Thứ sáu, 01/11/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 9 Toán Bài tập Toán 9 Chủ đề 2: Góc với đường tròn có đáp án

Bài tập Toán 9 Chủ đề 2: Góc với đường tròn có đáp án

Dạng 2: Góc nội tiếp- góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung có đáp án

  • 781 lượt thi

  • 42 câu hỏi

  • 50 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho đường tròn (O) có các dây cung AB, BC, CA. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Vẽ dây MN song song với BC và gọi S là giao điểm của MNAC. Chứng minh SM = SCSN = SA.

Xem đáp án

Trình bày lời giải

Cho đường tròn (O) có các dây cung AB, BC, CA. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. (ảnh 1)

Do M là điểm chính giữa cung nhỏ AB nên sđMB= sđ MA

Do MN // BC nên NMC^=MCB^ sđ MB= sđ NC

Vậy sđ sđ MB =  NC

NAS^=ANS^ (hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)

SMC^=SCM^ (hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)

Vậy các tam giác ASN và MSC cân tại C  

Nhận xét: Ở bài toán này học sinh có thể nhớ tới bài toán: Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau từ đó nhìn ra  MB=CN


Câu 2:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc A cắt BC tại D và cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M. Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn (M, MB), K là tiếp điểm. Chứng minh rằng DK vuông góc với AM.

Xem đáp án

Trình bày lời giải:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc A cắt BC tại D và cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M.  (ảnh 1)

 A1^=A2^B1^=A2^   ( góc nội tiếp) nên B1^=A1^ .

 ΔMBDΔMAB   (g.g) MDMB=MBMAMDMK=MKMA

Kết hợp với DMK^=AMK^  (góc chung)

ta có: ΔDMKΔ KMA  (c.g.c) MDK^=MKA^=90°

Vậy DK ^AM.


Câu 4:

b) Chứng minh BAH^=OCA^ ;

Xem đáp án

b) ABC^=AMC^  (cùng chắn cung AC) và  AHB^=ACM^=900

Nên ΔABH   đồng dạng ΔAMC( g-g)

BAH^=OAC^OCA^=OAC^BAH^=OCA^


Câu 5:

c) Gọi N là giao điểm AH với đường tròn (O). Tứ giác BCMN là hình gì? Vì sao?

Xem đáp án

c) ANM^=900 , ANNM    nên MN // BCMNBC  hình thang

BC//MN sđ BN=  CM (xem chứng minh Bài 1)

BN=CNBM=CN MNBC là hình thang cân.


Câu 7:

Chứng minh rằng:
b, DE2= DA.DB.
Xem đáp án

b) Ta có :ADE^=ABC^=CAB^=EDB^  mà theo câu a): BED^=DAE^ , suy ra:

ΔBEDΔEAD (g-g) DEDA=DBDEDE2=DA.DB


Câu 8:

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Các điểm M, N, P là điểm chính giữa của các cung AB, BC, CA. Gọi D là giao điểm của MN và AB, E là giao điểm của PN và AC. Chứng minh rằng DE song song với BC.

Xem đáp án

Trình bày lời giải:

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Các điểm M, N, P là điểm chính giữa của các cung AB, BC, CA. (ảnh 1)

AP=PC NE là đường phân giác của ΔANCAEEC=ANNC  (1)

AM=MBND là đường phân giác của ΔANBADDB=ANNB  (2)

BN=NC NB = NC (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AEEC=ADDB , do đó DE // BC.


Câu 9:

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và một cát tuyến MCD. Gọi I là giao điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: ICID=MCMD .

Xem đáp án

Trình bày lời giải

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và một cát tuyến MCD.  (ảnh 1)

Ta có  MAC^=ADC^ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung); AMD^  chung. Suy ra ΔMACΔMDA  (g-g) suy ra:  MA2= MC.MD  và MAMD=ACAD

Tương tự: ΔMBCΔMDB  suy ra: MBMD=BCBD

Xét MCMD=MC.MDMD2=MA2MD2=MAMDMBMD=ACADBCBD (1) 

Mặt khác : ΔIACΔIDB   suy ra: ICIB=ACBD

ΔIBCΔIDA  suy ra:  IBID=BCAD ;

Do đó:ACADBCBD=ACBDBCAD=ICIBIBID=ICID (2) 

Từ (1) và (2) suy ra: ICID=MCMD .


Câu 10:

Gọi CA, CB lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R) với A, B là các tiếp điểm. Vẽ đường tròn tâm I qua C và tiếp xúc với AB tại B. Đường tròn (I) cắt đường tròn (O) tại M. Chứng minh rằng đường thẳng AM đi qua trung điểm của BC.

Xem đáp án

Trình bày lời giải

Gọi CA, CB lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R) với A, B là các tiếp điểm.  (ảnh 1)

Gọi K là giao điểm của AM và BC.

Xét ∆KBM và ∆KAB có: K  chung;KBM^=KAB^ ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp chắn cùng chắn cung  của (O) )

Do đó: ΔKBMΔKABKBKA=KMKBKB2=KM.KA (1)

 MCK^=MBA^(góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BM  của (I)).

KAC^=MBA^ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AM  cuả (O)).

Do đó:MCK^=KAC^ . Xét ∆KCM và ∆KAC có: K  chung ,MCK^=KAC^ . Do đó ΔKCM  ΔKACKCKA=KMKCKC2=KM.KA  (2).

Từ (1) và (2) ta có:  KC2=KB2KC=KB. Vậy AM đi qua trung điểm K của BC.


Câu 11:

Cho hình bình hành ABCD, góc A < 900. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E. Chứng mình rằng BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB.

Xem đáp án
Cho hình bình hành ABCD, góc A < 900. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E.  (ảnh 1)

Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành.

IA = IC Þ IE.IA = IE.IC

ΔIBE   ΔICD (g.g) Þ  IE.IC = IB.ID

Từ đó suy ra: IE.IA = IE.IC = IB.ID = IB2 .IBIE=IAIB

Ta có ∆IBE và ∆IAB có IBIE=IAIB BIA^  chung , suy ra ΔIBE  ΔIAB   (c.g.c) nên IBE^=IAB^ .

Suy ra BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB( định lí bổ sung)


Câu 12:

Mỗi khẳng định sau đúng hay sai:

Xem đáp án

Chọn đáp án A


Câu 13:

Cho hình vẽ, biết AB là đường kính của đường tròn (O), xy là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

Cho hình vẽ, biết AB là đường kính của đường tròn (O), xy là tiếp tuyến của đường tròn tại A.  (ảnh 1)
Xem đáp án

Chọn đáp án B


Câu 16:

b,3 điểm M, O, N thẳng hàng.

Xem đáp án

b) Chứng minh ba điểm M; O; N thẳng hàng:

Có AM và AN là 2 tia phân giác của hai góc kể bù

=> AM  AN => MAN^=900=> MN là đường kính của (O)

=> M; O; N thẳng hàng.


Câu 17:

Cho (O) và hai dây AB, CD bằng nhau và cắt nhau tại M. ( C thuộc cung nhỏ AB, B thuộc cung nhỏ CD).

a)    CMR: cung AC = cung DB.

Xem đáp án

a)

Cho (O) và hai dây AB, CD bằng nhau và cắt nhau tại M. ( C thuộc cung nhỏ AB, B thuộc cung nhỏ CD). a) CMR: cung AC = cung DB. (ảnh 1)

Chứng minh rằng: AC=DB

-        Có sđAC + sđ CB= sđ AB

-        Có sđ BD + sđ CB= sđ DC

ð AC=DB.


Câu 18:

b, CMR: ∆MAC = ∆MDB.

Xem đáp án

b, Chứng minh ∆MAC = ∆MDB.

-        C1^=B1^; AC = BD; A1^=D1^

 ∆MAC = ∆MDB

Câu 20:

b, CMR: P là tâm đường tròn nội tiếp ∆MBA.

Xem đáp án

b, CMR: P là tâm đường tròn nội tiếp ∆MBA.

-        Có I là điểm chính giữa cung nhỏ AM; K là điểm chính giữa cung nhỏ BM => AK; BI lần lượt là tia phân giác của các góc MAB và MBA của tam giác MBA => P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MBA.


Câu 21:

c, Giả sử MA = 12cm, MB = 16cm, tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆MBA.

Xem đáp án

c, Giả sử MA = 12cm, MB = 16cm, tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆MBA.

Giả sử r là bán kính đường tròn nội tiếp ∆MBA, a là độ dài cạnh huyền, p là nửa chu vi ∆MBA. Ta có: r = p – a

Câu 22:

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của góc A cắt (O) tại M.
a) CMR : tam giác BMC cân.

Xem đáp án

Chứng minh rằng : tam giác BMC cân

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của góc A cắt (O) tại M. a)	CMR : tam giác BMC cân. (ảnh 1)

-        Có AM là tia phân giác của góc BAC => BM=MC => BM = MC => tam giác BMC cân


Câu 23:

b, CMR : góc BMC = góc ABC + góc ACB.

Xem đáp án

b, Chứng minh rằng: BMC^=ABC^+ACB^

 

-        Có BMC^=ABC^+ACB^

Mà: BMA^=ACB^;AMC^=ABC^

ð BMC^=ABC^+ACB^


Câu 24:

c, Gọi D là giao điểm của AM và BC. CMR : AB. AC = AD. AM; MD. MA = MB2.

Xem đáp án

c, Gọi D là giao điểm của AM và BC. CMR : AB. AC = AD. AM; MD. MA = MB2.

 

-        ∆ABD ~ ∆AMC => AB. AC = AD. AM

∆MBD ~ ∆MAB => MD. MA = MB2

Câu 25:

Cho nửa đường tròn (O) đường kính CB, A thuộc nửa đường tròn sao cho AB < AC. Tiếp tuyến tại A cắt đường thẳng BC ở I. Kẻ AH vuông góc với BC. CMR:

a)    AB là tia phân giác của góc IAH.

Xem đáp án

a, CMR: AB là tia phân giác của IAH^

-        IAB^=ACB^( góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

ðBAH^=ACB^ (cùng phụ với ABH^)

IAB^=BAH^

Câu 26:

b,  IA2 = IB. IC.

Xem đáp án
b, CMR: IA2 = IB. IC: Có ∆IAB ~ ∆ICA => IA2 = IB. IC

Câu 28:

b) CMR : MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K) ?

 

Xem đáp án

b, CMR: MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).

-        Có AMHN là hình chữ nhật

=> NMH^=AHM^

=> NMH^=MBH^ => MN là tiếp tuyến của (I)

- Chứng minh tương tự ta có MN là tiếp tuyến của (K).


Câu 29:

c, Vẽ tiếp tuyến Ax của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. CMR : Ax // MN.

 

Xem đáp án

c, Có Ax là tiếp tuyến của (O) => xAB^=ACB^

=> ACB^=NHA^=NMA^=> xAB^=NMA^=> Ax // MN


Câu 32:

b, 4 điểm P, M, H, N cùng thuộc một đường tròn.

Xem đáp án

b, 4 điểm P, M, H, N cùng thuộc một đường tròn.

AMB^=900=>PMH^=900 => P; M; H cùng thuộc đường tròn đường kính PH.

ANB^=900=>PNH^=900 => P; N; H cùng thuộc đường tròn đường kính PH.

ð P; M; N; H cùng thuộc đường tròn đường kính PH.


Câu 33:

c, PH vuông góc với AB.

Xem đáp án

c,  PH vuông góc với AB

Có H là trực tâm tam giác PAB => PH vuông góc với AB.


Câu 34:

d, 4 điểm P, M, H, N cùng thuộc một đường tròn.

Xem đáp án

d,   ON là tiếp tuyến của đường tròn đường kính PH.

Có  ONA^=NPH^=12NH của đường tròn đi qua 4 điểm P; M; H; N mà cung NH nằm trong góc ONH => góc ONH là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung NH => ON là tia tiếp tuyến của đường tròn đi qua 4 điểm P; M; H; N

Câu 35:

Cho (O) và (O’) bằng nhau, cắt nhau tại A và B. Qua B vẽ một cát tuyến cắt các đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại C và D.

a)    CMR : AC = AD.

Xem đáp án

a,

CMR : AC = AD.

Cho (O) và (O’) bằng nhau, cắt nhau tại A và B. Qua B vẽ một cát tuyến cắt các đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại C và D.  (ảnh 1)

(O) có góc ACB là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AmB.

(O’) có góc ADB là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AnB

 (O) và (O’) bằng nhau

ð ACB^=ADB^=> ∆ACD cân tại A

AC = AD.

Câu 36:

b, Tìm quỹ tích trung điểm M của CD khi cát tuyến CBD quay quanh B.

Xem đáp án

b, Tìm quỹ tích trung điểm M của CD khi cát tuyến CBD quay quanh B.

Tam giác ACD cân tại A có M là trung điểm của CD => AM vuông góc với CD

=> AMB^=900M thuốc đường tròn đường kính AB.

Câu 38:

b, CMR:ID vuông góc với MN .

Xem đáp án

b, CMR:ID vuông góc với MN.

Có AB là tiếp tuyến của (I) tại D => ID vuông góc với AB.

Có MN // AB => ID vuông góc với MN.

Câu 39:

c, CMR: đường thẳng CD đi qua một điểm cố định.

Xem đáp án

c, CMR: đường thẳng CD đi qua một điểm cố định.

Chứng minh CD là tia phân giác của góc ACB => CD đi qua điểm chính giữa của cung AB.


Câu 41:

Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC, từ điểm M trên cung BC không chứa điểm A, hạ các đường vuông góc với BC; CA; AB lần lượt tại D; H; K. Chứng minh rằng: BCMD=CAMH+ABMK

Xem đáp án
Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC, từ điểm M trên cung BC không chứa điểm A,  (ảnh 1)

Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt (O) tại N => AB = NC => BMN^=AMC^

Gọi E là giao điểm của BC và MN;
CBM^=CAM^;BEM^=12 sđ BM+CN
=12BM+AB=ACM^

ð ∆BME ~ ∆AMC, có MH và MD là 2 đường cao tương ứng=> ACMH=BEMD (1)

MCB^=MAB^;CMN^=AMB^NC=AB

ð ∆CME ~ ∆AMB; có MD; MK là 2 đường cao tương ứng => CEMD=ABMK(2)

Từ (1) và (2) => ACMH+ABMK=BEMD+CEMD=BCMD


Câu 42:

Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Các điểm M và N theo thứ tự di chuyển trên các đường tròn (O) và (O’) sao cho chiều từ A đến M và từ A đến N trên các đường tròn (O) và (O’) đều theo chiều quay của kim đồng hồ và các cung AM và AN có số đo bằng nhau. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.

Xem đáp án

Kẻ các đường kính BOC, BO’D thì C; A; D thẳng hàng, CAD là cát tuyến chung cố định.

Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Các điểm M và N  (ảnh 1)

Trường hợp M thuộc cung BC không chứa A ( Ha): ABN^=ACM^, ACM^ ABM^ nên ABN^ABM^, do đó M; B; N thẳng hàng.

Trường hợp M thuộc cung BC có chứa A (Hb): ABN^=ABM^ nên M; B; N thẳng hàng.

Trong cả hai trường hợp, ta có CM và DN cùng vuông góc với MN. Do đó đường trung trực của MN luôn đi qua trung điểm I của CD, đó là điểm cố định.

 


Bắt đầu thi ngay