Dạng 4. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
-
1068 lượt thi
-
50 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Tập xác định:
Ta có: .
Phương trình tiếp tuyến tại là
.
Câu 2:
Cho điểm M thuộc đồ thị và có hoành độ bằng – 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M.
Tập xác định .
Ta có: và .
Phương trình tiếp tuyến tại M là .Câu 3:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với trục hoành
Tập xác định .
Tọa độ giao điểm với trục hoành .
Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là
Câu 4:
Gọi là một điểm thuộc , biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm (khác M). Tìm giá trị nhỏ nhất .
Tập xác định .
Ta có .
Gọi là một điểm thuộc , suy ra tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là .
Tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm (khác M) nên là nghiệm của phương trình:
.
Khi đó
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi
Câu 5:
Cho hàm số có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm lần lượt cắt hai trục tọa độ tại A và B. Tính diện tích tam giác OAB.
Tập xác định: .
Ta có: .
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm là đường thẳng có dạng:
Suy ra .
Câu 6:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị có hệ số góc bằng 9.
Tập xác định: .
Ta có:.
Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là , suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là
.
+ Với ta có , suy ra tiếp điểm .
+ Với ta có , suy ra tiếp điểm .
Phương trình tiếp tuyến tại là
.
Phương trình tiếp tuyến tại là
.
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là
.
Câu 7:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị song song với đường thẳng .
Tập xác định
Ta có: và .
Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là .
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng nên
+ Với suy ra , suy ra tiếp điểm .
Phương trình tiếp tuyến tại là: .
Lúc này: nên không thỏa mãn.
+ Với ta có tiếp điểm .
Phương trình tiếp tuyến tại là .
Vậy có một tiếp tuyến cần tìm là .
Câu 8:
Tập xác định .
Ta có: .
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại là
.
Khi đó: .Câu 9:
Tập xác định .
Ta có: .
Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm A.
Khi đó tiếp tuyến d có hệ số góc .
Do đó: .
Câu 10:
Cho hàm số có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thị (C) tại điểm có hệ số góc .
Tập xác định:
Gọi là tọa độ tiếp điểm. Ta có .
Hệ số góc của tiếp tuyến là nên
+ Với ta có , suy ra phương trình tiếp tuyến
.
+ Với ta có , suy ra phương trình tiếp tuyến
.
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là .
Câu 11:
Cho hàm số có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
Ta có:
Gọi là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C) là
Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng .
.
+ Với ta có.
+ Với ta có .
Câu 12:
Tập xác định .
Ta có: .
Đường thẳng d đi qua với hệ số góc k có phương trình .
Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình có nghiệm.
Thay k từ (2) vào (1) ta được:
+ Với ta có
Phương trình tiếp tuyến là .
+ Với ta có
Phương trình tiếp tuyến là .
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm làCâu 13:
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là
Đáp án B
Tập xác định . Ta có .
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
Câu 14:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là
Đáp án D
Gọi là tọa độ tiếp điểm. Ta có
.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là
Câu 15:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M có tung độ bằng 5 là
Đáp án B
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:
Ta có: .
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
Câu 16:
Cho hàm số có đồ thị ( ). Với giá trị nào của tham số m thì tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất của đồ thị ( ) vuông góc với đường thẳng ?
Đáp án A
Ta có:
Do đó giá trị lớn nhất của y' là , đạt tại
Với thì
Phương trình tiếp tuyến của tại là
Theo đề bài ta có hay
.
Câu 17:
Cho hàm số có đồ thị cắt trục tung tại , tiếp tuyến tại A có hệ số góc . Các giá trị của a, b là
Đáp án B
. Ta có
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm A làCâu 18:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ có phương trình là
Đáp án A
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ có phương trình hay .
Câu 19:
Cho hàm số có đồ thị (C). Biết rằng khi thì tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng đi qua . Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án B
Ta có:
Với thì , gọi
Tiếp tuyến tại B đi qua A nên hệ số góc của tiếp tuyến là
Mặt khác hệ số góc của tiếp tuyến là
.
Câu 20:
Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ bằng – 2 là
Đáp án A
Ta có: .
Với thì .
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại là .
Câu 21:
Đáp án C
Ta có .
Vì tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng nên hệ số góc của tiếp tuyến là .
Suy ra hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:
Trường hợp 1: , suy ra tung độ của tiếp điểm là .
Phương trình của tiếp tuyến là: (không thỏa mãn).
Trường hợp 2: , suy ra tung độ của tiếp điểm là
Phương trình của tiếp tuyến là: ( thỏa mãn).
Vậy tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến là
Câu 22:
Đáp án A
Ta có: hay .
Gọi là tiếp tuyến của (C) vuông góc với d và có tiếp điểm
Do nên có hệ số góc . Do đó
+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm là: .
+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm là: .
Câu 24:
Tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng có phương trình là
Đáp án C
Ta có:
Gọi d là tiếp tuyến của (C) vuông góc với và có tiếp điểm là
Do nên d có hệ số góc
Khi đó
Phương trình tiếp tuyến tại là:
Câu 25:
Cho hàm số có đồ thị (C) và điểm M có hoành độ thuộc (C). Gọi S là tập hợp các giá trị thực của m để tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc lớn nhất. Khi đó tổng giá trị các phần tử thuộc S bằng
Đáp án A
Câu 26:
Tập hợp các giá trị thực của tham số m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số đều có hệ số góc không âm là
Đáp án B
Hệ số góc của mỗi tiếp tuyến không âm khi và chỉ khi
Câu 27:
Khoảng cách lớn nhất từ điểm đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số bằng
Đáp án D
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ m là
Do đó
Dấu bằng xảy ra khiCâu 28:
Đáp án A
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là
Để tiếp tuyến đó cách đều 2 điểm thì có 2 khả năng
+) Tiếp tuyến đó song song với AB (vô nghiệm).
+) Tiếp tuyến đó đi qua trung điểm của AB
Vậy tiếp tuyến cần tìm là
Câu 29:
Tập hợp các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị hàm số tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại các điểm đó vuông góc với đường thẳng là
Đáp án C
Ta có:
Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình có đúng hai nghiệm dương phân biệt hay phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
Vậy là những giá trị cần tìm.
Câu 30:
Cho hàm số có đồ thị (C). Với mọi m đường thẳng luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi lần lượt là hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A, B. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án D
Phương trình hoành độ giao điểm: . Theo Vi – ét
Câu 31:
Cho hàm số có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến của (C) tại điểm đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng ?
Đáp án C
Câu 32:
Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Gọi lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số và tại điểm có hoành độ . Biết rằng hai đường thẳng vuông góc nhau. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án C
Ta có
Vì vuông góc nhau nên
Để tồn tại
Câu 33:
Đáp án A
Câu 34:
Đáp án A khi .
Theo bài toán ta có:
Câu 35:
Cho hàm số xác định và nhận giá trị dương trên . Biết tiếp tuyến có hoành độ tại của hai đồ thị hàm số và có hệ số góc lần lượt là – 10 và – 3. Tính giá trị của .
Đáp án B
Ta có
Từ giả thiết ta có và
Do đó
Câu 36:
Cho hàm số có đồ thị (C). Gọi S là tập hợp tất cả giá trị thực của k để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt M, N, P sao cho các tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau. Biết , tích tất cả các phần tử của tập S bằng
Đáp án A
Câu 37:
Cho hàm số . Biết trên (C) có hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ điểm đến tiếp tuyến của (C) tại các điểm A, B là lớn nhất. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
Đáp án C
Giả sử . Ta có
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A:
Do tính đối xứng nên A, B thuộc hai nhánh khác nhau, không mất tính tổng quát giả sử
Đặt . Khi đó
Xét , từ bảng biến thiên ta có
Vậy khoảng cách từ I đến tiếp tuyến tại A lớn nhất khi hay
Do tính đối xứng nên .
Vậy .
Câu 38:
Hệ số góc của các tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=1 của đồ thị hàm số y=f(x) ; y=g(x) và bằng nhau. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án A
Đặt . Giả sử .
Ta có:
. Tồn tại
Câu 39:
Tọa độ điểm thuộc đồ thị của hàm số sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác vuông có diện tích bằng 2 là
Đáp án C
Phương trình tiếp tuyến tại điểm là
Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ là
Suy ra
Câu 40:
Đáp án DHệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là
Ta có
Câu 41:
Cho hàm số có đồ thị (C). Giả sử, đường thẳng là tiếp tuyến của (C), biết rằng d cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác cân tại gốc tọa độ O. Tổng có giá trị bằng
Đáp án D
Câu 42:
Cho các hàm số có đồ thị lần lượt là . Đường thẳng cắt lần lượt tại A, B, C. Biết phương trình tiếp tuyến của tại A và của tại B lần lượt là và . Phương trình tiếp tuyến của tại C
Đáp án A
Phương trình tiếp tuyến của tại A là
Phương trình tiếp tuyến của tại B là
Phương trình tiếp tuyến của tại C là .
Câu 43:
Cho hàm số có đồ thị (C) và điểm . Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để có đúng hai tiếp tuyến của (C) đi qua A?
Đáp án A
Câu 44:
Cho hàm số có đồ thị (C). Hỏi trên trục Oy có bao nhiêu điểm A mà qua A có thể kẻ đến (C) đúng ba tiếp tuyến?
Đáp án C
Câu 45:
Cho hàm số có đồ thị (C). Biết có hai điểm phân biệt A, B thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song nhau và . Hỏi đường thẳng AB đi qua điểm nào dưới đây?
Đáp an B
Gọi với
Do tiếp tuyến tại A, B song song với nhau nên chúng có cùng hệ số góc k.
Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt
Với và nên (thỏa mãn (*))
Khi đó
Do đó đường thẳng AB đi qua điểm .
Câu 46:
Phương trình tiếp tuyến của elip tại điểm là
Đáp án A
Phương trình tiếp tuyến của elip tại điểm là
Từ phương trình elip , đạo hàm hai vế ta được
Khi đó thế (*) vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến như sau:
Do thuộc elip nên
Câu 47:
Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm sao cho phần phía trên Ox của tiếp tuyến với (P) tại mọi điểm có hoành độ và tung độ không âm hợp với tia Ox một góc tù là
Đáp án B
Dễ thấy đồ thị hàm số (P) có hệ số và (P) cắt Ox tại các điểm có hoành độ
Do đó yêu cầu đề bài .
Câu 48:
Cho hàm số . Giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm mà tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng là
Đáp án A
Câu 49:
Cho hàm số có đồ thị là . Có bao nhiêu giá trị m để tiếp tuyến của tại giao điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8?
Đáp án D
Ta có là giao điểm của với trục tung
Phương trình tiếp tuyến với tại điểm M là
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến này với trục hoành và trục tung, ta có tọa độ và .
Nếu thì tiếp tuyến song song với Ox nên loại khả năng này.
Nếu ta có:
Vậy có 4 giá trị cần tìm.
Câu 50:
Cho hàm số có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B thỏa mãn là
Đáp án A
Giả sử tiếp tuyến (d) của (C) tại cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho
Do vuông tại O nên Hệ số góc của (d) bằng hoặc
Hệ số góc của (d) là
Khi đó có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là: