Thứ sáu, 01/11/2024
IMG-LOGO

Câu hỏi:

18/07/2024 343

Cho f(x), g(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn điều kiện 01g(x).f'(x)dx=1, 01g'(x).f(x)dx=2. Tính tích phân I=01f(x).g(x)'dx?

A. I = 2

B. I = 1

C. I = 3

Đáp án chính xác

D. I = -1

 Xem lời giải  Xem lý thuyết

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho 04f(x)dx=-1, tính  I=01f(4x)dx

Xem đáp án » 08/02/2022 5,736

Câu 2:

Đổi biến u = lnx thì tích phân I=1e1-lnxx2dx thành

Xem đáp án » 08/02/2022 2,034

Câu 3:

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a;b]. Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên [a;b] và u(x)=α;βxa;b hơn nữa f(u) liên tục trên đoạn [a;b]. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Xem đáp án » 08/02/2022 780

Câu 4:

Cho F(x) là nguyên hàm của f(x). Phát biểu nào sau đây đúng

Xem đáp án » 08/02/2022 638

Câu 5:

Cho số thực a thỏa mãn -a1ex+1dx=e2-1, khi đó a có giá trị bằng

Xem đáp án » 08/02/2022 370

Câu 6:

Tính 01f(x)dx, biết F(x) là nguyên hàm của f(x) và F(1)=2, F(0)=1

Xem đáp án » 08/02/2022 297

Câu 7:

Để tính I=0π2x2cosxdx theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt:

Xem đáp án » 08/02/2022 266

Câu 8:

Nếu tích phân I=0π6sinnxcosxdx, đặt t=sinx thì tích phân đã cho có dạng:

Xem đáp án » 08/02/2022 255

Câu 9:

Tích phân I=25dxx có giá trị bằng:

Xem đáp án » 08/02/2022 250

Câu 10:

Tích phân 13exdx bằng:

Xem đáp án » 08/02/2022 240

Câu 11:

Cho tích phân  I=ab f(x).g'(x)dx, nếu đặt u=f(x)dv=g'(x)dx thì

Xem đáp án » 08/02/2022 225

Câu 12:

Cho tích phân I=0πx2cosxdx và u=x2;dv=cosxdx. Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án » 08/02/2022 222

Câu 13:

Hàm số y = f (x) có nguyên hàm trên (a;b) đồng thời thỏa mãn f(a)=f(b). Lựa chọn phương án đúng:

Xem đáp án » 08/02/2022 208

LÝ THUYẾT

I. Khái niệm tích phân

1. Diện tích hình thang cong

- Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được gọi là hình thang cong.

                                      Bài 2 : Tích phân (ảnh 1)

- Ta xét bài toán tìm diện tích hình thang cong bất kì:

Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x = a;  x = b (a < b); trục hoành và đường cong y = f(x),  trong đó f(x) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a; b].

Với mỗi x[a;b], kí hiệu S(x) là diện tích của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với Ox lần lượt tại a và b.

Bài 2 : Tích phân (ảnh 1)

 Ta chứng minh được S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Giả sử F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) thì có một hằng số C sao cho S(x) = F(x) +  C.

Vì S(a) = 0 nên F(a) +  C = 0  hay C =    F(a).

Vậy S(x) = F(x) – F(a).

Thay x = b vào đẳng thức trên, ta có diện tích của hình thang cần tìm là:

S(b) = F(b) – F(a).

2. Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu abf(x)𝑑x.

Ta còn dùng kí hiệu F(x)|ab để chỉ hiệu số F(b) – F(a).

Vậy abf(x)𝑑x=F(x)|ab=F(b)-F(a).

Ta gọi ablà dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

 

- Chú ý.

Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước:

aaf(x)𝑑x=0;abf(x)𝑑x=-baf(x)𝑑x.

Ví dụ 1.

a) 02(x+2)𝑑x=(x22+  2x)|02= 6-0=6;

b) 0π2(2+cosx)𝑑x=(2x+sinx)|0π2=(π +1)-0=π+ 1.                           

- Nhận xét.

a) Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu là abf(x)𝑑x hay abf(t)𝑑t. Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến x hay t.

b) Ý nghĩa hình học của tích phân.

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân abf(x)𝑑x là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b. Vậy S=abf(x)𝑑x.

II. Tính chất của tích phân.

- Tính chất 1:

abk.f(x)dx=k.abf(x)𝑑x  (k là hằng số).

- Tính chất 2:

ab[f(x)±g(x)]𝑑x=abf(x)𝑑x±abg(x)𝑑x.

Ví dụ 2.  Tính: 0π(3x- 4sinx)𝑑x.

Lời giải:

Ta có:

  0π(3x- 4sinx)𝑑x=  30π x𝑑x- 40πsinxdx=  3.x22|0π+4cosx|0π=3π22+(-4-4)=3π22-  8

- Tính chất 3.

abf(x)𝑑x=acf(x)𝑑x+cbf(x)𝑑x      (a < c < b).

Ví dụ 3. Tính -22|x|𝑑x.

Lời giải:

Ta có: |x|={-x khi-2x0x khi  0x2

Do đó; -22|x|𝑑x=-20|x|𝑑x+02|x|𝑑x

=--20x𝑑x+02x𝑑x=-x22|-20+x22|02=(0+ 2)+(2-0)=4

III. Phương pháp tính tích phân

1. Phương pháp đổi biến số

- Định lí:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x=φ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α;β] sao cho φ(α)=a;φ(β)=b.

Khi đó: abf(x)𝑑x=αβ f(φ(t)).φ'(t)dt.

Ví dụ 4.  Tính 011-x2𝑑x.

Lời giải:

Đặt x = sint; suy ra: dx = costdt.

Đổi cận:

x= 0t=  0x= 1t=π2

Ta có:

 011-x2𝑑x=0π21-sin2t.costdt=0π2cos2t.cost.dt=0π2cost.cost.dt

=0π2cos2tdt=0π212(1+cos2t)𝑑t

=12.(t+sin2t2)|0π2=π4- 0=π4.

 

- Chú ý:

Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép đổi biến số ở dạng sau:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tính abf(x)𝑑x, đôi khi ta chọn hàm số u = u(x) làm biến số mới, trong đó trên đoạn [a; b], u(x) có đạo hàm liên tục và u(x)[α;β].

Giả sử có thể viết: f(x) = g(u(x)). u’(x) với x[a;b] với g(u) liên tục trên đoạn [α;β].

Khi đó, ta có: abf(x)𝑑x=u(a)u(b)g(u)𝑑u.

 Ví dụ 5. Tính 0π x.sinx2dx.

Lời giải:

Đặt t = x2. Suy ra: dt = 2xdx xdx=dt2

Đổi cận:

x

0

π 

t

0

π

 

Ta có:

  0πx.sinx2dx=0πsint.dt2

=120πsint.dt=12(-cost)|0π=12-(-12)=1.

2. Phương pháp tính tích phân từng phần

- Định lí.

Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì:

abu(x).v'(x)dx=[u(x).v(x)]|ab-abv(x).u'(x)dx

Hay abu𝑑v=uv|ab-abv𝑑u.

Ví dụ 6. Tính I=0π2xsinxdx.

Lời giải:

Đặt {u=xdv=sinxdx

Do đó  I=0π2xsinxdx =(-xcosx)|0π2+0π2cosxdx =0+sinx|0π2=1.

Ví dụ 7. Tính I=0e-1xln(x+1)𝑑x.

Lời giải:

Đặt {u=ln(x+1)dv=xdx ta có {du=1x+1dx =x2-12

I=0e-1xln(x+1)dx =[ln(x+1)x2-12]|0e-1-120e-1(x-1)dx=e2-2e2-12(x22-x)|0e-1

=e2-2e2-12.e2-4e+32=e2-34.

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »