Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là điểm biểu diễn hình học của số phức z = -1 + 2i và $\mathrm{\alpha }$ là góc lượng giác có tia đầu Ox, tia cuối OM. Tính $\tan 2\mathrm{\alpha }$

1. Số i.

Số i là số thỏa mãn: i² = –1.

2. Định nghĩa số phức

Mỗi biểu thức dạng a + bi , trong đó $a;b\in$R; i² = –1 được gọi là một số phức.

Đối với số phức z = a + bi, ta nói: a là phần thực, b là phần ảo của z.

Tập hợp các số phức kí hiệu là $C$.

Ví dụ 1. Các số sau là những số phức: 2 – 3i; –8 + 4i; $5-i\sqrt{2};\sqrt{3}+2i$.

Ví dụ 2. Số phức 6 – i có phần thực là 6, phần ảo là – 1.

3. Số phức bằng nhau

– Định nghĩa : Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau :

a + bi = c + di $\iff$ a = c và b = d.

Ví dụ 3. Tìm các số thực x và y biết :

(2x – 1) + (y – 2)i = 3 + (4 – y)i

Lời giải:

Ta có : (2x – 1) + (y – 2)i = 3 + (4 – y)i

$\iff \{\begin{array}{c}2x-1=\mathrm{\hspace{0.17em}3}\\ y-2=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}4}-y\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=2\\ y=\mathrm{\hspace{0.17em}3}\end{array}.$

Vậy x = 2 và y = 3.

– Chú ý :

a) Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0: a = a + 0i.

Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức. Ta có : $R\subset C$.

 b) Số phức 0 + bi được gọi là số thuần ảo và viết đơn giản là bi : bi = 0 + bi

Đặc biệt : i = 0 + 1.i

Số i được gọi là đơn vị ảo.

Ví dụ 4. Số phức z có phần thực là $-\frac{1}{2}$ và phần ảo là $\frac{1}{2}$ là $z=\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}i$.

4. Biểu diễn hình học số phức

Điểm M(a ; b) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi.

Ví dụ 5.

Điểm A biểu diễn số phức 2 – 2i

Điểm B biểu diễn số phức 4.

Điểm C biểu diễn số phức – 2.

Điểm D biểu diễn số phức 2 + 3i.

Điểm E biểu diễn số phức 2.

Điểm F biểu diễn số phức – 3 + 2i.

Điểm G biểu diễn số phức –2 – 3i.

5. Mô đun của số phức.

Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) trên mặt phẳng tọa độ.

Độ dài của vecto $\overrightarrow{OM}$ được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là |z|.

Vậy $\left|z\right|=\left|\overrightarrow{OM}\right|$ hay $|a+bi|=\left|\overrightarrow{OM}\right|$.

Ta thấy :$|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$.

Ví dụ 6.

$\begin{array}{c}|-2+\mathrm{\hspace{0.17em}3}i|=\sqrt{{(-2)}^2+{\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}3}}^2}=\sqrt{13}\\ |\sqrt{2}-4i|=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{(-4)}^2}=\sqrt{18}\end{array}$

6. Số phức liên hợp

– Định nghĩa : Cho số phức z = a + bi. Ta gọi a – bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là $\overline{z}=a-bi.$

Ví dụ 7.

Nếu z = – 3 + 5i thì $\overline{z}=-3-\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}5}i.$

Nếu z = – 4 + 4i thì $\overline{z}=-4-4i.$

– Nhận xét :

+ Trên  mặt phẳng tọa độ các điểm biểu diễn z và $\overline{z}$ đối xứng nhau qua trục Ox.

+ Từ định nghĩa ta có: $\overline{\overline{z}}=z;\left|\overline{z}\right|=\left|z\right|.$