Thứ sáu, 01/11/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 11 Toán Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số có đáp án

Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số có đáp án

Dạng 2: Dãy số có giới hạn hữu hạn có đáp án

  • 607 lượt thi

  • 33 câu hỏi

  • 50 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Chứng minh rằng  limn2+nn2+1=1.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đặt  un=n2+nn2+1, ta có thể nhận xét  limun1=limn2+nn2+11=limn1n2+1=0.

Do đó limun=1 . Ta được điều phải chứng minh.


Câu 2:

Chứng minh rằng  lim3n12n+1=32.
Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đặt un=3n12n+1,  ta có nhận xét:

 limun32=lim3n12n+132=lim52n+1=0.

Do đó limun=32.  Ta được điều phải chứng minh.

Câu 3:

Chứng minh các giới hạn sau:

a)  limn3n3+1=1.

Xem đáp án

hướng dẫn giải

a) Ta có  limn3n3+11=lim1n3+1.

xét dãy un=1n3+1un=1n3+1<1n3=vn,n  và limvn=lim1n3=0

 nên lim1n3+1=0.  

Do đó  limn3n3+1=1.

Ta được điều phải chứng minh.


Câu 4:

Chứng minh các giới hạn sau:

b, limn2+3n+22n2+n=12.

Xem đáp án

b) Ta có  limn2+3n+22n2+n12=lim5n+422n2+n.

Xét dãy  un=5n+422n2+n

un=5n+422n2+n<5n+44n2=54n+1n2=vn,n.

limvn=lim54n+lim1n2=0  nên  lim323n2+n=0.

Do đó  limn2+3n+22n2+n=12.

Ta được điều phải chứng minh.

Câu 5:

Chứng minh có giới hạn:  lim3.3nsin3n3n=3.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có  lim3.3nsin3n3n3=limsin3n3n.

Ta lại có sin3n3n13n=13nn  lim13n=0 , nên  limsin3n3n=0.

Do đó lim3.3nsin3n3n=3.  Ta được điều cần phải chứng minh.


Câu 6:

Tìm các giới hạn sau:

a, lim4n2+n+22n2+n+1.

Xem đáp án

hướng dẫn giải

a) lim4n2+n+22n2+n+1=limn24+1n+2n2n22+1n+1n2

 =lim4+1n+2n22+1n+1n2.

Ÿ  lim2+1n+1n2

.=lim2+lim1n+lim1n2=2+0+0=20

Ÿ  lim4+1n+2n2=lim4+lim1n+lim2n2=4+0+0=4

Nên  lim4n2+n+22n2+n+1=42=2.

Chú ý: Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta đã thực hiện phép chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất của n và sử dụng kết quả limank=0  với  k>0


Câu 7:

Tìm các giới hạn sau: b, lim2n+123n2+2n1n2+3n1.

Xem đáp án

b)  lim2n+123n2+2n1n2+3n1

 =lim32n+12n2+2nlim2n+12n2+3n1.

Ÿ  lim32n+12n2+2n=lim32+1n21+2n=3.221=12.

Ÿ  lim2n+12n2+3n1=2+1n21+3n1n2=221=4.

Nên

Ÿ  lim2n+123n2+2n1n2+3n1=124=8.

Chú ý: Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta đã thực hiện phép tách thành các giới hạn nhỏ.


Câu 8:

Tìm các giới hạn sau:

a)  lim9n2+2n3n4n+3.

Xem đáp án

a, lim9n2+2n3n4n+3=limn9+2n23n4n+3=lim9+2n234+3n=9+034+0=04=0.


Câu 9:

Tìm các giới hạn sau: b, lim3n54+4n22n543n.

Xem đáp án

b, lim3n54+4n22n543n=lim3+4n42n5423n4=3+0020=32.


Câu 10:

Tìm các giới hạn sau:

 a)  lim4n2+2n2n.

Xem đáp án

a)  lim4n2+2n2n=lim4n2+2n4n24n2+2n+2n=lim2n2n1+12n+1

 =lim11+12n+1=11+0+1=12.

Câu 11:

Tìm các giới hạn sau:
b, limn2+2n+3n2+n33.
Xem đáp án

b)  limn2+2n+3n2+n33=limn2+2n+3n+limnn2+n33.

Ÿ  limn2+2n+3n=limn2+2n+3n2n2+2n+3+n=lim2+3n1+2n+3n2+1=21+1=1.

Ÿ  limnn2+n33=limn3n2+n3n2+n.n2+n33+n2+n332

 =lim11+1n+13+1n+132=11+1+1=13.

Vậy  limn2+2n+3n2+n33=113=23.


Câu 12:

Tìm các giới hạn sau:

 a)  lim3n2.5n7+3.5n.
Xem đáp án

a)  lim3n2.5n7+3.5n=lim35n27.15n+3=027.0+3=23


Câu 13:

Tìm các giới hạn sau: b, lim1+2+22+...+2n1+3+32+...+3n.
Xem đáp án

b,lim1+2+22+...+2n1+3+32+...+3n=lim2n+113n+112=lim2.23n+113n+1113n+1=0.


Câu 14:

Tìm các giới hạn sau:

a)  lim11.3+13.5+...+12n12n+1.

Xem đáp án

a) Do  12k12k+1=12.2k+12k12k12k+1=1212k112k+1

Suy ra  lim11.3+13.5+...+12k12k+1

=lim121113+1315+...+12n112n+1=lim12112n+1=12.

 


Câu 15:

Tìm các giới hạn sau: b, lim11221132...11n2.

Xem đáp án

b) Ta có  112211321142...11n1211n2

 =12.32.23.43.34.54...n2n1.nn1.n1n.n+1n=n+12n.

Suy ra lim11221132...11n2=limn+12n=lim1+1n2=12.


Câu 16:

Tính các tổng sau:

a)  S=13+132+...+13n+...

Xem đáp án

a) Xét dãy số  un:13,132,...,13n,... là một cấp số nhân có  u1=13,q=13.

Suy ra  S=13+132+...+13n=113n+11131.

Vậy limS=12.  


Câu 17:

Tính các tổng sau: b, S=168+42+...

Xem đáp án

b) Xét dãy số un:16;8;4;2;...là một cấp số nhân có  u1=16,q=12.

Suy ra S=168+42+... có  limS=161+12=323.

Câu 19:

Hãy biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: b,  β=5,231231...
Xem đáp án

b)  β=5,231231...=5+0,231+0,000231+...=5+231103+231106+...

=5+23110311103=5+231999=1742333.

 

Câu 20:

Tính giới hạn sau:  limn2+4nn2+4n+5.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ÿ Nhập vào máy tính biểu thức sau:

      

Tính giới hạn sau:   a, lim n^2 +4n / n^2 +4n +5 (ảnh 1)

  

Ÿ Sau đó bấm CALC.

       

Tính giới hạn sau:   a, lim n^2 +4n / n^2 +4n +5 (ảnh 2)

 

Ÿ Nhập x=9999999999 , sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

        

Tính giới hạn sau:   a, lim n^2 +4n / n^2 +4n +5 (ảnh 3)

Kết quả: Vậy giới hạn của dãy số bằng 1.


Câu 21:

Tính giới hạn sau lim4n25n2n.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ÿ Nhập vào máy tính biểu thức sau:

        

Tính giới hạn sau lim ( căn 4n^2 -5n -2n) (ảnh 1)

Ÿ Sau đó bấm CACL.

        

Tính giới hạn sau lim ( căn 4n^2 -5n -2n) (ảnh 2)

Ÿ Nhập: x=9999999999 , sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

     

Tính giới hạn sau lim ( căn 4n^2 -5n -2n) (ảnh 3)

 

Kết quả: Vậy giới hạn của dãy số bằng 1,25=54.


Câu 22:

Giới hạn lim2n+1n+2 bằng

Xem đáp án

Ta có lim2n+1n+2=lim2+1n1+2n=21=2.

Chọn đáp án A 


Câu 23:

Giới hạn limn+1n2+2  bằng

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Ta có limn+1n2+2=lim1n+1n21+2n2=01=0. 


Câu 24:

Giới hạn limn2+12n+3 bằng

Xem đáp án

Ta có limn2+12n+3=lim1+1n22+3n=12=12.

Chọn đáp án B


Câu 25:

Giới hạn limn2+n3+13+nnnn2+1+3 bằng

Xem đáp án
Ta có limn2+n3+13+nnnn2+1+3=lim1+1n3+1n63+1n1+1n2+3n2=11=1.
Chọn đáp án D

Câu 26:

Giới hạn 9n2+2n8n3+6n+13n 

Xem đáp án

Ta có lim9n2+2n8n3+6n+13n=lim9n2+2n3nlim8n3+6n+132n=130=13.

Chọn đáp án C


Câu 27:

Giới hạn limnn212+n+n215n5  bằng

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Ta có limnn215+n+n215n5=lim111n25+1+11n251=25=32.

Câu 28:

Giới hạn  lim14n1+4n 

Xem đáp án
Ta có lim14n1+4n=lim14n114n+1=11=1.
Chọn đáp án B

Câu 29:

Giới hạn lim4.3n+7n+12.5n+7n   

Xem đáp án

Ta có: lim4.3n+7n+12.5n+7n=lim4.37n+72.57n+1=71=7.

Chọn đáp án C


Câu 30:

Giới hạn lim12.4+14.6+...+12n2n+2 bằng
Xem đáp án
Ta có
lim12.4+14.6+...+12n2n+2=lim121214+1416+...+12n12n+3=lim121212n+2=14.
Chọn đáp án D

Câu 31:

Giới hạn lim112+21+123+32+...+1nn+1+n+1n  

Xem đáp án

Ta có 1kk+1+k+1k=kk+1k+1kkk+1=1k1k+1. 

Suy ra un=111n+1limun=1.

 Chọn đáp án B


Câu 32:

Tổng S=8+88+888+...+888...8n  chöõ  soá  8  bằng

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Ta viết lại S=899+99+999+...+99...9n  soá  9=89101+1001+...+100..0n  soá  01 

S=8910+100+...+100..00n  soá  0nS=8910.10n1101n=8910n+1109n=88110n+1109n. 


Câu 33:

Tổng  S=55+115+15... bằng

Xem đáp án
Ta có S=55+115+15...=51+15=551+5=25554.
chọn đáp án A

Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan


Có thể bạn quan tâm


Các bài thi hot trong chương