Dạng 3: Góc có đỉnh bên trong và bên ngoài đường tròn có đáp án
-
782 lượt thi
-
18 câu hỏi
-
50 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho tứ giác ABCD có bốn đỉnh thuộc đường tròn . Gọi M, N, P, Q lần lượt là điểm chính giữa các cung AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng : .
Gọi I là giao điểm của MP và NQ. Ta có.
= (sđ + sđ )
= . (sđ + sđ + sđ + sđ ).
= . Vậy MP ^ NQ.
Câu 2:
Cho đường tròn (O), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau, điểm M thuộc cung nhỏ BC. Gọi E là giao điểm của MA và CD, F là giao điểm của MD và AB. Chứng minh rằng:
a)
a)
(góc nội tiếp) .
( góc có đỉnh ở bên trong đường tròn)
Suy ra
Câu 3:
b) Khi M di động trên cung nhỏ BC thì diện tích tứ giác AEFD không đổi.
b) Ta có: và ( cách chứn minh tương tự câu a) nên Þ .
Mặt khác AEFD là tứ giác có hai đường chéo AF, DE vuông góc với nhau.
Do đó , không đổi.
Câu 4:
Cho hình vẽ, hãy điền dấu (x) vào ô thích hợp trong bảng sau:
|
1. sai 2. đúng 3. đúng 4. đúng
Câu 5:
Cho đường tròn (O) trong đó có ba dây bằng nhau AB, AC, BD sao cho hai dây AC, BD cắt nhau tại M tạo thành góc vuông AMB. Tính số đo các cung nhỏ AB, CD.
Đường tròn (O) có dây: AB = AC = BD
Suy ra sđ = sđ = sđ
Do đó: sđ = sđ - sđ
= sđ - sđ = sđ
Theo định lý góc có đỉnh bên trong đường tròn, ta có:
sđ + sđ = 2. sđ
nên sđ = sđ = 900Lại có: sđ + sđ = 2. sđ
Hơn nữa sđ = sđ = sđ + sđ = 900 + sđ
Suy ra: sđ = 450; sđ = 900 + 450 = 1350Câu 6:
Cho đường tròn (O) và dây AB. Vẽ tiếp tuyến xy // AB có M là tiếp điểm. Chứng minh rằng là tam giác cân.
Ta có (tính chất của tiếp tuyến)
Mà xy // AB nên
Suy ra (định lý đường kính vuông góc với dây cung)
Do đó MA = MB (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau)Câu 7:
a)
và có
chung; (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BE)
Nên # (g.g)
Suy ra
Do đó MB2 = MC.MECâu 8:
b) M là trung điểm của AB
b) Ta có CD // AB nên (cặp góc so le trong)
Mặt khác (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung CE).
ð
Xét và có: chung; (chứng minh trên)
Vậy # (g.g). Suy ra
Do đó MA2 = MC.ME (2)
Từ (1) và (2) suy ra MA2 = MB2 do đó MA = MB
Câu 9:
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ dây AC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O’). Vẽ dây AD của đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O). Chứng minh rằng:
a)
và có
;
(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và
góc nội tiếp cung chắn cung AB)
Do đó # (g.g)
Suy ra .Vậy AB2 = BC.BDCâu 11:
Cho đường tròn (O) và hai đường kính vuông góc AB và CD. Trên cung BD lấy một điểm M. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt AB ở E ; CM cắt AB tại F. Chứng tỏ EF = EM.
Đường tròn (O) có:
(góc giữa tiếp tuyến và dây đi qua tiếp điểm)
(góc có đỉnh ở trong đường tròn (O)
Mà: (vì ).
Do đó: cân tại E. Vậy: EF = EMCâu 12:
Cho tam giác ABC, phân giác trong AD. Đường tròn (O) đi qua A, tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn (O) cắt AB, AC tương ứng tại M và N. Chứng minh MN // BC.
Chứng minh # , suy ra
BD2 = BM . BA
Tương tự, cũng có CD2 = CN . CA, suy ra
Mà , suy ra nên // BC
Câu 13:
a)
Vì nên
(hai góc nội tiếp bằng nhau thì hai cung bị chắn bằng nhau)
Góc AEB là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên
(1)
Góc ABM là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên sđ (2)
Từ (1) và (2) suy ra , do đó cân tại A.
Có AH là tia phân giác của góc A nên
Câu 14:
Chứng minh rằng: b) MD2 = MB . ME
b) và có
(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau); chung.
nên # (g. g).
Suy ra , do đó MD2 = MB. ME
Câu 15:
Cho đường tròn (O) và dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và C là điểm nằm giữa A và B. Tia MC cắt đường tròn tại một điểm thứ hai là D.
a) Chứng minh rằng MA2 = MC . MD.
a,
và có: chung;
(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).
Vậy # (g. g).
Suy ra .
Do đó MA2 = MC . MD.Câu 16:
b) Vẽ đường tròn (O’) ngoại tiếp tam giác ACD. Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
b, Ta có: (chứng minh trên), mà , nên
AM là một tia tiếp tuyến của đường tròn (O’) (Định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
Câu 17:
c) Vẽ đường kính MN của đường tròn (O). Chứng minh ba điểm A, O’, N thẳng hàng.
c,Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MN).
Suy ra . Mặt khác (tính chất của tiếp tuyến).
Qua điểm A chỉ vẽ được một đường thẳng vuông góc với AM, do đó ba điểm A, O’, N thẳng hàngCâu 18:
Cho đường tròn (O) và một dây AB. Vẽ đường kính (D thuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M. Các đường thẳng CM và DM cắt đường thẳng AB lần lượt tại E và F. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt đường thẳng AB tại N. Chứng minh rằng N là trung điểm của EF.
Ta sẽ chứng minh NE = NF bằng cách dùng NM làm trung gian.
Ta có nên và (định lí đường kính vuông góc với dây cung).
Góc F1 là góc có đỉnh ở bên trong một đường tròn nên:
Từ (1) và (2) suy ra do đó cân tại N, suy ra NF = NM.
Góc E là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên: (3)
Góc M2 là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên . (4)
Từ (3) và (4) suy ra , dẫn tới (vì )
Do đó cân, suy ra NE = NM tại N. Do vậy NE = NF. Vậy N là trung điểm của EF