Thứ sáu, 01/11/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 9 Toán Bài tập Toán 9 Chủ đề 2: Góc với đường tròn có đáp án

Bài tập Toán 9 Chủ đề 2: Góc với đường tròn có đáp án

Dạng 3: Góc có đỉnh bên trong và bên ngoài đường tròn có đáp án

  • 782 lượt thi

  • 18 câu hỏi

  • 50 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho tứ giác ABCD có bốn đỉnh thuộc đường tròn . Gọi M, N, P, Q lần lượt là điểm chính giữa các cung AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng : .MPNQ

Xem đáp án
Cho tứ giác ABCD có bốn đỉnh thuộc đường tròn . Gọi M, N, P, Q  lần lượt là điểm chính giữa các cung AB, BC, CD, DA. (ảnh 1)

Gọi I là giao điểm của MP và NQ. Ta có.

 MIQ^ = 12(sđ  MQ + sđ NP)

          =12 . 12 (sđ AB  + sđ AD+ sđ BC+ sđ CD).

         =  14. 360o= 90o  . Vậy MP ^ NQ.


Câu 3:

b) Khi M di động trên cung nhỏ BC thì diện tích tứ giác AEFD không đổi.

Xem đáp án

b) Ta có: D1^=A1^=45°  E1^=ADF^ ( cách chứn minh tương tự câu a) nên ΔDAEΔADF g.g   Þ  DEAD=ADAFAF.DE = AD2.

Mặt khác AEFD là tứ giác có hai đường chéo AF, DE vuông góc với nhau.

Do đó SAEFD=12AFDE=12AD2, không đổi.


Câu 5:

Cho đường tròn (O) trong đó có ba dây bằng nhau AB, AC, BD sao cho hai dây AC, BD cắt nhau tại M tạo thành góc vuông AMB. Tính số đo các cung nhỏ AB, CD.

Xem đáp án
Cho đường tròn (O) trong đó có ba dây bằng nhau AB, AC, BD sao cho hai dây AC, BD cắt nhau tại (ảnh 1)

Đường tròn (O) có dây: AB = AC = BD

Suy ra sđ AB = sđ AC = sđ BD 

Do đó: sđ AD = sđ AC - sđ CD 

= sđ BD - sđ DC = sđ BC 

Theo định lý góc có đỉnh bên trong đường tròn, ta có:

AD + sđ BC = 2. sđ BMC^=2.900=1800 

nên sđ AD = sđ BC = 900

Lại có: sđ AB + sđ CD = 2. sđ ABC^=1800 

Hơn nữa sđ AB = sđ BD = sđ BC + sđ DC = 900 + sđ DC

Suy ra: sđDC  = 450; sđ AB = 900 + 450 = 1350

Câu 6:

Cho đường tròn (O) và dây AB. Vẽ tiếp tuyến xy // AB có M là tiếp điểm. Chứng minh rằng AMB  là tam giác cân.

Xem đáp án
Cho đường tròn (O) và dây AB. Vẽ tiếp tuyến xy // AB có M là tiếp điểm. Chứng minh rằng tam giác AMB  là tam giác cân. (ảnh 1)

Ta có OMxy (tính chất của tiếp tuyến)

Mà xy // AB nên

Suy ra MA=MB (định lý đường kính vuông góc với dây cung)

Do đó MA = MB (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau)

Câu 8:

b) M là trung điểm của AB

Xem đáp án

b) Ta có CD // AB nên A1^=D1^ (cặp góc so le trong)

Mặt khác C1^=D1^ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung CE).

ð  A1^=C1^

Xét ΔMAE ΔMCA có: M2^ chung; A1^=C1^ (chứng minh trên)

Vậy ΔMAE # ΔMCA (g.g). Suy ra MAMC=MEMA

Do đó MA2 = MC.ME               (2)

Từ (1) và (2) suy ra MA2 = MB2 do đó MA = MB

 


Câu 9:

Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B. Vẽ dây AC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O). Vẽ dây AD của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O). Chứng minh rằng:

a) AB2 = BC.BD
Xem đáp án

a)

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ dây AC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O’).  (ảnh 1)

ΔABC ΔDBA 

A1^=D1^; C^=A2^ 

(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và

góc nội tiếp cung chắn cung AB)

Do đó ΔABC # ΔDBA (g.g)

Suy ra ABBD=CBAB.Vậy AB2 = BC.BD

Câu 10:

Chứng minh rằng:

b)  BCBD=AC2AD2

Xem đáp án

b) ΔABC # ΔDBA (chứng minh trên) =>  ABBD=CBAB=ACDA

Do đó ABBD.CBAB=ACDA.ACDA. Vậy BCBD=AC2AD2


Câu 11:

Cho đường tròn (O) và hai đường kính vuông góc AB và CD. Trên cung BD lấy một điểm M. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt AB ở E ; CM cắt AB tại F. Chứng tỏ EF = EM.

Xem đáp án

Đường tròn (O) có:

Cho đường tròn (O) và hai đường kính vuông góc AB và CD. Trên cung BD lấy một điểm M.  (ảnh 1)

EMF^=12sđ​​  CBM (góc giữa tiếp tuyến và dây đi qua tiếp điểm)

EMF^=12(sđMB+sđBC)

EFM^=12(sđMB+sđAC) (góc có đỉnh ở trong đường tròn (O)

Mà: sđBC=sđAC=90o (vì CDAB ).

Do đó: EMF^=EFM^ΔEFM cân tại E. Vậy: EF = EM

Câu 12:

Cho tam giác ABC, phân giác trong AD. Đường tròn (O) đi qua A, tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn (O) cắt AB, AC tương ứng tại M và N. Chứng minh MN // BC.

Xem đáp án

Chứng minh ΔBMD # ΔBDA, suy ra

Cho tam giác ABC, phân giác trong AD. Đường tròn (O) đi qua A, tiếp xúc với BC tại D.  (ảnh 1)

BD2 = BM . BA

Tương tự, cũng có CD2 = CN . CA, suy ra

BD2CD2=BM.BACN.CA 

BDCD=ABCA , suy ra AB2CA2=BM.BACN.CA nên BMCN=BACAMN // BC

Câu 13:

Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD với đường tròn (B là tiếp điểm, C nằm giũa A và D). Tia phân giác của góc CBD cắt đường tròn tại m, cắt CD tại E và cắt tia phân giác của góc BAC tại H. Chứng minh rằng:
a) AHBE  ;       
Xem đáp án

a)

Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD với đường tròn (B là tiếp điểm, C nằm giũa A và D). (ảnh 1)

CBM^=DBM^ nên MC=MD 

(hai góc nội tiếp bằng nhau thì hai cung bị chắn bằng nhau)

Góc AEB là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên

AEB^=sđBC+sđMD2 

=sđBC+sđMC2=sđBCM2  (1)

Góc ABM là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên sđABM^=sđBCM2  (2)

Từ (1) và (2) suy ra AEB^=ABM^ , do đó ΔABE  cân tại A.

Có AH là tia phân giác của góc A nên AHBE


Câu 14:

Chứng minh rằng: b) MD2 = MB . ME

Xem đáp án

b) ΔMDE ΔMBD 

MDE^=MBD^ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau); M^ chung.

nên ΔMDE # ΔMBD (g. g).

Suy ra MDMB=MEMD , do đó MD2 = MB. ME


Câu 15:

Cho đường tròn (O) và dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và C là điểm nằm giữa A và B. Tia MC cắt đường tròn tại một điểm thứ hai là D.

a) Chứng minh rằng MA2 = MC . MD.

Xem đáp án

a,

Cho đường tròn (O) và dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và C là điểm nằm giữa A và B.  (ảnh 1)

 ΔMAC ΔMDA có: M1^ chung;

MAC^=MDA^ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Vậy ΔMAC  # ΔMDA (g. g).

Suy ra MAMD=MCMA .

Do đó MA2 = MC . MD.

Câu 16:

b) Vẽ đường tròn (O’) ngoại tiếp tam giác ACD. Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O’).

Xem đáp án

b, Ta có: MAC^=D^ (chứng minh trên), mà D^=sđAC2  , nên MAC^=sđAC2

 AM là một tia tiếp tuyến của đường tròn (O’) (Định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

Câu 17:

c) Vẽ đường kính MN của đường tròn (O). Chứng minh ba điểm A, O’, N thẳng hàng.

Xem đáp án

c,Ta có   MAN^=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MN).

Suy ra NAAM . Mặt khác O'AAM (tính chất của tiếp tuyến).

Qua điểm A chỉ vẽ được một đường thẳng vuông góc với AM, do đó ba điểm A, O’, N thẳng hàng

Câu 18:

Cho đường tròn (O) và một dây AB. Vẽ đường kính  (D thuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M. Các đường thẳng CM và DM cắt đường thẳng AB lần lượt tại E và F. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt đường thẳng AB tại N. Chứng minh rằng N là trung điểm của EF.

Xem đáp án
Cho đường tròn (O) và một dây AB. Vẽ đường kính   (D thuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M.  (ảnh 1)

Ta sẽ chứng minh NE = NF bằng cách dùng NM làm trung gian.

Ta có  CDAB nên DA=DB CA=CB  (định lí đường kính vuông góc với dây cung).

Góc F1 là góc có đỉnh ở bên trong một đường tròn nên:

F^1=sđBM+sđAD2=sđBM+sđBD2=sđMBD2   (1)

M3^ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên M2^=sđMC2   (2)

Từ (1) và (2) suy ra F1^=M3^ do đó ΔNMF cân tại N, suy ra NF = NM.

Góc E là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên: E^=sđACsđBM2=sđBCsđBM2=sđMC2  (3)

Góc M2 là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên M2^=sđMC2 . (4)

Từ (3) và (4) suy ra E^=M2^ , dẫn tới E^=M1^  (vì M1^=M2^ )

Do đó ΔNME cân, suy ra NE = NM tại N. Do vậy NE = NF. Vậy N là trung điểm của EF

Bắt đầu thi ngay