Tập xác định: $D=ℝ$

Ta có: $y^{\text{'}}=3x^2+4x\Rightarrow k=y^{\text{'}}\left(1\right)=7$.

Phương trình tiếp tuyến tại $M\left(1;3\right)$  là $d:y={y^{\text{'}}}_0\left(x-x_0\right)+y_0\iff y=7\left(x-1\right)+3$

Tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{1\right\}$.

Tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{5\right\}.$.

Tọa độ giao điểm với trục hoành $y=0\iff \frac{2x+1}{x-5}=0\iff x=-\frac{1}{2}$.

Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=-\frac{1}{2}$ là $y=y^{\text{'}}\left(-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)+y\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{4}{11}\left(x+\frac{1}{2}\right)=-\frac{4}{11}x-\frac{2}{11}.$

Tập xác định $D=ℝ$.

Ta có$y=x^3-3x^2+2\Rightarrow y^{\text{'}}=3x^2-6x$ .

Gọi  $M\left(x_M;y_M\right)$ là một điểm thuộc $\left(C\right):y=x^3-3x^2+2$, suy ra tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là $y=\left(3x_M^2-6x_M\right)\left(x-x_M\right)+x_M^3-3x_M^2+2$.

Tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm $N\left(x_N;y_N\right)$ (khác M) nên $x_M,x_N$ là nghiệm của phương trình:

$x^3-3x^2+2=\left(3x_M^2-6x_M\right)\left(x-x_M\right)+x_M^3-3x_M^2+2$.

$\iff \left(x^3-x_M^3\right)-3\left(x^2-x_M^2\right)-\left(3x_M^2-6x_M\right)\left(x-x_M\right)=0$

$\iff {\left(x-x_M\right)}^2\left(x+2x_M-3\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=x_M\\ x=-2x_M+3\end{array}\right.$

$\Rightarrow x_N=-2x_M+3$

Khi đó $P=5x_M^2+x_N^2=5x_M^2+{\left(-2x_M+3\right)}^2=9x_M^2-12x_M+9\ge 9{\left(x_M-\frac{2}{3}\right)}^2+5$

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi $x_M=\frac{2}{3}.$

Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left\{2\right\}$.

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{-3}{{\left(x-2\right)}^2}\Rightarrow y^{\text{'}}\left(1\right)=-3$ .

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M\left(1;-2\right)$ là đường thẳng $\left(\Delta \right)$ có dạng:

$y=y^{\text{'}}\left(1\right)\left(x-1\right)+y\left(1\right)=-3\left(x-1\right)-2\iff y=-3x+1$

Tập xác định: $D=ℝ$.

Ta có:$y^{\text{'}}=3x^2-3$.

Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là $M\left(x_0;y_0\right)$, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là

$k=y^{\text{'}}\left(x_0\right)=9\iff 3x_0^2-3=9\iff x_0^2=4\iff x_0=\pm 2$.

+ Với $x_0=2$ ta có $y_0=4$, suy ra tiếp điểm .

+ Với $x_0=-2$  ta có $y_0=0$, suy ra tiếp điểm $M_2\left(-2;0\right)$.

Phương trình tiếp tuyến tại $M_1$  là

$\left(d_1\right):y=9\left(x-2\right)+4\Rightarrow \left(d_1\right):y=9x-14.$.

Phương trình tiếp tuyến tại $M_2$ là

$\left(d_1\right):y=9\left(x-2\right)+4\Rightarrow \left(d_1\right):y=9x-14.$.

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là

$\left(d_1\right):y=9x-14;\left(d_2\right):y=9x+18$.

Tập xác định $D=ℝ$.

Ta có: $y^{\text{'}}=3x^2-6x$.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại $M\left(1;-2\right)\in \left(C\right)$ là

$\Delta :y+2=\left({3.1}^2-6.1\right)\left(x-1\right)\iff y=-3x+1$.

Tập xác định $D=ℝ$.

Ta có: $y^{\text{'}}=4x^3-4\left(m+1\right)x$.

Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm A.

Khi đó tiếp tuyến d có hệ số góc $k=y^{\text{'}}\left(1\right)=4-4\left(m+1\right)=-4m$.

Do đó: $d\perp \Delta \iff -4m.\frac{1}{4}=-1\iff 4m=4\iff m=1$.

Tập xác định:

Gọi $M\left(x_0;y_o\right)$ là tọa độ tiếp điểm. Ta có $y^{\text{'}}=\frac{x^2-4x+5}{{\left(x-2\right)}^2}$.

Hệ số góc của tiếp tuyến là $k=2$ nên

+ Với  ta có , suy ra phương trình tiếp tuyến

$y^{\text{'}}\left(x_0\right)=2\iff \frac{x_0^2-4x_0+5}{{\left(x_0-2\right)}^2}=2\iff x_0^2-4x_0+3=0\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=1\\ x_0=3\end{array}\right.$  .

+ Với $x_0=1$  ta có $y_0=1$, suy ra phương trình tiếp tuyến

$y=2\left(x-1\right)+1\iff y=2x-1.$.

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y=2x-\mathrm{1,}y=2x-5$.

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{-4}{{\left(x-1\right)}^2}$

Gọi  $M\left(x_0;y_0\right)$ là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C) là

 $\Delta :y=\frac{-4}{{\left(x_0-1\right)}^2}\left(x-x_0\right)+\frac{2x_0+2}{x_0-1}$

Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng $\pm 1$.

$\frac{-4}{{\left(x_0-1\right)}^2}=\pm 1\iff x_0=-\mathrm{1,}{x}_0=3$.

+ Với $x_0=-1$ ta có$y_0=0\Rightarrow \Delta :y=-x-1$.

+ Với $x_0=3$ ta có $y_0=4\Rightarrow \Delta :y=-x+7$.

Tập xác định $D=ℝ$.

Ta có: $y^{\text{'}}=-12x^2+3$ .

Đường thẳng d đi qua $A\left(-1;2\right)$ với hệ số góc k có phương trình $d:y=k\left(x+1\right)+2$.

Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình  $\left\{\begin{array}{l}-4x^3+3x+1=k\left(x+1\right)+2\left(1\right)\\ k=-12x^2+3\left(2\right)\end{array}\right.$ có nghiệm.

Thay k từ (2) vào (1) ta được:

$-4x^3+3x+1=\left(-12x^2+3\right)\left(x+1\right)+2$

$\iff 8x^3+12x^2-4=0$

$\iff \left(x-\frac{1}{2}\right){\left(x+1\right)}^2=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

+ Với $x=-1$ ta có $k=-9.$

Phương trình tiếp tuyến là $y=-9x+7$.

+ Với $x=\frac{1}{2}$ ta có $k=0.$

Phương trình tiếp tuyến là . $y=2$

Tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{-1\right\}$. Ta có $y^{\text{'}}=-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}$ .

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y=y^{\text{'}}\left(0\right).x+y\left(0\right)\iff y=-x+2$

Đáp án D

Gọi $M\left(x_0;y_0\right)$ là tọa độ tiếp điểm. Ta có $x_0=2\Rightarrow y_0=0$

$y={\left(x+1\right)}^2\left(x-2\right)=x^3-3x+2\Rightarrow y^{\text{'}}=3x^2-3\Rightarrow y^{\text{'}}\left(2\right)=9$.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y=9\left(x-2\right)+0\iff y=9x-18$

Đáp án B

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: $2x^3+3x^2=5\iff x=1$

Ta có: $y^{\text{'}}=6x^2+6x\Rightarrow y^{\text{'}}\left(1\right)=12$.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y=12\left(x-1\right)+5=12x-7\iff y=12x-7$

Đáp án A

Ta có: $y^{\text{'}}=-3x^2+6x+2m-1=-3\left(x^2-2x+1\right)+2m+2=-3{\left(x-1\right)}^2+2m+2\le 2m+\mathrm{2,}\forall x\in ℝ$

Do đó giá trị lớn nhất của y' là $2m+2$, đạt tại $x_0=1$

Với $x_0=1$ thì $y_0=4m-2$

Phương trình tiếp tuyến của $\left(C_m\right)$ tại $M\left(1;4m-2\right)$ là

$d:y-\left(4m-2\right)=\left(2m+2\right)\left(x-1\right)\iff y=\left(2m+2\right)x+2m-4$

Theo đề bài ta có $\Delta :x-2y-4=0$ hay $\Delta :y=\frac{1}{2}x-2$

$d\perp \Delta \iff 2m+2=-2\iff m=-2$

.

$A\left(0;-1\right)\in \left(C\right):y=\frac{ax+b}{x-1}\Rightarrow \frac{b}{-1}=-1\iff b=1$ . Ta có $y^{\text{'}}=\frac{-a-b}{{\left(x-1\right)}^2}$

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x=2$ có phương trình $y=30\left(x-2\right)+32$ hay $y=30x-28$.

Đáp án B

Ta có: $y^{\text{'}}=3{\text{x}}^2+6m\text{x}+m+1$

Với  $x_0=-1$ thì $y_0=2m-1$ , gọi $B\left(-1;2m-1\right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(-2;2m-4\right)$

Tiếp tuyến tại B đi qua A nên hệ số góc của tiếp tuyến là $k=-m+2$

Mặt khác hệ số góc của tiếp tuyến là $k=y^{\text{'}}\left(x_0\right)\iff 3{\left(x_0\right)}^2+6m_0{x}_0+m_0+1=-m_0+2$

.

Đáp án A

Ta có: $y^{\text{'}}=4x^3-4x$.

Với $x_0=-2$ thì $y_0=\mathrm{8,}{y}^{\text{'}}\left(-2\right)=-24$.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại $M\left(-2;8\right)$ là $y=-24\left(x+2\right)+8\iff y=-24x-40$.

Đáp án C

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{3}{{\left(x+1\right)}^2}$ .

Vì tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng $y=3x-1$ nên hệ số góc của tiếp tuyến là $k=3$.

Suy ra hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: $\frac{3}{{\left(x+1\right)}^2}=3\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}\right.$

Trường hợp 1: $x=0$, suy ra tung độ của tiếp điểm là $y_0=-1$.

Phương trình của tiếp tuyến là:$y+1=3\left(x-0\right)\iff y=3x-1$ (không thỏa mãn).

Trường hợp 2: $x=-2$, suy ra tung độ của tiếp điểm là $y_0=5$

Phương trình của tiếp tuyến là:  $y-5=3\left(x+2\right)\iff y=3x+11$( thỏa mãn).

Vậy tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến là $B\left(-2;5\right)$

Đáp án A

Ta có: $y^{\text{'}}=3x^2+6x;d:x+9y=0$ hay $y=-\frac{1}{9}x$ .

Gọi $d^{\text{'}}$ là tiếp tuyến của (C) vuông góc với d và có tiếp điểm $M\left(x_0;y_0\right)$

Do $d^{\text{'}}\perp d$ nên $d^{\text{'}}$ có hệ số góc $k=9$. Do đó $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=9\iff 3x_0^2+6x_0=9\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=1\Rightarrow y_0=9\\ x_0=-3\Rightarrow y_0=5\end{array}\right.$

+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_1\left(1;9\right)$ là: $y=9\left(x-1\right)+9\iff y=9x$.

+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm  $M_2\left(-3;5\right)$ là: $y=9\left(x+3\right)+5\iff y=9x+32$.

Đáp án C

Ta có: $y^{\text{'}}=-4x^3-2x$

Gọi d là tiếp tuyến của (C) vuông góc với $\Delta :y=\frac{1}{6}x-1$  và có tiếp điểm là $M_0\left(x_0;y_0\right)$

Do $d\perp \Delta$  nên d có hệ số góc $k=-6$

Khi đó $k=-6\iff y^{\text{'}}\left(x_0\right)=-6\iff -4x_0^3-2x_0=-6\iff x_0=1\Rightarrow y_0=4$

Phương trình tiếp tuyến tại $M\left(1;4\right)$ là: $y=-6\left(x-1\right)+4\iff y=-6x+10$

Đáp án B

$y=x^3-m{x}^2-2mx+2018\Rightarrow y^{\text{'}}=3x^2-2mx-2m$Hệ số góc của mỗi tiếp tuyến không âm khi và chỉ khi $y^{\text{'}}=3x^2-2mx-2m\ge 0\iff \left\{\begin{array}{l}a=3>0\\ {{\Delta }^{\text{'}}}_{y^{\text{'}}}=m^2+6m\le 0\end{array}\right.\iff m\in \left[-6;0\right]$

Đáp án D

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ m là $y=-\frac{2}{{\left(m-1\right)}^2}\left(x-m\right)+\frac{m+1}{m-1}\iff 2x+{\left(m-1\right)}^{2}y-m^2-2m+1=0$

Do đó $d\left(I,d\right)=\frac{\left|2.1+{\left(m-1\right)}^2.1-m^2-2m+1\right|}{\sqrt{2^2+{\left(m-1\right)}^4}}=\frac{4\left|m-1\right|}{\sqrt{4+{\left(m-1\right)}^4}}\le \frac{4\left|m-1\right|}{\sqrt{2\sqrt{4{\left(m-1\right)}^4}}}=2$

Đáp án A

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=m$ là $y=-\frac{5}{{\left(m+2\right)}^2}\left(x-m\right)+\frac{3-m}{m+2}$

Để tiếp tuyến đó cách đều 2 điểm $A\left(-1;-2\right),B\left(1;0\right)$ thì có 2 khả năng

+) Tiếp tuyến đó song song với AB $\Rightarrow k_{TT}=k_{AB}\iff -\frac{5}{{\left(m+2\right)}^2}=\frac{0-\left(-2\right)}{1-\left(-1\right)}$ (vô nghiệm).

+) Tiếp tuyến đó đi qua trung điểm của AB $\Rightarrow \frac{-2+0}{2}=-\frac{5}{{\left(m+2\right)}^2}\left(\frac{-1+1}{2}-m\right)+\frac{3-m}{m+2}\iff m=-1$

Vậy tiếp tuyến cần tìm là $y=-5x-1$

Đáp án C

Ta có: $y^{\text{'}}=m{x}^2+2\left(m-1\right)x+4-3m$

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình $y^{\text{'}}.\frac{-1}{2}=-1$ có đúng hai nghiệm dương phân biệt hay phương trình $m{x}^2+2\left(m-1\right)x+4-3m=2\iff m{x}^2+2\left(m-1\right)x+2-3m=0$ có hai nghiệm dương phân biệt. $\left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ {\Delta }^{\text{'}}=4m^2-4m+1>0\\ S=\frac{2\left(1-m\right)}{m}>0\\ P=\frac{2-3m}{m}>0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}0<m<\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}<m<\frac{2}{3}\end{array}\right.$

Vậy $\left(0;\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2};\frac{2}{3}\right)$ là những giá trị cần tìm.

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{-x+1}{2x-1}=x+m\iff 2x^2+2mx-1-m=0$. Theo Vi – ét   $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-m\\ x_1{x}_2=\frac{-1-m}{2}\end{array}\right.$

$y^{\text{'}}=\frac{-1}{{\left(2x-1\right)}^2}\Rightarrow k_1{k}_2=\frac{1}{{\left(2x_1-1\right)}^2{\left(2x_2-1\right)}^2}=\frac{1}{{\left[4x_1{x}_2-2\left(x_1+x_2\right)+1\right]}^2}=\frac{1}{{\left(-2-2m+2m+1\right)}^2}=1$

Đáp án C

Ta có $y^{\text{'}}={\left(x^2.f\left(4x-3\right)\right)}^{\text{'}}=2x.f\left(4x-3\right)+x^2\mathrm{.4.}{f}^{\text{'}}\left(4x-3\right)$

Vì ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ vuông góc nhau nên $f^{\text{'}}\left(1\right).\left(2f\left(1\right)+4f^{\text{'}}\left(1\right)\right)=-1\iff 4{\left(f^{\text{'}}\left(1\right)\right)}^2+2.f\left(1\right).f^{\text{'}}\left(1\right)+1=0$

Để tồn tại $f^{\text{'}}\left(1\right)\iff {\Delta }^{\text{'}}=f^2\left(1\right)-4\ge 0\iff \left|f\left(1\right)\right|\ge 2$

Đáp án A $y^{\text{'}}=3x^2-4x+m-1=3{\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2+m-\frac{7}{3}\ge m-\frac{7}{3}\Rightarrow y^{\text{'}}\ge m-\frac{7}{3}\Rightarrow y^{\text{'}}=m-\frac{7}{3}$ khi $x=\frac{2}{3}$.

Theo bài toán ta có: $y^{\text{'}}\left(-1\right)=-1\iff \left(m-\frac{7}{3}\right)\left(-1\right)=-1\iff m=\frac{10}{3}$

Đáp án B

Ta có $y^{\text{'}}={\left(\frac{f\left(x\right)}{f\left(x^2\right)}\right)}^{\text{'}}=\frac{f\left(x^2\right).f^{\text{'}}\left(x\right)-f\left(x\right).2x.f^{\text{'}}\left(x^2\right)}{f^2\left(x^2\right)}=T\left(x\right)$

Từ giả thiết ta có $f^{\text{'}}\left(1\right)=-10$ và $T\left(1\right)=-\mathrm{3,}f\left(x\right)>\mathrm{0,}\forall x\in ℝ$

Do đó $10f\left(1\right)=-3f^2\left(1\right)\iff f\left(1\right)=\frac{-10}{3}$

Giả sử $A\left(a;\frac{2a}{a+2}\right)$. Ta có $y^{\text{'}}=\frac{4}{{\left(x+2\right)}^2}$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A: $\frac{4}{{\left(a+2\right)}^2}x-y-\frac{4a}{{\left(a+2\right)}^2}+\frac{2a}{a+2}=0\Rightarrow d\left(A,d\right)=\frac{\left|8\left(a+2\right)\right|}{\sqrt{{\left(a+2\right)}^4+16}}$

Do tính đối xứng nên A, B thuộc hai nhánh khác nhau, không mất tính tổng quát giả sử $x_A=a>-2$

Đặt $t=a+2\Rightarrow t>0$ . Khi đó $d\left(A,d\right)=\frac{8t}{\sqrt{t^4+16}}$

Xét $f\left(t\right)=\frac{8t}{\sqrt{t^4+16}}\left(t>0\right)$, từ bảng biến thiên ta có $\underset{t>0}{\max }f\left(t\right)=f\left(2\right)$

Vậy khoảng cách từ I đến tiếp tuyến tại A lớn nhất khi $a=0$  hay $A\left(0;0\right)$

Do tính đối xứng nên $B\left(-4;4\right)$.

Vậy $AB=4\sqrt{2}$.

Đáp án A

Đặt $h\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)+3}{g\left(x\right)+3}$. Giả sử $f^{\text{'}}\left(1\right)=g^{\text{'}}\left(1\right)=h^{\text{'}}\left(1\right)=k$.

Ta có: $h^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{f^{\text{'}}\left(x\right)\left[g\left(x\right)+3\right]-g^{\text{'}}\left(x\right)\left[f\left(x\right)+3\right]}{{\left[g\left(x\right)+3\right]}^2}\Rightarrow k=\frac{k\left[g\left(1\right)-f\left(1\right)\right]}{{\left[g\left(1\right)+3\right]}^2}\Rightarrow \frac{\left[g\left(1\right)-f\left(1\right)\right]}{{\left[g\left(1\right)+3\right]}^2}=1$

$\Rightarrow g^2\left(1\right)+5g\left(1\right)+f\left(1\right)+9=0$. Tồn tại $g\left(1\right)\Rightarrow \Delta =-11-4f\left(1\right)\ge 0\Rightarrow f\left(1\right)\le -\frac{11}{4}$

Đáp án C

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $x_0$ là $y=y^{\text{'}}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y\left(x_0\right)=-\frac{1}{{\left(x_0-1\right)}^2}\left(x-x_0\right)+\frac{1}{x_0-1}$

Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ là $A\left(2x_0-1;0\right),B\left(0;\frac{2x_0-1}{{\left(x_0-1\right)}^2}\right)$

Suy ra $S_{OAB}=\frac{1}{2}.\frac{{\left(2x_0-1\right)}^2}{{\left(x_0-1\right)}^2}=2\iff x_0=\frac{3}{4}\Rightarrow \left(\frac{3}{4};-4\right)$

Đáp án D$d:2x-y-3=0\iff y=2x-3\Rightarrow k_d=\mathrm{2,}y=\left(2m-1\right)x^4-m+\frac{5}{4}\Rightarrow y^{\text{'}}=4\left(2m-1\right)x^3$Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y=\left(2m-1\right)x^4-m+\frac{5}{4}$ tại điểm có hoành độ $x=-1$ là $k_{tt}=y^{\text{'}}\left(-1\right)=4\left(2m-1\right){\left(-1\right)}^3=-4\left(2m-1\right)$