Thứ sáu, 01/11/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 11 Toán Giải SGK Toán 11 Cánh diều Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác có đáp án

Giải SGK Toán 11 Cánh diều Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác có đáp án

Giải SGK Toán 11 Cánh diều Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác có đáp án

  • 235 lượt thi

  • 42 câu hỏi

  • 60 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 2:

Nêu định nghĩa góc trong hình học phẳng.

Xem đáp án

Góc (còn được gọi là góc hình học) là hình gồm hai tia chung gốc. Mỗi góc có một số đo, đơn vị đo góc (hình học) là độ. Số đo của một góc (hình học) không vượt quá 180°.

Chẳng hạn: Góc xOy gồm hai tia Ox và Oy chung gốc O có số đo là 60° (hình vẽ).

Nêu định nghĩa góc trong hình học phẳng (ảnh 1)

Câu 3:

Hãy hoàn thành bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một số góc sau.

Hãy hoàn thành bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một số góc sau (ảnh 1)
Xem đáp án

Ta có: \(18^\circ = 18.\frac{\pi }{{180}} = \frac{\pi }{{10}}\); \(72^\circ = 72.\frac{\pi }{{180}} = \frac{{2\pi }}{5}\);

            \[\frac{{2\pi }}{9} = {\left( {\frac{{2\pi }}{9}.\frac{{180}}{\pi }} \right)^o} = 40^\circ \]; \[\frac{{5\pi }}{6} = {\left( {\frac{{5\pi }}{6}.\frac{{180}}{\pi }} \right)^o} = 150^\circ \]

Ta có bảng chuyển đổi như sau:

Hãy hoàn thành bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một số góc sau (ảnh 2)

Câu 4:

Đọc tên góc lượng giác, tia đầu và tia cuối của góc lượng giác đó trong Hình 4b.

Đọc tên góc lượng giác, tia đầu và tia cuối của góc lượng giác đó trong Hình 4b (ảnh 1)
Xem đáp án

Trong Hình 4b, góc lượng giác là (Oz, Ot) với tia đầu Oz và tia cuối Ot.


Câu 5:

So sánh chiều quay của kim đồng hồ với:

Chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong Hình 3b.

So sánh chiều quay của kim đồng hồ với: Chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong Hình 3b (ảnh 1)
Xem đáp án

Chiều quay của kim đồng hồ cùng chiều với chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong Hình 3b.


Câu 6:

Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên  (ảnh 1)
Xem đáp án

Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng thì tia đó quét nên một góc 360°.


Câu 7:

Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng (tức là \(3\frac{1}{4}\) vòng). Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng tức là  (ảnh 1)
Xem đáp án

Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng (tức là \(3\frac{1}{4}\) vòng) thì tia đó quét nên một góc là \(3\frac{1}{4}.360^\circ = 1\,\,170^\circ \).


Câu 8:

Trong Hình 5c, tia Om quay theo chiều âm đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

Trong Hình 5c, tia Om quay theo chiều âm đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên một  (ảnh 1)
Xem đáp án

Trong Hình 5c, tia Om quay theo chiều âm đúng một vòng thì tia đó quét nên một góc là ‒360°.


Câu 9:

Hãy biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo \( - \frac{{5\pi }}{4}\).

Xem đáp án

Ta có: \( - \frac{{5\pi }}{4} = - \pi + \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\).

Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo \( - \frac{{5\pi }}{4}\) được biểu diễn ở hình vẽ dưới đây:

Hãy biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số  (ảnh 1)

Câu 10:

Trong Hình 7a, ba góc lượng giác có cùng tia đầu Ou và tia cuối Ov, trong đó Ou ⊥ Ov. Xác định số đo của góc lượng giác trong các Hình 7b, 7c, 7d.

Trong Hình 7a, ba góc lượng giác có cùng tia đầu Ou và tia cuối Ov, trong đó Ou vuông gócsc  (ảnh 1)
Trong Hình 7a, ba góc lượng giác có cùng tia đầu Ou và tia cuối Ov, trong đó Ou vuông gócsc  (ảnh 2)
Xem đáp án

Quan sát Hình 7 ta thấy:

+ Số đo của góc lượng giác có tia đầu Ou và tia cuối Ov trong Hình 7b) là 90°.

+ Số đo của góc lượng giác có tia đầu Ou và tia cuối Ov trong Hình 7c) là 360° + 90° = 450°.

+ Số đo của góc lượng giác có tia đầu Ou và tia cuối Ov trong Hình 7d) là – (360° – 90°) = 90° – 360° = 270°.


Câu 13:

Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là \( - \frac{{11\pi }}{4}\), góc lượng giác (Ou, Ow) có số đo là \(\frac{{3\pi }}{4}.\) Tìm số đo của góc lượng giác (Ov, Ow).

Xem đáp án

Theo hệ thức Chasles, ta có:

(Ov, Ow) = (Ou, Ow) – (Ou, Ov) + k2π

                \( = \frac{{3\pi }}{4} - \left( { - \frac{{11\pi }}{4}} \right) + k2\pi = \frac{{7\pi }}{2} + k2\pi \) (k ℤ).


Câu 15:

Hãy nêu chiều dương, chiều âm trên đường tròn tâm O với bán kính bằng 1.

Xem đáp án

Chiều dương là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ; chiều âm là chiều quay của kim đồng hồ.

Hãy nêu chiều dương, chiều âm trên đường tròn tâm O với bán kính bằng 1 (ảnh 1)

Câu 16:

Xác định điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, ON) = \( - \frac{\pi }{3}\).

Xem đáp án

Ta có (OA, ON) = \( - \frac{\pi }{3}\) là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia ON và quay theo chiều âm (chiều quay của kim đồng hồ) một góc \(\frac{\pi }{3}\).

Điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, ON) = \( - \frac{\pi }{3}\) được biểu diễn như hình dưới đây:

Xác định điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, ON) = -pi/3 (ảnh 1)

Câu 17:

Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = 60°.

Xem đáp án

Ta có (OA, OM) = 60° là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và quay theo chiều dương một góc 60°.

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = 60° được biểu diễn như hình vẽ dưới đây:

Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = 60 độ (ảnh 1)

Câu 18:

Tìm giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\beta = - \frac{\pi }{4}\).

Xem đáp án
Tìm giá trị lượng giác của góc lượng giác beta = -pi/4 (ảnh 1)

Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = β = \( - \frac{\pi }{4} = - {\rm{45}}^\circ \) (hình vẽ).

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy.

Khi đó, ta có: \(\widehat {AOM} = {\rm{45}}^\circ \), suy ra \(\widehat {HOM} = \widehat {AOM} = {\rm{45}}^\circ \).

Theo hệ thức trong tam giác vuông HOM, ta có:

\(OH = OM.cos\widehat {HOM} = 1.c{\rm{os45}}^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\);

\(OK = MH = OM.\sin \widehat {HOM} = 1.\sin {\rm{45}}^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Do đó \(M\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}; - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\).

Vậy \[\sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2};cos\left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\]\(\tan \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1;\cot \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1\).


Câu 19:

Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác α = ‒ 30°.

Xem đáp án

Giả sử M là một điểm trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = α = ‒ 30°.

Điểm M được biểu diễn như hình vẽ sau:

Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác alpha = - 30 độ (ảnh 1)

Khi đó ta có xM > 0 và yM < 0

Suy ra cosα > 0 và sinα < 0

Do đó \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{cos\alpha }} < 0\)\(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} < 0\).


Câu 20:

Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\alpha = \frac{{5\pi }}{6}\).

Xem đáp án

Do \(\frac{\pi }{2} < \frac{{5\pi }}{6} < \pi \) nên \(\sin \frac{{5\pi }}{6} > 0 & ;\,\,cos\frac{{5\pi }}{6} < 0;\,\,\tan \frac{{5\pi }}{6} < 0;\,\,\cot \frac{{5\pi }}{6} < 0\).


Câu 21:

Cho góc lượng giác α. So sánh:

tanα . cotα và 1 (với cosα ≠ 0, sinα ≠ 0)

Xem đáp án

Ta có \[\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\], \(\cot \alpha = \frac{{cos\alpha }}{{\sin \alpha }}\) (với cosα ≠ 0, sinα ≠ 0)

Suy ra \(\tan \alpha .\cot \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 1\).


Câu 22:

Cho góc lượng giác alpha. So sánh:

\[1 + {\tan ^2}\alpha \]\(\frac{1}{{co{s^2}\alpha }}\) với cosα ≠ 0

Xem đáp án

Với cosα ≠ 0, ta có:

\[1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + {\left( {\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}} \right)^2} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\] (do cos2α + sin2α = 1).


Câu 23:

Cho góc lượng giác alpha. So sánh:

\(1 + {\cot ^2}\alpha \)\(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) với sinα ≠ 0

Xem đáp án

Với sinα ≠ 0, ta có:

\[1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + {\left( {\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right)^2} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\] (do cos2α + sin2α = 1).


Câu 24:

Cho góc lượng giác α sao cho \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\)\(\sin \alpha = - \frac{4}{5}\). Tìm cosα.

Xem đáp án

Do \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên cosα < 0.

Áp dụng công thức cos2α + sin2α = 1, ta có: \[co{s^2}\alpha + {\left( { - \frac{4}{5}} \right)^2} = 1\]

Suy ra \[co{s^2}\alpha = 1 - {\left( { - \frac{4}{5}} \right)^2} = 1 - \frac{{16}}{{25}} = \frac{9}{{25}}\]

Do đó \[cos\alpha = - \frac{3}{5}\] (do cosα < 0).


Câu 25:

Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\alpha = \frac{\pi }{4}\).

Xem đáp án
Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác alpha = pi/4 (ảnh 1)

Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = \(\alpha = \frac{\pi }{4} = 45^\circ \) (hình vẽ).

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy.

Khi đó, ta có: \(\widehat {AOM} = {\rm{45}}^\circ \).

Theo hệ thức trong tam giác vuông HOM, ta có:

\({x_M} = OH = OM.cos\widehat {HOM} = 1.c{\rm{os45}}^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\);

\({y_M} = OK = MH = OM.\sin \widehat {HOM} = 1.\sin {\rm{45}}^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Do đó \(M\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\).

Vậy \[\sin 45^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2};cos45^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\]\(\tan 45^\circ = 1;\cot 45^\circ = 1\).


Câu 26:

Tính giá trị của biểu thức: \(Q = {\tan ^2}\frac{\pi }{3} + {\sin ^2}\frac{\pi }{4} + \cot \frac{\pi }{4} + cos\frac{\pi }{2}\).

Xem đáp án

Ta có:

\(Q = {\tan ^2}\frac{\pi }{3} + {\sin ^2}\frac{\pi }{4} + \cot \frac{\pi }{4} + cos\frac{\pi }{2}\)

     \( = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + 1 + 0 = 3 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{9}{2}\).


Câu 27:

Trên đường tròn lượng giác, cho hai điểm M, M’ sao cho góc lượng giác (OA, OM) = α, góc lượng giác (OA, OM’) = – α (Hình 13).

Trên đường tròn lượng giác, cho hai điểm M, M’ sao cho góc lượng giác (OA, OM) = alpha (ảnh 1)

a) Đối với hai điểm M, M’ nêu nhận xét về: hoành độ của chúng, tung độ của chúng.

b) Nêu mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác α và – α.
Xem đáp án

a) Nhận xét: xM = xM’ và yM = ‒yM’.

b) Do xM = xM’ nên cosα = cos(‒α)

Do yM = ‒yM’ nên sinα = ‒sin(‒α).

Khi đó \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{ - \sin \left( { - \alpha } \right)}}{{\cos \left( { - \alpha } \right)}} = - \tan \left( { - \alpha } \right)\);

             \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{ - \tan \left( { - \alpha } \right)}} = - \cot \left( { - \alpha } \right)\).


Câu 28:

Tính:

\(co{s^2}\frac{\pi }{8} + co{s^2}\frac{{3\pi }}{8}\)

Xem đáp án

Ta có:

\(co{s^2}\frac{\pi }{8} + co{s^2}\frac{{3\pi }}{8} = co{s^2}\frac{\pi }{8} + {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{3\pi }}{8}} \right)\)

\( = co{s^2}\frac{\pi }{8} + {\sin ^2}\frac{\pi }{8} = 1\).


Câu 29:

Tính:

tan1° . tan2° . tan45° . tan88° . tan89°.

Xem đáp án

Ta có:

tan1° . tan2° . tan45° . tan88° . tan89°

= (tan1° . tan89°) . (tan2° . tan88°) . tan45°

= (tan1° . cot1°) . (tan2° . cot2°) . tan45°

= 1 . 1 . 1 = 1.


Câu 30:

Dùng máy tính cầm tay để tính:

a) tan(‒75°);

b) \(\cot \left( { - \frac{\pi }{5}} \right)\).

Xem đáp án

a) Chuyển máy tính về chế độ “độ”:

Dùng máy tính cầm tay để tính: a) tan(-75 độ) b) cot (-pi/5)  (ảnh 1)

b) Ta có: \(\cot \left( { - \frac{\pi }{5}} \right) = \frac{1}{{\tan \left( { - \frac{\pi }{5}} \right)}}\)

Chuyển máy tính về chế độ “radian”.

Phép tính

Nút ấn

Kết quả

\(\cot \left( { - \frac{\pi }{5}} \right)\)

 

– 1.37638192

 

Vậy \(\cot \left( { - \frac{\pi }{5}} \right) = - 1,37638192\).


Câu 31:

Xác định vị trí các điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của các góc lượng giác (OA, OM), (OA, ON), (OA, OP) lần lượt bằng \(\frac{\pi }{2};\frac{{7\pi }}{6}; - \frac{\pi }{6}\).

Xem đáp án

• Ta có \(\left( {OA,OM} \right) = \alpha = \frac{\pi }{2}\) là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và quay theo chiều dương một góc \(\frac{\pi }{2}\), khi đó tia OM trùng với tia OB.

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho \(\left( {OA,OM} \right) = \alpha = \frac{\pi }{2}\) được biểu diễn trùng với điểm B.

• Ta có \[\left( {OA,ON} \right) = \beta = \frac{{7\pi }}{6} = \pi + \frac{\pi }{6}\] là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia ON và quay theo chiều dương một góc \[\frac{{7\pi }}{6}\].

• Ta có \[\left( {OA,OP} \right) = \gamma = - \frac{\pi }{6}\] là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OP và quay theo chiều âm một góc \[\frac{\pi }{6}\].

Ba điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác được biểu diễn như hình vẽ dưới đây:

Xác định vị trí các điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của các góc  (ảnh 1)

Câu 32:

Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: 225°; ‒225°; ‒1 035°; \(\frac{{5\pi }}{3};\frac{{19\pi }}{2}; - \frac{{159\pi }}{4}\).

Xem đáp án

‒ Các giá trị lượng giác của góc 225°:

Ta có: cos225° = cos(45° + 180°)= ‒cos45° = \( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\);

           sin225° = sin(45° + 180°) = sin45° = \( = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\);

           tan225° = tan(45° + 180°) = tan45° = 1;

           cot225° = cot(45° + 180°) = cot45° = 1.

‒ Các giá trị lượng giác của góc ‒225°:

Ta có: cos(‒225°) = cos225° = \( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\);

           sin(‒225°) = ‒sin225° = \[ - \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\];

           tan(‒225°) = ‒tan225° = ‒1;

           cot(‒225°) = ‒cot225° = ‒1;

‒ Các giá trị lượng giác của góc ‒1 035°:

Ta có: cos(‒1 035°) = cos(3 . 360° + 45°) = cos45° = \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\);

           sin(‒1 035°) = sin(3 . 360° + 45°) = sin45° = \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\);

            tan(‒1 035°) = tan(3 . 360° + 45°) = tan45° = 1;

            cot(‒1 035°) = cot(3 . 360° + 45°) = cot45° = 1.

‒ Các giá trị lượng giác của góc \(\frac{{5\pi }}{3}\):

Ta có: \(cos\frac{{5\pi }}{3} = cos\left( {\frac{{2\pi }}{3} + \pi } \right) = - cos\frac{{2\pi }}{3} = - \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\);

            \[\sin \frac{{5\pi }}{3} = \sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} + \pi } \right) = - \sin \frac{{2\pi }}{3} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\];

            \[\tan \frac{{5\pi }}{3} = \tan \left( {\frac{{2\pi }}{3} + \pi } \right) = \tan \frac{{2\pi }}{3} = - \sqrt 3 \];

            \[\cot \frac{{5\pi }}{3} = \cot \left( {\frac{{2\pi }}{3} + \pi } \right) = \cot \frac{{2\pi }}{3} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\].

‒ Các giá trị lượng giác của góc \(\frac{{19\pi }}{2}\):

Ta có: \(cos\frac{{19\pi }}{2} = cos\left( {9\pi + \frac{\pi }{2}} \right) = c{\rm{os}}\left( {\pi + \frac{\pi }{2}} \right) = - cos\frac{\pi }{2} = 0\);

           \(\sin \frac{{19\pi }}{2} = \sin \left( {9\pi + \frac{\pi }{2}} \right) = \sin \left( {\pi + \frac{\pi }{2}} \right) = - \sin \frac{\pi }{2} = - 1\);

           Do \(cos\frac{{19\pi }}{2} = 0\) nên \(\tan \frac{{19\pi }}{2}\) không xác định;

           \(\cot \frac{{19\pi }}{2} = \cot \left( {9\pi + \frac{\pi }{2}} \right) = \cot \left( {\pi + \frac{\pi }{2}} \right) = \cot \frac{\pi }{2} = 0\).

‒ Các giá trị lượng giác của góc \( - \frac{{159\pi }}{4}\):

Ta có: \[cos\left( { - \frac{{159\pi }}{4}} \right) = cos\left( { - 40\pi + \frac{\pi }{4}} \right) = c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\];

            \[\sin \left( { - \frac{{159\pi }}{4}} \right) = \sin \left( { - 40\pi + \frac{\pi }{4}} \right) = {\rm{sin}}\frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\];

            \[\tan \left( { - \frac{{159\pi }}{4}} \right) = \tan \left( { - 40\pi + \frac{\pi }{4}} \right) = \tan \frac{\pi }{4} = 1\];

            \[\cot \left( { - \frac{{159\pi }}{4}} \right) = \cot \left( { - 40\pi + \frac{\pi }{4}} \right) = \cot \frac{\pi }{4} = 1\].


Câu 33:

Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau:

\(\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\);

Xem đáp án

Các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\):

\(cos\left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi \,} \right) = cos\frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}\);

\(\sin \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi \,} \right) = \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\);

\(\tan \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi \,} \right) = \tan \frac{\pi }{3} = \sqrt 3 \);

\(\cot \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi \,} \right) = \cot \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).


Câu 34:

Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau:

\(\frac{\pi }{3} + \left( {2k + 1} \right)\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Xem đáp án

Các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\frac{\pi }{3} + \left( {2k + 1} \right)\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\):

\(cos\left[ {\frac{\pi }{3} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = \cos \left( {\frac{\pi }{3} + \pi + 2k\pi } \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{3} + \pi } \right) = - cos\frac{\pi }{3} = - \frac{1}{2}\);

\(\sin \left[ {\frac{\pi }{3} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = \sin \left( {\frac{\pi }{3} + \pi + 2k\pi } \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{3} + \pi } \right) = - \sin \frac{\pi }{3} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\);

\(\tan \left[ {\frac{\pi }{3} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = \tan \frac{\pi }{3} = \sqrt 3 \);

\(\tan \left[ {\frac{\pi }{3} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = \cot \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).


Câu 35:

Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau:

kπ (k ℤ);

Xem đáp án

Các giá trị lượng giác của góc lượng giác kπ (k ℤ):

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

   • cos(kπ) = cos(2nπ) = cos0 = 1;

   • sin(kπ) = sin(2nπ) = sin0 = 0;

   • tan(kπ) = tan(2nπ) = tan0 = 0;

   • Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

   • cos(kπ) = cos(2nπ + π) = cosπ = ‒1.

   • sin(kπ) = sin(2nπ + π) = sinπ = 0.

   • tan(kπ) = tan(2nπ + π) = tanπ = 0.

   • Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.

Vậy với k thì sin(kπ) = 0; tan(kπ) = 0; cot(kπ) không xác định;

        cos(kπ) = 1 khi k là số nguyên chẵn và cos(kπ) = ‒1 khi k là số nguyên lẻ.


Câu 36:

Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau:

\(\frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\);

Xem đáp án

Các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\):

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

   \(cos\left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = cos\left( {\frac{\pi }{2} + 2n\pi \,} \right) = cos\frac{\pi }{2} = 0\);

   \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2n\pi \,} \right) = \sin \frac{\pi }{2} = 1\);

   • Do \(cos\left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = 0\) nên \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right)\) không xác định;

   \(\cot \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = \cot \left( {\frac{\pi }{2} + 2n\pi \,} \right) = \cot \frac{\pi }{2} = 0\).

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

   \(cos\left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = cos\left( {\frac{\pi }{2} + 2n\pi \, + \pi } \right) = cos\left( {\frac{\pi }{2}\, + \pi } \right) = - cos\frac{\pi }{2} = 0\);

   \[\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2n\pi \, + \pi } \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \pi } \right) = - \sin \frac{\pi }{2} = - 1\];

   • Do \(cos\left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = 0\) nên \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right)\) không xác định;

   \(\cot \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = \cot \left( {\frac{\pi }{2} + 2n\pi \, + \pi } \right) = \cot \left( {\frac{\pi }{2}\, + \pi } \right) = \cot \frac{\pi }{2} = 0\).

Vậy với k thì \(cos\left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = 0\); \(\cot \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = 0\);

                              \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right)\) không xác định;

                              \[\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = 1\] khi k là số chẵn và \[\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi \,} \right) = - 1\] khi k là số lẻ.


Câu 37:

Tính các giá trị lượng giác của góc alpha trong mỗi trường hợp sau:

\(\sin \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \)

Xem đáp án

Do \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên cosα < 0.

Áp dụng công thức sin2α + cos2α = 1, ta có:

\[{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{4}} \right)^2} + co{s^2}\alpha = 1\]

\[ \Rightarrow co{s^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{4}} \right)^2} = 1 - \frac{{15}}{{16}} = \frac{1}{{16}}\]

\[ \Rightarrow cos\alpha = - \frac{1}{4}\] (do cosα < 0).

Ta có: \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt {15} }}{4}}}{{ - \frac{1}{4}}} = - \sqrt {15} \);

            \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{ - \sqrt {15} }} = - \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}\).

Vậy \[cos\alpha = - \frac{1}{4}\]; \(\tan \alpha = - \sqrt {15} \)\(\cot \alpha = - \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}\).


Câu 38:

Tính các giá trị lượng giác của góc alpha trong mỗi trường hợp sau:

\(cos\alpha = - \frac{2}{3}\) với \( - \pi < \alpha < 0\)

Xem đáp án

Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0.

Áp dụng công thức sin2α + cos2α = 1, ta có:

\[{\sin ^2}\alpha + {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2} = 1\]

\[ \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\].

\( \Rightarrow \sin \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) (do sinα < 0).

Ta có: \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{ - \frac{{\sqrt 5 }}{3}}}{{ - \frac{2}{3}}}\)\( = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\);

            \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\frac{{\sqrt 5 }}{2}}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Vậy \(\sin \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\); \(\tan \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)\(\cot \alpha = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).


Câu 39:

Tính các giá trị lượng giác của góc alpha trong trường hợp sau:

tanα = 3 với ‒π < α < 0

Xem đáp án

Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0 và cosα > 0 khi \( - \frac{\pi }{2} \le \alpha < 0\), cosα < 0 khi \( - \pi < \alpha < - \frac{\pi }{2}\).

tanα = 3 > 0, do đó \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} > 0\), từ đó suy ra cosα < 0.

Áp dụng công thức tanα.cotα = 1, ta có \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{3}\).

Áp dụng công thức \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\), ta có:

\(1 + {3^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) hay \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 10\)

\( \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{10}} \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\) (do cosα < 0).

Áp dụng công thức \(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\), ta có:

\(1 + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) hay \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{10}}{9}\)

 \( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{9}{{10}} \Rightarrow \sin \alpha = - \frac{3}{{\sqrt {10} }} = - \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\) (do sinα < 0).

Vậy \(\sin \alpha = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\); \(\cos \alpha = - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\); \(\cot \alpha = \frac{1}{3}\).


Câu 40:

Tính các giá trị lượng giác của góc alpha trong trường hợp sau:

cotα = ‒2 với 0 < α < π

Xem đáp án

cotα = ‒2 với 0 < α < π.

Áp dụng công thức tanα.cotα = 1, ta có \(\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = \frac{1}{{ - 2}} = - \frac{1}{2}\).

Do 0 < α < π nên sinα > 0.

cotα = ‒2 < 0 nên \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} < 0\), suy ra cosα < 0.

Áp dụng công thức \(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\), ta có:

\(1 + {\left( { - 2} \right)^2} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) hay \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 5\)

 \( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{5} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\) (do sinα > 0).

Ta có: \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} \Rightarrow \cos \alpha = \cot \alpha .\sin \alpha = \left( { - 2} \right).\frac{{\sqrt 5 }}{5} = - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).


Câu 41:

Một vệ tinh được định vị tại vị trí A trong không gian. Từ vị trí A, vệ tinh bắt đầu chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9 000 km. Biết rằng vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong 2 h.

Xem đáp án

Giả sử vệ tinh được định tại vị trí A, chuyển động quanh Trái Đất được mô tả như hình vẽ dưới đây:

Hãy tính quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau: 1 h; 3 h; 5 h (ảnh 1)

Vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo tức là vệ tinh chuyển động được quãng đường bằng chu vi của quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9 000 km.

Do đó quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 2 h là:

2π . 9 000 = 18 000π (km).

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 1 h là: \[\frac{{18\,000\pi }}{2}.1 = 9000\pi \,\,\,\left( {km} \right)\].

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 3 h là: \[\frac{{18000\pi }}{2}.3 = 27000\pi \,\,\,\left( {km} \right)\].

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 5 h là: \[\frac{{18000\pi }}{2}.5 = 45000\pi \,\,\,\left( {km} \right)\].


Bắt đầu thi ngay