Thứ sáu, 01/11/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 11 Toán Giải SGK Toán 11 Cánh Diều Hàm số lượng giác và đồ thị có đáp án

Giải SGK Toán 11 Cánh Diều Hàm số lượng giác và đồ thị có đáp án

Giải SGK Toán 11 Cánh Diều Hàm số lượng giác và đồ thị có đáp án

  • 114 lượt thi

  • 57 câu hỏi

  • 60 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 2:

Cho hàm số f(x) = x2.

• Với x ℝ, hãy so sánh f(‒x) và f(x).

• Quan sát parabol (P) là đồ thị của hàm số f(x) = x2 (Hình 19) và cho biết trục đối xứng của (P) là đường thẳng nào.

Cho hàm số f(x) = x^2. Với x thuộc R, hãy so sánh f(-x) và f(x) Quan sát parabol  (ảnh 1)
Xem đáp án

Xét hàm số f(x) = x2.

• Với x ℝ, ta có: f(‒x) = (‒x)2 = x2.

Do đó f(‒x) = f(x).

• Trục đối xứng của (P) là đường thẳng x = 0, hay chính là trục Oy.


Câu 4:

Chứng tỏ rằng hàm số g(x) = x3 là hàm số lẻ.
Xem đáp án

Xét hàm số g(x) = x3 có tập xác định D = ℝ.

x ℝ thì ‒x ℝ, ta có: g(‒x) = (‒x)3 = ‒x3 = ‒g(x).

Do đó hàm số g(x) = x3 là hàm số lẻ.


Câu 5:

Cho ví dụ về hàm số không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ.

Xem đáp án

Ví dụ về hàm số không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ:

f(x) = x2 + x; g(x) = 2x3 – 3x2; …


Câu 8:

Cho ví dụ về hàm số tuần hoàn.

Xem đáp án

Ví dụ về hàm số tuần hoàn:

Cho T là một số hữu tỉ và hàm số f(x) được cho bởi công thức sau:

Cho ví dụ về hàm số tuần hoàn (ảnh 1)

Ta thấy, hàm số xác định trên ℝ. Xét một số thực tùy ý.

Nếu x là số hữu tỉ thì x + T cũng là số hữu tỉ;

Nếu x là số vô tỉ thì x + T cũng là số vô tỉ.

Do đó f(x + T) = f(x) với mọi x.

Vậy hàm số f(x) là hàm số tuần hoàn.


Câu 12:

Làm tương tự như trên đối với các đoạn [‒3π; ‒π], [π; 3π], …, ta có đồ thị hàm số y = sin x trên ℝ được biểu diễn ở Hình 24.

Làm tương tự như trên đối với các đoạn [-3pi; -pi], [pi; 3pi], …, ta có đồ thị hàm số y  (ảnh 1)
Xem đáp án

Làm tương tự như trên đối với các đoạn [‒3π; ‒π], [π; 3π], …, ta có đồ thị hàm số y = sin x trên ℝ được biểu diễn ở hình vẽ sau:

Làm tương tự như trên đối với các đoạn [-3pi; -pi], [pi; 3pi], …, ta có đồ thị hàm số y  (ảnh 2)

Câu 15:

Quan sát đồ thị hàm số y = sinx ở Hình 24.

Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [-pi; pi] song song với trục  (ảnh 1)

Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [‒π; π] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài 2π, ta có nhận được đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [π; 3π] hay không? Hàm số y = sinx có tuần hoàn hay không?

Xem đáp án

‒ Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [‒π; π] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài 2π, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [π; 3π].

Làm tương tự như trên ta sẽ được đồ thị hàm số y = sinx trên ℝ.

‒ Xét hàm số f(x) = y = sinx trên ℝ, với T = 2π và x ℝ ta có:

   • x + 2π ℝ và x – 2π ℝ;

   • f(x + 2π) = f(x)

Do đó hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π.


Câu 16:

Quan sát đồ thị hàm số y = sinx ở Hình 24.

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = sinx (ảnh 1)

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = sinx.

Xem đáp án

Quan sát đồ thị hàm số y = sinx ta thấy:

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{{5\pi }}{2}; - \frac{{3\pi }}{2}} \right);\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right);\left( {\frac{{3\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right);...\)

Ta có: \(\left( { - \frac{{5\pi }}{2}; - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \left( { - \frac{\pi }{2} - 2\pi ;\frac{\pi }{2} - 2\pi } \right)\);

            \[\left( {\frac{{3\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right) = \left( { - \frac{\pi }{2} + 2\pi ;\frac{\pi }{2} + 2\pi } \right)\];

            

Do đó ta có thể viết hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\) với k ℤ.

• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{{7\pi }}{2}; - \frac{{5\pi }}{2}} \right);\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right);\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right);...\)

Ta có: \[\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right) = \left( {\frac{\pi }{2} - 2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} - 2\pi } \right)\];

            

Do đó ta có thể viết hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)\) với k ℤ.


Câu 17:

Hàm số y = sinx đồng biến hay nghịch biến trên khoảng
Xem đáp án

Do \(\left( { - \frac{{7\pi }}{2}; - \frac{{5\pi }}{2}} \right) = \left( {\frac{\pi }{2} - 4\pi ;\frac{{3\pi }}{2} - 4\pi } \right) = \left( {\frac{\pi }{2} + \left( { - 2} \right).2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + \left( { - 2} \right).2\pi } \right)\) nên hàm số y = sinx nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{{7\pi }}{2}; - \frac{{5\pi }}{2}} \right)\).


Câu 20:

Làm tương tự như trên đối với các đoạn [‒3π; ‒π], [π; 3π], ta có đồ thị hàm số y = cosx trên ℝ được biểu diễn ở Hình 27.

Làm tương tự như trên đối với các đoạn [-3pi; -pi], [pi; 3pi], ta có đồ thị hàm số y  (ảnh 1)
Xem đáp án

Làm tương tự như trên đối với các đoạn [‒3π; ‒π], [π; 3π], …, ta có đồ thị hàm số y = cosx trên ℝ được biểu diễn ở hình vẽ sau:

Làm tương tự như trên đối với các đoạn [-3pi; -pi], [pi; 3pi], ta có đồ thị hàm số y  (ảnh 2)

Câu 23:

Quan sát đồ thị hàm số y = cosx ở Hình 27.

Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [-pi; pi] song song với trục  (ảnh 1)

Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [‒π; π] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài 2π, ta nhận được đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [π; 3π] hay không? Hàm số y = cosx có tuần hoàn hay không?

Xem đáp án

‒ Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [‒π; π] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài 2π, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [π; 3π].

Làm tương tự như trên ta sẽ được đồ thị hàm số y = cosx trên ℝ.

‒ Xét hàm số f(x) = y = cosx trên ℝ, với T = 2π và x ℝ ta có:

   • x + 2π ℝ và x – 2π ℝ;

   • f(x + 2π) = f(x)

Do đó hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π.


Câu 24:

Quan sát đồ thị hàm số y = cosx ở Hình 27.

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = cosx (ảnh 1)

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = cosx.

Xem đáp án

Quan sát đồ thị hàm số y = cosx ta thấy:

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (‒3π; ‒2π); (‒π; 0); (π; 2π); …

Ta có: (‒3π; ‒2π) = (‒π ‒ 2π; 0 ‒ 2π);

             (π; 2π) = (‒π + 2π; 0 + 2π);

            

Do đó ta có thể viết hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (‒π + k2π; k2π) với k ℤ.

• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (‒2π; ‒π); (0; π); (2π; 3π); …

Ta có: (‒2π; ‒π) = (0 ‒ 2π; π ‒ 2π);

             (2π; 3π) = (0 + 2π; π + 2π);

            

Do đó ta có thể viết hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π) với k ℤ.


Câu 25:

Hàm số y = cosx đồng biến hay nghịch biến trên khoảng (‒2π; ‒π)?

Xem đáp án

Do (‒2π; ‒π) = (0 – 2π; π – 2π) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (‒2π; ‒π).


Câu 26:

Xét tập hợp \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\]. Với mỗi số thực x D, hãy nêu định nghĩa tanx.

Xem đáp án

Nếu cosx ≠ 0, tức \[x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\] hay x D thì ta có: \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\).


Câu 29:

Làm tương tự như trên đối với các khoảng \[\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right),\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right)\], …, ta có đồ thị hàm số y = tan x trên D được biểu diễn ở Hình 29.

Làm tương tự như trên đối với các khoảng (pi/2; 3pi/2), (-3pi/2; -pi/2),..., ta có đồ thị (ảnh 1)
Xem đáp án

Làm tương tự như trên đối với các \[\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right),\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right)\], …, ta có đồ thị hàm số y = tanx trên D được biểu diễn ở hình vẽ sau:

Làm tương tự như trên đối với các khoảng (pi/2; 3pi/2), (-3pi/2; -pi/2),..., ta có đồ thị (ảnh 2)

Câu 32:

Quan sát đồ thị hàm số y = tanx ở Hình 29.

Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng (-pi/2; pi/2) song song (ảnh 1)

Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài π, ta nhận được đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) hay không? Hàm số y = tanx có tuần hoàn hay không?

Xem đáp án

‒ Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài π, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\).

 Làm tương tự như trên ta sẽ được đồ thị hàm số y = tanx trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\].

‒ Xét hàm số f(x) = y = tanx trên \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\], với T = π và x D ta có:

   • x + π D và x – π D;

   • f(x + π) = f(x)

Do đó hàm số y = tanx là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π.


Câu 33:

Quan sát đồ thị hàm số y = tanx ở Hình 29.

Quan sát đồ thị hàm số y = tanx ở Hình 29. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = tanx (ảnh 1)

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = tanx.

Xem đáp án

Quan sát đồ thị hàm số y = tanx ở Hình 29, ta thấy: đồ thị hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right);\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right);\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right);...\)

Ta có: \(\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right) = \left( { - \frac{\pi }{2} - \pi ;\frac{\pi }{2} - \pi } \right);\)

            \(\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right) = \left( { - \frac{\pi }{2} + \pi ;\frac{\pi }{2} + \pi } \right);\)

           

Do đó ta có thể viết đồ thị hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\) với k ℤ.


Câu 34:

Với mỗi số thực m, tìm số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).

Xem đáp án

Xét đồ thị của hàm số y = m và đồ thị của hàm số y = tanx trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) (hình vẽ).

Với mỗi số thực m, tìm số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = tanx  (ảnh 1)

Từ đồ thị của hai hàm số trên hình vẽ, ta thấy mọi m ℝ thì hai đồ thị trên luôn cắt nhau tại 1 điểm.

Vậy số giao điểm của đường thẳng y = m (m ℝ) và đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) là 1.


Câu 35:

Xét tập hợp E = ℝ \ {kπ | k ℤ}. Với mỗi số thực x E, hãy nêu định nghĩa cotx.

Xem đáp án

Nếu sinx ≠ 0, tức x ℝ \ {kπ | k ℤ} hay x E thì ta có: \(\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\).


Câu 37:

Làm tương tự như trên đối với các khoảng (π; 2π), (‒π; 0), (‒2π; ‒π), …, ta có đồ thị hàm số y = cotx trên E được biểu diễn ở Hình 31.

Làm tương tự như trên đối với các khoảng (pi; 2pi), (-pi; 0), (-2pi; -pi), ta có đồ thị  (ảnh 1)
Xem đáp án

Làm tương tự như trên đối với các \[\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right),\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right)\], …, ta có đồ thị hàm số y = cotx trên D được biểu diễn ở hình vẽ sau:

Làm tương tự như trên đối với các khoảng (pi; 2pi), (-pi; 0), (-2pi; -pi), ta có đồ thị  (ảnh 2)

Câu 40:

Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; π) song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài π, ta nhận được đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (π; 2π) hay không? Hàm số y = cotx có tuần hoàn hay không?

Xem đáp án

‒ Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; π) song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài π, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (π; 2π).

 Làm tương tự như trên ta sẽ được đồ thị hàm số y = cotx trên ℝ \ {kπ | k ℤ}.

‒ Xét hàm số f(x) = y = cotx trên D = ℝ \ {kπ | k ℤ}, với T = π và x D ta có:

   • x + π D và x – π D;

   • f(x + π) = f(x)

Do đó hàm số y = cotx là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π.


Câu 41:

Quan sát đồ thị hàm số y = cotx ở Hình 31.

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = cotx (ảnh 1)

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = cotx.

Xem đáp án

Quan sát đồ thị hàm số y = cotx ở Hình 31, ta thấy: đồ thị hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (‒2π; ‒π); (‒π; 0); (0; π); (π; 2π); …

Ta có: (‒2π; ‒π) = (0 ‒ 2π; π – 2π);

           (‒π; 0) = (0 – π; π ‒ π);

           (π; 2π) = (0 + π; π + π);

           

Do đó ta có thể viết đồ thị hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π + kπ) với k ℤ.


Câu 42:

Với mỗi số thực m, tìm số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; π).

Xem đáp án

Xét đồ thị của hàm số y = m và đồ thị của hàm số y = cotx trên khoảng (0; π) (hình vẽ).

Với mỗi số thực m, tìm số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = cotx  (ảnh 1)

Từ đồ thị của hai hàm số trên hình vẽ, ta thấy mọi m ℝ thì hai đồ thị trên luôn cắt nhau tại 1 điểm.

Vậy số giao điểm của đường thẳng y = m (m ℝ) và đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; π) là 1.


Câu 43:

Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của x trên đoạn [‒2π; 2π] để:

Hàm số y = sinx nhận giá trị bằng 1;
Xem đáp án

Đồ thị hàm số y = sinx:

Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của x trên đoạn [-2pi; 2pi] để: Hàm số y = sinx nhận giá trị bằng 1 (ảnh 1)

Quan sát đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [‒2π; 2π] ta thấy hàm số y = sinx nhận giá trị bằng 1 tại \(x \in \left\{ { - \frac{{3\pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right\}\).


Câu 44:

Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của x trên đoạn [‒2π; 2π] để:

Hàm số y = sinx nhận giá trị bằng 0;

Xem đáp án

Đồ thị hàm số y = sinx:

Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của x trên đoạn [-2pi; 2pi] để Hàm số y = sinx nhận giá trị bằng 0 (ảnh 1)

Quan sát đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [‒2π; 2π] ta thấy hàm số y = sinx nhận giá trị bằng 0 tại x {‒2π; ‒π; 0; π; 2π}.


Câu 45:

Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của x trên đoạn [‒2π; 2π] để:

Hàm số y = cosx nhận giá trị bằng ‒1;

Xem đáp án

Đồ thị hàm số y = cosx:

Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của x trên đoạn [-2pi; 2pi] Hàm số y = cosx nhận giá trị bằng -1 (ảnh 1)

Quan sát đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [‒2π; 2π] ta thấy hàm số y = cosx nhận giá trị bằng ‒1 tại x {‒π; π}.


Câu 46:

Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của x trên đoạn [‒2π; 2π] để:

Hàm số y = cosx nhận giá trị bằng 0.

Xem đáp án

Đồ thị hàm số y = cosx:

Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của x trên đoạn [-2pi; 2pi] để Hàm số y = cosx nhận giá trị bằng 0 (ảnh 1)

Quan sát hai đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [‒2π; 2π] ta thấy hàm số y = cosx nhận giá trị bằng 0 tại \(x \in \left\{ { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right\}\).


Câu 47:

Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của x trên khoảng \(\left( { - \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) để:

Hàm số y = tanx nhận giá trị bằng ‒1;

Xem đáp án

Xét đồ thị hàm số y = ‒1 và đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng \(\left( { - \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\):

Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của x trên khoảng (-pi; 3pi/2) để Hàm số y = tan x (ảnh 1)

Quan sát đồ thị của hai hàm số, ta thấy hàm số y = tanx trên khoảng \(\left( { - \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) nhận giá trị bằng ‒1 tại \[x \in \left\{ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right\}\].


Câu 48:

Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của x trên khoảng \(\left( { - \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) để:

Hàm số y = tanx nhận giá trị bằng 0;

Xem đáp án

Xét đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng \(\left( { - \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\):

tìm giá trị của x trên khoảng (-pi/3; 3pi/2) để Hàm số y = tanx nhận giá trị bằng 0 (ảnh 1)

Quan sát hình vẽ, ta thấy hàm số y = tanx trên khoảng \(\left( { - \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) nhận giá trị bằng 0 tại x {0; π}.


Câu 49:

Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của x trên khoảng \(\left( { - \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) để:

Hàm số y = cotx nhận giá trị bằng 0.
Xem đáp án

Xét đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng \(\left( { - \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\):

tìm giá trị của x trên khoảng (-pi/3; 3pi/2) để Hàm số y = cotx nhận giá trị bằng 0 (ảnh 1)

Quan sát hình vẽ, ta thấy hàm số y = cotx trên khoảng \(\left( { - \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) nhận giá trị bằng 0 tại \[x \in \left\{ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right\}\].


Câu 50:

Xét sự biến thiên của hàm số sau trên các khoảng tương ứng:

y = cosx trên khoảng (‒20π; ‒19π), (‒9π; ‒8π).

Xem đáp án

Xét hàm số y = cosx:

Do (‒20π; ‒19π) = (0 ‒ 20π; π ‒ 20π) nên hàm số y = cosx nghịch biến trên khoảng (‒20π; ‒19π).

Do (‒9π; ‒8π) = (‒π – 8π; 0 ‒ 8π) nên hàm số y = cosx đồng biến trên khoảng (‒9π; ‒8π).


Câu 51:

Dùng đồ thị hàm số, hãy cho biết:

Với mỗi m [‒1;1], có bao nhiêu giá trị α [0; π] sao cho cosα = m
Xem đáp án

Xét đồ thị hàm số y = m (m [‒1;1]) và đồ thị hàm số y = cosx trên [0; π]:

Với mỗi m thuộc [-1;1], có bao nhiêu giá trị alpha thuộc [0; pi] sao cho cos alpha = m (ảnh 1)

Từ đồ thị của hai hàm số ở hình vẽ trên, ta thấy với mỗi m [‒1;1] thì hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm.

Vậy m [‒1;1] sẽ có 1 giá trị α [0; π] sao cho cosα = m.


Câu 52:

Dùng đồ thị hàm số, hãy cho biết:

Với mỗi m ℝ, có bao nhiêu giá trị \(\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) sao cho tanα = m;

Xem đáp án

Xét đồ thị hàm số y = m (m ℝ) và đồ thị hàm số y = tanx trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\):

Dùng đồ thị hàm số, hãy cho biết: Với mỗi m thuộc R, có bao nhiêu giá trị  (ảnh 1)

Từ đồ thị của hai hàm số ở hình vẽ trên, ta thấy với mỗi m ℝ thì hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm.

Vậy với mỗi m ℝ sẽ có 1 giá trị \(\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) sao cho tanα = m.


Câu 53:

Dùng đồ thị hàm số, hãy cho biết:

Với mỗi m ℝ, có bao nhiêu giá trị α (0; π) sao cho cotα = m.

Xem đáp án

Xét đồ thị hàm số y = m (m ℝ) và đồ thị hàm số y = cotx trên (0; π):

Dùng đồ thị hàm số, hãy cho biết: Với mỗi m thuộc R, có bao nhiêu giá trị alpha (ảnh 1)

Từ đồ thị của hai hàm số ở hình vẽ trên, ta thấy với mỗi m ℝ thì hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm.

Vậy với mỗi m ℝ sẽ có 1 giá trị α (0; π) sao cho cotα = m.


Câu 54:

Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số:

a) y = sinx cosx;

b) y = tanx + cotx;

c) y = sin2x.

Xem đáp án

a) Xét hàm số f(x) = y = sinx cosx có tập xác định D = ℝ:

x D thì ‒x D;

• f(‒x) = sin(‒x) . cos(‒x) = ‒sinx cosx = ‒f(x).

Do đó hàm số y = sinx cosx là hàm số lẻ.

b) Xét hàm số f(x) = y = tanx + cotx có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\):

x D thì ‒x D;

• f(‒x) = tan(‒x) + cot(‒x) = (‒tanx) + (‒cotx) = ‒(tanx + cotx) = ‒f(x).

Do đó hàm số y = tanx + cotx là hàm số lẻ.

c) Xét hàm số f(x) = y = sin2x có tập xác định D = ℝ:

x D thì ‒x D;

• f(‒x) = sin2(‒x) = (‒sinx)2 = sin2x = f(x).

Do đó hàm số y = sin2x là hàm số chẵn.


Câu 55:

Một dao động điều hoà có phương trình li độ dao động là: x = Acos(ωt + φ), trong đó A, φ, ω là các hằng số (ω > 0). Khi đó, chu kì T của dao động là \(T = \frac{{2\pi }}{\omega }\).

Xác định giá trị của li độ khi t = 0, \(t = \frac{T}{4},t = \frac{T}{2},t = \frac{{3T}}{4}\), t = T.

Xem đáp án

Từ \(T = \frac{{2\pi }}{\omega }\) ta có \(\omega = \frac{{2\pi }}{T}\).

Khi đó ta có phương trình li độ là \(x = A\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t + \varphi } \right)\).

• t = 0 thì \(x = A\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.0 + \varphi } \right) = A\cos \varphi \);

\(t = \frac{T}{4}\) thì \(x = A\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.\frac{T}{4} + \varphi } \right) = A\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \varphi } \right)\);

\(t = \frac{T}{2}\) thì \(x = A\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.\frac{T}{2} + \varphi } \right) = A\cos \left( {\pi + \varphi } \right) = - A\cos \varphi \);

\(t = \frac{{3T}}{4}\) thì \(x = A\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.\frac{{3T}}{4} + \varphi } \right) = A\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} + \varphi } \right) = - A\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \varphi } \right)\);

• t = T thì \(x = A\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.T + \varphi } \right) = A\cos \left( {2\pi + \varphi } \right) = A\cos \varphi \).


Câu 56:

Một dao động điều hoà có phương trình li độ dao động là: x = Acos(ωt + φ), trong đó A, φ, ω là các hằng số (ω > 0). Khi đó, chu kì T của dao động là \(T = \frac{{2\pi }}{\omega }\).

Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà trên đoạn [0; 2T] trong mỗi trường hợp sau:

A = 3 và φ = 0;                A = 3 và \(\varphi = - \frac{\pi }{2}\);                 A = 3 và \(\varphi = \frac{\pi }{2}\).

Xem đáp án

Từ \(T = \frac{{2\pi }}{\omega }\) ta có \(\omega = \frac{{2\pi }}{T}\).

Khi đó ta có phương trình li độ là \(x = A\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t + \varphi } \right)\).

* Với A = 3 và φ = 0 thay vào phương trình li độ \(x = A\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t + \varphi } \right)\) ta có:

\(x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\).

• t = 0 thì x = 3cos0 = 3;

\(t = \frac{T}{4}\) thì \(x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.\frac{T}{4}} \right) = 3\cos \frac{\pi }{2} = 0\);

\(t = \frac{T}{2}\) thì \(x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.\frac{T}{2}} \right) = 3\cos \pi = - 3\)

\(t = \frac{{3T}}{4}\) thì \(x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.\frac{{3T}}{4}} \right) = 3\cos \frac{{3\pi }}{2} = 0\);

• t = T thì \(x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.T} \right) = 3\cos 2\pi = 3\)  

‒ Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà \(x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) trên đoạn [0; 2T]:

Xét hàm số \(x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) có chu kì là T.

Ta vẽ đồ thị hàm số \(x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) trên đoạn [0; T] theo bảng sau:

Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà trên đoạn [0; 2T] trong mỗi trường  (ảnh 1)

Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số \(x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) trên đoạn [0; T] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài T, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số \(x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) trên đoạn [T; 2T].

Từ đó ta vẽ được đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà \(x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) trên đoạn [0; 2T] như sau:

Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà trên đoạn [0; 2T] trong mỗi trường  (ảnh 2)

* Với A = 3 và \(\varphi = - \frac{\pi }{2}\) thay vào phương trình li độ \(x = A\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t + \varphi } \right)\) ta có:

\(x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t - \frac{\pi }{2}} \right)\)\[ = 3\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{2\pi }}{T}.t} \right) = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\]

• t = 0 thì \(x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.0} \right) = 3\sin 0 = 0\)

\(t = \frac{T}{4}\) thì \(x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.\frac{T}{4}} \right) = 3\sin \frac{\pi }{2} = 3\);

\(t = \frac{T}{2}\) thì \(x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.\frac{T}{2}} \right) = 3\sin \pi = 0\);

\(t = \frac{{3T}}{4}\) thì \[x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.\frac{{3T}}{4}} \right) = 3\sin \frac{{3\pi }}{2} = - 3\];

• t = T thì \[x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.T} \right) = 3\sin 2\pi = 0\].

‒ Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà \(x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) trên đoạn [0; 2T]:

Xét hàm số \(x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) có chu kì là T.

Ta vẽ đồ thị hàm số \(x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) trên đoạn [0; T] theo bảng sau:

Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà trên đoạn [0; 2T] trong mỗi trường  (ảnh 3)

Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số \(x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) trên đoạn [0; T] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài T, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số \(x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) trên đoạn [T; 2T].

Từ đó ta vẽ được đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà \(x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) trên đoạn [0; 2T] như sau:

Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà trên đoạn [0; 2T] trong mỗi trường  (ảnh 4)

* Với A = 3 và \(\varphi = \frac{\pi }{2}\) thay vào phương trình li độ \(x = A\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t + \varphi } \right)\) ta có:

\[x = 3\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t + \frac{\pi }{2}} \right) = - 3\cos \left[ {\pi - \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t + \frac{\pi }{2}} \right)} \right]\]

    \( = - 3\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{2\pi }}{T}.t} \right) = - 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\).

• t = 0 thì \(x = - 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.0} \right) = - 3\sin 0 = 0\)

\(t = \frac{T}{4}\) thì \[x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.\frac{T}{4}} \right) = - 3\sin \frac{\pi }{2} = - 3\];              

\(t = \frac{T}{2}\) thì \(x = - 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.\frac{T}{2}} \right) = - 3\sin \pi = 0\);

\(t = \frac{{3T}}{4}\) thì \[x = - 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.\frac{{3T}}{4}} \right) = - 3\sin \frac{{3\pi }}{2} = 3\];

• t = T thì \[x = - 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.T} \right) = - 3\sin 2\pi = 0\].

‒ Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà \(x = - 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) trên đoạn [0; 2T]:

Đồ thị hàm số \(x = - 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) là hình đối xứng với đồ thị hàm số \(x = 3\sin \left( {\frac{{2\pi }}{T}.t} \right)\) qua trục hoành:

Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà trên đoạn [0; 2T] trong mỗi trường  (ảnh 5)

Câu 57:

Trong bài toán mở đầu, hãy chỉ ra một số giá trị của x để ống đựng nước cách mặt nước 2 m.

Xem đáp án

Để ống đựng nước cách mặt nước 2 m thì h = |y| = 2

\( \Leftrightarrow \left| {2,5\sin \left( {2\pi x - \frac{\pi }{2}} \right) + 2} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| { - 2,5\cos \left( {2\pi x} \right) + 2} \right| = 2\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2,5\cos \left( {2\pi x} \right) + 2 = 2\\ - 2,5\cos \left( {2\pi x} \right) + 2 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \left( {2\pi x} \right) = 0\\\cos \left( {2\pi x} \right) = \frac{8}{5}\end{array} \right.\)                                                        

Ta loại trường hợp \[{\rm{cos}}\left( {2\pi x} \right) = \frac{8}{5} > 1\] vì ‒1 ≤ cos(2πx) ≤ 1 với mọi x.

Do đó ta có cos(2πx) = 0.

Ta đã biết cosα = 0 tại những giá trị \[\alpha = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Suy ra cos(2πx) = 0 \( \Leftrightarrow 2\pi x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{1}{4} + \frac{k}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Khi k = 0 thì \(x = \frac{1}{4}\) (phút);

Khi k = 1 thì \(x = \frac{1}{4} + \frac{1}{1} = \frac{5}{4}\) (phút);

Khi k = 2 thì \(x = \frac{1}{4} + \frac{2}{1} = \frac{9}{4}\) (phút);

Vậy khi guồng quay được \(\frac{1}{4}\) phút; \(\frac{5}{4}\) phút; \(\frac{9}{4}\) phút; … thì ống đựng nước cách mặt nước 2 m.


Bắt đầu thi ngay