} + (- 2 m^{2018} - 2 m^{2} - 3) x^{2} + (m^{2018} + 1)$ có $a = c = m^{2018} + 1 > 0$ và $b = - 2 m^{2018} - 2 m^{2} - 3 < 0 \Rightarrow$ Hàm số $y = g (x)$ có 3 điểm cực trị.

Lại có $\{\begin{cases} g (0) > 0 \\ g (1) = - 2 m^{2} - 1 < 0 \end{cases} \Rightarrow$ đồ thị hàm số $y = g (x)$ cắt Ox tại 4 điểm phân biệt.

Do đó hàm số $y = |f (x) - 2018|$ có $3 + 4 = 7$ điểm cực trị.

Câu 41:

Cho hàm số $f (x) = \frac{2 x - m}{x + 2}$ (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho $\max_{[0; 2]} |f (x)| + 2 \min_{[0; 2]} |f (x)| \geq 4$ . Hỏi trong đoạn $[- 30; 30]$ tập S có bao nhiêu số nguyên?

A. 53

B. 52

C. 55

D. 54

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $f^{'} (x) = \frac{4 + m}{{(x + 2)}^{2}}$

- Nếu $m = - 4$ thì $f (x) = 2$ thỏa mãn $\max_{[0; 2]} |f (x)| + 2 \min_{[0; 2]} |f (x)| \geq 4$ .

- Xét $m \neq - 4$ . Ta có $f (0) = - \frac{m}{2}; f (2) = \frac{4 - m}{4}$ .

+ TH1: $\frac{- m}{2} (\frac{4 - m}{4}) \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 4$ .

Khi đó $\min_{[0; 2]} |f (x)| = 0$ và $\max_{[0; 2]} |f (x)| = \frac{4 - m}{4}$ hoặc $\max_{[0; 2]} |f (x)| = \frac{m}{2}$ .

Theo giả thiết ta phải có $[\begin{array}{l} \frac{4 - m}{4} \geq 4 \\ \frac{m}{2} \geq 4 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq - 12 \\ m \geq 8 \end{array}$ (loại).

+ TH2: $- 4 < m < 0$ Xét : hàm số $f (x)$ đồng biến, hơn nữa $f (0) = - \frac{m}{2} > 0; f (2) = \frac{4 - m}{4} > 0$ nên

$\max_{[0; 2]} |f (x)| + 2 \min_{[0; 2]} |f (x)| \geq 4 \Leftrightarrow \frac{4 - m}{4} + 2 (\frac{- m}{2}) \geq 4 \Leftrightarrow m \leq - \frac{12}{5}$ .

Vậy $- 4 < m \leq - \frac{12}{5} \Rightarrow m = - 3$ .

Xét $m < - 4$ : hàm số $f (x)$ nghịch biến, hơn nữa $f (0) = - \frac{m}{2} > 0; f (2) = \frac{4 - m}{4} > 0$ nên

$\max_{[0; 2]} |f (x)| + 2 \min_{[0; 2]} |f (x)| \geq 4 \Leftrightarrow - \frac{m}{2} + 2 (\frac{4 - m}{4}) \geq 4 \Leftrightarrow m \leq - 2$ .

Vậy $m < - 4$ .

Tóm lại: $m \in (- \infty; \frac{- 12}{5}] \cup [6; + \infty)$ . Nên trong $[- 30; 30]$ , tập S có 53 số nguyên.

Câu 42:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy là thỏa mãn $\cos α = \frac{1}{3}$ . Mặt phẳng (P) qua AC và vuông góc với mặt phẳng (SAD) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tỷ số thể tích của hai khối đa diện (khối bé chia khối lớn) bằng

A.

\frac{1}{9}

B.

\frac{1}{10}

C.

\frac{7}{9}

D.

\frac{9}{10}

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, H là trung điểm của AB

$\Rightarrow A B ⊥ (S H O) \Rightarrow \hat{(S A B); (A B C)} = \hat{(S H; O H)} = \hat{S H O} = α$

$\Rightarrow \cos α = \frac{1}{3} \Rightarrow \tan α = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2} α} - 1} = 2 \sqrt{2}$

$\Rightarrow S O = O H \tan α = a \sqrt{2}$

Kẻ $C M ⊥ S D (M \in (S D)) \Rightarrow P \equiv (A C M)$ .

Mặt phẳng (ACM) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện M.ACD có thể tích V1 và khối đa diện còn lại có thể tích V2.

Ta có: $S_{A B C} = \frac{1}{2} S H . A B = \frac{a}{2} . \frac{3 a}{2} = \frac{3 a^{2}}{4}, S D = \sqrt{S O^{2} + O D^{2}} = \frac{a \sqrt{10}}{2}$

$\Rightarrow S_{S C D} = \frac{1}{2} C M . S D \Rightarrow S M = \frac{3 a}{\sqrt{10}}$

Tam giác MCD vuông tại M $\Rightarrow M D = \sqrt{C D^{2} - M C^{2}} = \frac{a}{\sqrt{10}} \Rightarrow \frac{M D}{S D} = \frac{1}{5}$

Ta có: $\frac{V_{M . A C D}}{V_{S . A C D}} = \frac{M D}{S D} = \frac{1}{5} \Rightarrow V_{1} = \frac{V_{S . A C D}}{5} = \frac{V_{S . A B C D}}{10} = \frac{V_{1} + V_{2}}{10} \Rightarrow \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{9}$ .

Câu 43:

Cho hình lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ . Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AA', BB', CC' sao cho $A M = 2 M A^{'}, N B^{'} = 2 N B, P C = P C^{'}$ . Gọi $V_{1}, V_{2}$ lần lượt là thể tích của hai khối đa diện ABCMNP và $A^{'} B^{'} C^{'} M N P$ . Tính tỷ số $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ .

A.

\frac{V_{1}}{V_{2}} = 2

B.

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{2}

C.

\frac{V_{1}}{V_{2}} = 1

D.

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{2}{3}

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $V = V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}$

Ta có $V_{A B C M N P} = V_{P . A B N M} + V_{P . A B C}$ mà

$V_{P . A B C} = \frac{1}{3} d (P, (A B C)) . S_{Δ A B C} = \frac{1}{6} d (C; (A B C)) . S_{Δ A B C} = \frac{V}{6}$ $\frac{S_{A B N M}}{S_{A B B^{'} A^{'}}} = \frac{A M + B N}{A A^{'} + B B^{'}} = \frac{\frac{2}{3} A A^{'} + \frac{1}{3} B B^{'}}{A A^{'} + B B^{'}} = \frac{1}{2} \Rightarrow V_{P . A B N M} = \frac{1}{2} V_{C . A B B^{'} A^{'}}$

Mà $V_{C . A B B^{'} A^{'}} = \frac{2}{3} V$ suy ra $V_{P . A B N M} = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} V = \frac{V}{3}$ .

Khi đó $V_{A B C M N P} = \frac{V}{6} + \frac{V}{3} = \frac{V}{2}$ .

Vậy $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{V}{2} : \frac{V}{2} = 1$ .

Câu 44:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình bên.

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f^{2} (\cos x) + (3 - m) f (\cos x) + 2 m - 10 = 0$ có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[- \frac{π}{3}; π]$ là

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $f^{2} (\cos x) + (3 - m) f (\cos x) + 2 m - 10 = 0$ .

Đặt $t = f (\cos x)$ ta được phương trình $t^{2} + (3 - m) t + 2 m - 10 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 2 \\ t = m - 5 \end{array}$ .

Với $t = 2 \Rightarrow f (\cos x) = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = \frac{1}{2} \\ \cos x = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \pm \frac{π}{3} \\ x = 0 \end{array}$ vì .

Với $t = m - 5 \Rightarrow f (\cos x) = m - 5$ (1).

Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[- \frac{π}{3}; π]$ thì phương trình (1) có đúng 1 nghiệm trên đoạn $[- \frac{π}{3}; π]$ khác $- \frac{π}{3}; 0; \frac{π}{3}$ .

Với $x \in [- \frac{π}{3}; π] \Rightarrow u = \cos x \in [- 1; 1]$ .

Nhận xét:

Nếu $u \in [\frac{1}{2}; 1)$ thì có 2 nghiệm $x \in [- \frac{π}{3}; π]$ .

Nếu $u = 1$ hoặc $u \in [- 1; \frac{1}{2})$ thì có đúng 1 nghiệm $x \in [- \frac{π}{3}; π]$ .

$f (\cos x) = m - 5 \Leftrightarrow f (u) = m - 5$

Do đó yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi phương trình (1) thỏa mãn có nghiệm .

Từ bảng biến thiên suy ra $- 4 \leq m - 5 < 2 \Leftrightarrow 1 \leq m < 7$ .

Vì $m \in ℤ$ nên $m \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ .

Câu 45:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R . Hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Bất phương trình

f (2 \sin x) - 2 \sin^{2} x < m

nghiệm đúng với mọi

x \in (0; π)

khi và chỉ khi

A.

m \geq f (1) - \frac{1}{2}

B.

m > f (1) - \frac{1}{2}

C.

m \geq f (0) - \frac{1}{2}

D.

m > f (0) - \frac{1}{2}

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $t = 2 \sin x$ .

Do $x \in (0; π) \Rightarrow t \in (0; 2)$ .

Bất phương trình trở thành: $f (t) - \frac{t^{2}}{2} < m, \forall t \in (0; 2)$ .

Xét $g (t) = f (t) - \frac{t^{2}}{2}$ trên $(0; 2)$ .

Bài toán trở thành $g (t) < m, \forall t \in (0; 2)$ .

Ta có $g^{'} (t) = f^{'} (t) - t = 0 \Leftrightarrow f^{'} (t) = t$ .

Ta có bảng biến thiên của hàm g(t) trên (0;2):

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: $m > \max_{(0; 2)} g (t) = g (1) = f (1) - \frac{1}{2}$ .

Vậy $m > f (1) - \frac{1}{2}$ .

Câu 46:

Cho hai số phức

z_{1}, z_{2}

thỏa mãn

|z_{1} - 3 i + 5| = 2

và

|i z_{2} - 1 + 2 i| = 4

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T = |2 i z_{1} + 3 z_{2}|

.

A.

\sqrt{313} + 16

B.

\sqrt{313}

C.

\sqrt{313} + 8

D.

\sqrt{313} + 2 \sqrt{5}

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $|z_{1} - 3 i + 5| = 2 \Leftrightarrow |2 i (z_{1} - 3 i + 5)| = 4. |2 i| \Leftrightarrow |2 i z_{1} + 6 + 10 i| = 4$ .

Và $|i z_{2} - 1 + 2 i| = 4 \Leftrightarrow |z_{2} - \frac{1 - 2 i}{i}| = 4 \Leftrightarrow |z_{2} + 2 + i| = 4 \Leftrightarrow |- 3 z_{2} - 6 - 3 i| = 12$ .

Đặt $\{\begin{cases} u = 2 i z_{1} \\ v = - 3 z_{2} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} |u + 6 + 10 i| = 4 \\ |v - 6 - 3 i| = 12 \end{cases}$ và $T = |2 i z_{1} + 3 z_{2}| = |2 i z_{1} - (- 3 z_{2})| = |u - v|$ .

Tập hợp điểm M biểu diễn số phức u là đường tròn ${(x + 6)}^{2} + {(y + 10)}^{2} = 16$ tâm $I_{1} (- 6; - 10), R_{1} = 4$ .

Tập hợp điểm N biểu diễn số phức v là đường tròn ${(x - 6)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 144$ tâm $I_{2} (6; 3), R_{2} = 12$ .

Khi đó

T = M N_{\max} \Leftrightarrow M N = I_{1} I_{2} + R_{1} + R_{2} = \sqrt{12^{2} + 13^{2}} + 4 = 12 = \sqrt{313} + 16

.

Câu 47:

Cho hàm số

h = 2 \sqrt[3]{V}

liên tục và có đạo hàm trên R, có đồ thị như hình vẽ. Với m là tham số bất kỳ thuộc

[0; 1]

. Phương trình

f (x^{3} - 3 x^{2}) = 3 \sqrt{m} + 4 \sqrt{1 - m}

có bao nhiêu nghiệm thực

Cho hàm số h=2 căn bậc 3 của V liên tục và có đạo hàm trên R , có đồ thị như hình vẽ. Với m là tham số bất kỳ thuộc [0;1] . Phương trình f(x^3-3x^2)=3 căn m+4 căn (1-m) có bao nhiêu nghiệm thực (ảnh 1)

A. 2

B. 3

C. 5

D. 9

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $k = 3 \sqrt{m} + 4 \sqrt{1 - m} \to 3 \leq k \leq 5$ .

Đặt $t (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ , có $t^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x; (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc x=2.

Bảng biến thiên như hình bên.

Phương trình trở thành $f (t) = k$ với $k \in [3; 5]$

$\overset{do thi}{\to} [\begin{array}{l} t = a > 0 \overset{B B T}{\to} 1 nghiem x \\ t = b (- 4 < b < 0) \overset{B B T}{\to} 3 nghiem x \\ t = c < - 4 \overset{B B T}{\to} 1 nghiem x \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm x.

Câu 48:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn $5^{x + 2 y} + \frac{3}{3^{x y}} + x + 1 = \frac{5^{x y}}{5} + 3^{- x - 2 y} + y (x - 2)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x + 2 y$ .

A.

P = 6 - 2 \sqrt{3}

B.

P = 4 + 2 \sqrt{6}

C.

P = 4 - 2 \sqrt{6}

D.

P = 6 + 2 \sqrt{3}

Xem đáp án

Đáp án B

Theo giả thiết ta có $5^{x + 2 y} + \frac{3}{3^{x y}} + x + 1 = \frac{5^{x y}}{5} + 3^{- x - 2 y} + y (x - 2)$ .

$\Leftrightarrow 5^{x + 2 y} - 3^{- x - 2 y} + x + 2 y = 5^{x y - 1} - 3^{1 - x y} + x y - 1 \Leftrightarrow x + 2 y = x y - 1$ .

$\Leftrightarrow 1 - x y + x + 2 y = 0 \Leftrightarrow y (x - 2) = x + 1 > 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x > 2 \\ y = \frac{x + 1}{x - 2} \end{cases}$ $\Rightarrow P = f (x) = x + \frac{2 (x + 1)}{x - 2} \geq \min_{(2; + \infty)} f (x) = f (2 + \sqrt{6}) = 4 + 2 \sqrt{6}$ .

Câu 49:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R, có đồ thị như hình vẽ. Các giá trị của tham số m để phương trình $\frac{4 m^{3} + m}{\sqrt{2 f^{2} (x) + 5}} = f^{2} (x) + 3$ có ba nghiệm phân biệt là

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R , có đồ thị như hình vẽ. Các giá trị của tham số m để phương trình (4m^3+m)/căn(2f(x)+5 có ba nghiệm phân biệt là (ảnh 1)

A.

m = \pm \frac{\sqrt{37}}{2}

B.

m = \frac{\sqrt{3}}{2}

C.

m = - \frac{\sqrt{37}}{2}

D.

m = \frac{\sqrt{37}}{2}

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\frac{4 m^{3} + m}{\sqrt{2 f^{2} (x) + 5}} = f^{2} (x) + 3 \Leftrightarrow 4 m^{3} + m = (f^{2} (x) + 3) \sqrt{2 f^{2} (x) + 5}$

$\Leftrightarrow 8 m^{3} + 2 m = (2 f^{2} (x) + 6) \sqrt{2 f^{2} (x) + 5}$

$\Leftrightarrow {(2 m)}^{3} = (2 f^{2} (x) + 5) \sqrt{2 f^{2} (x) + 5} + \sqrt{f^{2} (x) + 5}$

(*)

Xét hàm số $g (t) = t^{3} + t$ có $g^{'} (t) = 3 t^{2} + 1 > 0; \forall t \Rightarrow g (t)$ là hàm số đồng biến trên .

Phương trình (*) suy ra $g (2 m) = g (\sqrt{2 f^{2} (x) + 5}) \Leftrightarrow \sqrt{2 f^{2} (x) + 5} = 2 m$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 0 \\ 2 f^{2} (x) + 5 = 4 m^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 0 \\ f^{2} (x) = \frac{4 m^{2} - 5}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > \frac{\sqrt{5}}{2} \\ [\begin{array}{l} f (x) = \sqrt{\frac{4 m^{2} - 5}{2}} (1) \\ f (x) = - \sqrt{\frac{4 m^{2} - 5}{2}} (2) \end{array} \end{cases}$

(vì $f (x) = 0$ chỉ có hai nghiệm phân biệt nên $m > \frac{\sqrt{5}}{2}$ ).

+ Vì $- \sqrt{\frac{4 m^{2} - 5}{2}} < 0$ nên từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình $f (x) = - \sqrt{\frac{4 m^{2} - 5}{2}}$ có một nghiệm duy nhất.

Từ yêu cầu bài toán suy ra phương trình $f (x) = \sqrt{\frac{4 m^{2} - 5}{2}}$ có hai nghiệm phân biệt.

+ Vì $\sqrt{\frac{4 m^{2} - 5}{2}} > 0$ nên từ đồ thị hàm số

$\Rightarrow \sqrt{\frac{4 m^{2} - 5}{2}} = 4 \Leftrightarrow 4 m^{2} - 5 = 32 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{\sqrt{37}}{2} (thoa man) \\ m = - \frac{\sqrt{37}}{2} (l o a i) \end{array}$ .

Câu 50:

Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy các góc bằng nhau và đều bằng $30 °$ . Biết $A B = 5, A C = 8, BC = 7$ , khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng

Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy các góc bằng nhau và đều bằng 30 độ . Biết AB=5, AC=8, BC=7 , khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng (ảnh 1)

A.

d = \frac{35 \sqrt{139}}{13}

B.

d = \frac{35 \sqrt{39}}{52}

C.

d = \frac{35 \sqrt{13}}{52}

D.

d = \frac{35 \sqrt{13}}{26}

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ S đến mặt phẳng (ABC)

Khi đó từ giả thiết ta có $∠ S A H = ∠ S B H = ∠ S C H = 30 °$

Suy ra $H A = H B = H C$ (gn-cgv)

Suy ra $H A = H B = H C$ hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp .

Tam giác ABC có

$A C = 7; A B = 5; B C = 8 \Rightarrow p = \frac{A B + A C + B C}{2} = 10$

Theo công thức Hê-rông thì diện tích tam giác ABC là

$S_{A B C} = \sqrt{p (p - A B) (p - A C) (p - B C)} = 10 \sqrt{3}$

Lại có $S_{A B C} = \frac{A B . A C . B C}{4 R} \Rightarrow R = \frac{5.7.8}{4 S} = \frac{7 \sqrt{3}}{3}$ (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ).

Hay $H A = \frac{7 \sqrt{3}}{3}$ .

Xét tam giác SHA vuông tại H có $S H = \tan S A H . A H = \tan 30 ° . \frac{7 \sqrt{3}}{3} = \frac{7}{3}$ .

Thể tích khối chóp S.ABC là $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S H . S_{A B C} = \frac{1}{3} . \frac{7}{3} .10 \sqrt{3} = \frac{70 \sqrt{3}}{9}$ .

Lại có vuông tại H nên $S B = \frac{S H}{\sin 30} = \frac{14}{3} = S C$

Xét tam giác SBC có $p_{1} = \frac{S B + S C + B C}{2} = \frac{19}{3}$ suy ra $S_{Δ A B C} = \sqrt{p_{1} (p_{1} - S B) (p_{1} - S C) (p_{1} - B C)} = \frac{8 \sqrt{13}}{3}$

Từ đó $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} d (A, (S B C)) . S_{Δ S B C} \Leftrightarrow d (A, (S B C)) = \frac{3 V_{S . A B C}}{S_{Δ S B C}} = \frac{3. \frac{70 \sqrt{3}}{9}}{\frac{8 \sqrt{13}}{3}} = \frac{35 \sqrt{39}}{52}$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề)

Đề số 11

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan