Thứ sáu, 01/11/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 11 Toán Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp có đáp án

Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp có đáp án

Dạng 4. Phương trình lượng giác đối xứng

  • 700 lượt thi

  • 22 câu hỏi

  • 60 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Giải phương trình sinx-cosx+14sinxcosx=1
Xem đáp án

Đặt t=sinxcosx2t2sinxcosx=1t22.

Khi đó phương trình (1) trở thành t+71t2=17t2t6=0t=1t=67.

- Nếu t=1  thì sinxcosx=1sinxπ4=sinπ4x=π2+k2πx=π+k2πk.

- Nếu t=67  thì sinxcosx=67

sinxπ4=327x=π4+arcsin327+k2πx=5π4arcsin327+k2πk.

Vậy phương trình đã cho có 4 họ nghiệm x=π2+k2π;x=π+k2π

x=π4+arcsin327+k2π;x=5π4arcsin327+k2πk.


Câu 2:

Giải phương trình  sin3x+cos3x+1=32sin2x.   2

Xem đáp án

21+sinx+cosxsin2xsinxcosx+cos2x=3sinxcosx

1+sinx+cosx1sinxcosx=3sinxcosx.    *

Đặt t=sinx+cosx2t2sinxcosx=t212.

Khi đó phương trình (*) trở thành 1+t1t212=3.t212

t3+3t23t5=0t+1t2+2t5=0t=1t=16<2t=1+6>2t=1.

Suy ra sinx+cosx=12cosxπ4=1

                            cosxπ4=cos3π4x=π+k2πx=π2+k2πk.             

Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm x=π+k2π;x=π2+k2πk.


Câu 3:

Cho phương trình 2sinx+cosx+2sinxcosx+1=0 . Đặt t=sinx+cosx,  ta được phương trình nào dưới đây?

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình  2sinx+cosx+2sinxcosx+1=01 có nghĩa xD=.

Đặt t=sinx+cosx,t2.

Ta có sinxcosx=t2121t22t=0.

Câu 4:

Nếu 1+sinx1+cosx=2  thì cosxπ4  nhận giá trị là

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình 1+sinx1+cosx=2  có nghĩa xD=.

Ta có 1+sinx1+cosx=2cosx+sinx+sinxcosx=1.

Đặt t=sinx+cosx,t2.

Ta có sinxcosx=t2121t2+2t3=0t=1t=3.

Do  t2 nên t=1.

Với t=1,  ta có t=sinx+cosx=2cosxπ4=1cosxπ4=22.


Câu 5:

Phương trình sinx-cosx+2sin2x+1=0 có nghiệm là
Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình sinxcosx+2sin2x+1=0  có nghĩa xD=.

Ta có sinxcosx+2sin2x+1=0sinxcosx+4sinxcosx+1=0.     1

Đặt t=sinxcosx,t2.

Ta có sinxcosx=1t221t+21t2+1=02t2t3=0t=1t=32.

Do  t2 nên t=1.

Với t=1,  ta có t=sinxcosx=2sinxπ4=1sinxπ4=12=sinπ4

xπ4=π4+k2πx=k2πxπ4=ππ4+k2πx=3π2+k2π,k.


Câu 6:

Cho phương trình sin2x-2(sinx-cosx)-2=0 Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là
Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình  sin2x2sinxcosx2=0 có nghĩa xD=.

Ta có sin2x2sinxcosx2=02sinxcosx2sinxcosx+2=0.   1

Đặt  t=sinxcosx,t2. Ta có sinxcosx=1t22

12t1t2+2=0t2+2t+1=0t=1.

Với t=1,  ta có t=sinxcosx=2sinxπ4=1sinxπ4=12=sinπ4

xπ4=π4+k2πx=k2πxπ4=ππ4+k2πx=3π2+k2π,k.

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là   x=3π2.


Câu 7:

Phương trình sin2xx+2(cosx-sinx)-1=0 có nghiệm là
Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình sin2x+2cosxsinx1=0  có nghĩa xD=.

Ta có sin2x+2cosxsinx1=02sinxcosx2sinxcosx1=0.   1

Đặt  t=sinxcosx,t2. Ta có sinxcosx=1t22

 11t22t1=0t2+2t=0t=0t=2.

Do t2  nên t=0.

Với  t=0, ta có t=sinxcosx=2sinxπ4=0sinxπ4=0xπ4=kπx=π4+kπ,k.


Câu 8:

Cho phương trình  2sinx+cosx=tanx+cotx. Nếu t=sinx+cosx  thì giá trị của t thỏa mãn t2  

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình 2sinx+cosx=tanx+cotx  có nghĩa cosx0xπ2+kπsinx0xkπxkπ2.

Ta có 2sinx+cosx=tanx+cotx

2sinx+cosx=sinxcosx+cosxsinx2sinx+cosx=1sinxcosx.       1

Đặt t=sinx+cosx,t2.  Ta có sinxcosx=t212

12t=2t212t32t2=0t1t=2.


Câu 9:

Cho phương trình sin2x+4(sinx-cosx)-5 Số nghiệm của phương trình thỏa mãn 0<x<π
Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình sin2x+4sinxcosx5=0  có nghĩa xD=.

Ta có sin2x+4sinxcosx5=04sinxcosx+2sinxcosx5=0.      1

Đặt t=sinxcosx,t2.  Ta có sinxcosx=1t22

14t+1t25=0t24t+4=0t=2 (loại).

Vậy phương trình vô nghiệm hay không có nghiệm thỏa mãn   0<x<π.


Câu 10:

Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình 3sinxcosx=3  có nghĩa xD=.

Ta có 32+12<32.

Vậy phương trình vô nghiệm.


Câu 11:

Cho x thỏa mãn phương trình sin2x+sinxcosx=1.  Giá trị lớn nhất tìm được của  sinxπ4
Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình sin2x+sinxcosx=1  có nghĩa xD=.

Ta có sin2x+sinxcosx=1sinxcosx+2sinxcosx1=0.    1

Đặt t=sinxcosx,t2.  Ta có sinxcosx=1t22

 1t+1t21=0t2t=0t=1t=0.

Với t=1,  ta có t=sinxcosx=2sinxπ4=1sinxπ4=22.

Với t=0,  ta có t=sinxcosx=2sinxπ4=0sinxπ4=0.

Vậy giá trị lớn nhất của sinxπ4=22.


Câu 12:

Số họ nghiệm của phương trình sin2x-sinx+cosx-1=0 là
Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình sin2xsinx+cosx1=0  có nghĩa xD=.

Ta có sin2xsinx+cosx1=0sinxcosx2sinxcosx+1=0.      1

Đặt t=sinxcosx,t2. Ta có sinxcosx=1t22

1t1t2+1=0t2+t=0t=1t=0.

Với t=1,  ta có t=sinxcosx=2sinxπ4=1sinxπ4=12=sinπ4

 xπ4=π4+k2πx=k2πxπ4=ππ4+k2πx=3π2+k2π,k.

Với t=0,  ta có t=sinxcosx=2sinxπ4=0sinxπ4=0xπ4=kπx=π4+kπ,k.

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.


Câu 13:

Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình 4sinxcosx+sin2x5=0  có nghĩa  xD=.

Ta có  4sinxcosx+sin2x5=04sinxcosx+2sinxcosx5=0. (1)

Đặt t=sinxcosx,t2.   Ta có sinxcosx=1t22

14t+1t25=0t24t+4=0t=2(loại).

Vậy phương trình vô nghiệm.


Câu 14:

Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sinx+cosx=112sin2x
Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình sinx+cosx=112sin2x   có nghĩa xD=.

Ta có sinx+cosx=112sin2xsinx+cosx+sinxcosx1=0.    1

Đặt  t=sinx+cosx,t2. Ta có sinxcosx=t212

1t+t2121=0t2+2t3=0t=1t=3.  

Do t2  nên t=1.

Với t=1,  ta có t=sinx+cosx=2sinx+π4=1sinx+π4=22=sinπ4

x+π4=π4+k2πx=k2πx+π4=3π4+k2πx=π2+k2π,k.

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x=3π2.


Câu 15:

Số nghiệm của phương trình 22sinx+cosxsin2x3=0 thỏa mãn điều kiện π<x<5π là
Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình  22sinx+cosxsin2x3=0 có nghĩa xD=.

Ta có 22sinx+cosxsin2x3=022sinx+cosx2sinxcosx3=0.     1

Đặt  t=sinx+cosx,t2. Ta có sinxcosx=t212

 122tt213=0t222t+2=0t=2.

Với t=2,  ta có t=sinx+cosx=2sinx+π4=12sinx+π4=1x=π4+k2π,k .

Do xπ;5π  nên   x=9π4;x=17π4.

Vậy có 2 nghiệm thỏa mãn đề bài.


Câu 16:

Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có 3sinx=2sinx=23>1  Phương trình vô nghiệm.

Ta có 14cos4x=12cos4x=2>1  Phương trình vô nghiệm.

Ta có  Δ=124.1.5=19<0 Phương trình  vô nghiệm.

Câu 17:

Điều kiện để phương trình 2sinx+cosx+m2=0  có nghiệm là

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình  2sinx+cosx+m2=0 có nghĩa xD=.

Ta có 2sinx+cosx+m2=0m=2sinx+cosx+2.

Có 2sinx+cosx222sinx+cosx2

22sinx+cosx202sinx+cosx+240m4.


Câu 18:

Phương trình 3sinx+cosx+12sin2x=3   có nghiệm là

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình 3sinx+cosx+12sin2x=3   có nghĩa xD=.

Ta có 3sinx+cosx+12sin2x=33sinx+cosx+sinxcosx+3=0.    1

Đặt t=sinx+cosx,t2.

Ta có sinxcosx=t21213t+t212+3=0t2+6t+5=0t=1t=5.

Do t2   nên t=1.

Với t=1,  ta có t=sinx+cosx=2sinx+π4=1sinx+π4=22=sinπ4

x+π4=π4+k2πx=π2+k2πx+π4=ππ4+k2πx=π+k2π,k.


Câu 19:

Nghiệm của phương trình 2(sinx+cosx)sin2x+1=0 thỏa mãn điều kiện 0<x<π
Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình 2sinx+cosx+sin2x+1=0  có nghĩa xD=.

Ta có  2sinx+cosx+sin2x+1=02sinx+cosx+2sinxcosx+1=0.    1

Đặt   t=sinx+cosx,t2.

Ta có sinxcosx=t21212t+t21+1=0t2+2t=0t=0t=2.

Do t2  nên t=0.

Với t=0,   ta có t=sinx+cosx=2sinx+π4=0sinx+π4=0

x+π4=kπx=π4+kπ,k.

Do x0;π  nên x=3π4.


Câu 20:

Từ phương trình sin3x+cos3x+1=32sin2x ta tìm được cosx+π4 có giá trị bằng
Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình sin3x+cos3x+1=32sin2x  có nghĩa xD=.

Ta có sin3x+cos3x+1=32sin2xsinx+cosxsin2x+sinxcosx+cos2x+1=3sinxcosx

sinx+cosx1+sinxcosx+1=3sinxcosx.       1

Đặt t=sinx+cosx,t2.

Ta có sinxcosx=t2121t1+t212+1=3t212t33t2+t+5=0t=1.

Với t=1,  ta có t=sinx+cosx=2cosxπ4=1cosxπ4=22cosx+π4=±22.


Câu 21:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình xcosx-sinx-cosx+m=0 có nghiệm?
Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình sinxcosxsinxcosx+m=01  có nghĩa xD=.

Đặt t=sinx+cosx,t2.

Ta có sinxcosx=t2121t212t+m=02m=t22t1t12=2m+2.

Do   2t221t1210t123+22.

Để phương trình có nghiệm thì   02m+23+221+222m1.

m  nên m1;0;1.


Câu 22:

Giá trị của m để phương trình m(sinx+cosx)+sin2x=0 có nghiệm là
Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình msinx+cosx+sin2x=0  có nghĩa xD=.

Ta có msinx+cosx+sin2x=0msinx+cosx+2sinxcosx=0  . (1)

Đặt t=sinx+cosx2t2.

Ta có sinxcosx=t2121t2+mt1=0.

 Δ=m2+4>0 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt   t1;t2.

Theo Vi-ét ta có t1.t2=1.   

Suy ra luôn có ít nhất một nghiệm thỏa mãn 2t2 .

Vậy phương trình luôn có nghiệm.


Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan


Có thể bạn quan tâm


Các bài thi hot trong chương