Cho số thực a thỏa mãn , khi đó a có giá trị bằng
A. 1
B. -1
C. 0
D. 2
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a;b]. Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên [a;b] và hơn nữa f(u) liên tục trên đoạn [a;b]. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Cho f(x), g(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn điều kiện . Tính tích phân ?
Hàm số y = f (x) có nguyên hàm trên (a;b) đồng thời thỏa mãn f(a)=f(b). Lựa chọn phương án đúng:
I. Khái niệm tích phân
1. Diện tích hình thang cong
- Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được gọi là hình thang cong.
- Ta xét bài toán tìm diện tích hình thang cong bất kì:
Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x = a; x = b (a < b); trục hoành và đường cong y = f(x), trong đó f(x) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a; b].
Với mỗi , kí hiệu S(x) là diện tích của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với Ox lần lượt tại a và b.
Ta chứng minh được S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].
Giả sử F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) thì có một hằng số C sao cho S(x) = F(x) + C.
Vì S(a) = 0 nên F(a) + C = 0 hay C = – F(a).
Vậy S(x) = F(x) – F(a).
Thay x = b vào đẳng thức trên, ta có diện tích của hình thang cần tìm là:
S(b) = F(b) – F(a).
2. Định nghĩa tích phân
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].
Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu .
Ta còn dùng kí hiệu để chỉ hiệu số F(b) – F(a).
Vậy .
Ta gọi là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.
- Chú ý.
Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước:
.
Ví dụ 1.
a) ;
b) .
- Nhận xét.
a) Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu là hay . Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến x hay t.
b) Ý nghĩa hình học của tích phân.
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b. Vậy .
II. Tính chất của tích phân.
- Tính chất 1:
(k là hằng số).
- Tính chất 2:
.
Ví dụ 2. Tính: .
Lời giải:
Ta có:
- Tính chất 3.
(a < c < b).
Ví dụ 3. Tính .
Lời giải:
Ta có:
Do đó;
III. Phương pháp tính tích phân
1. Phương pháp đổi biến số
- Định lí:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn sao cho .
Khi đó: .
Ví dụ 4. Tính .
Lời giải:
Đặt x = sint; suy ra: dx = costdt.
Đổi cận:
Ta có:
- Chú ý:
Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép đổi biến số ở dạng sau:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tính , đôi khi ta chọn hàm số u = u(x) làm biến số mới, trong đó trên đoạn [a; b], u(x) có đạo hàm liên tục và .
Giả sử có thể viết: f(x) = g(u(x)). u’(x) với với g(u) liên tục trên đoạn .
Khi đó, ta có: .
Ví dụ 5. Tính .
Lời giải:
Đặt t = x2. Suy ra: dt = 2xdx
Đổi cận:
x |
0 |
|
t |
0 |
Ta có:
2. Phương pháp tính tích phân từng phần
- Định lí.
Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì:
Hay .
Ví dụ 6. Tính
Lời giải:
Đặt
Do đó
Ví dụ 7. Tính .
Lời giải:
Đặt ta có