Thứ sáu, 01/11/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 9 Toán Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2020 có đáp án

Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2020 có đáp án

Chuyên đề 2: Bất đẳng thức có đáp án

  • 1720 lượt thi

  • 28 câu hỏi

  • 60 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc = 1, Chứng minh rằng:

aba4+b4+ab+bcb4+c4+bc+cac4+a4+ca1
 
Xem đáp án

Ta có: a4+b4aba2+b2aba4+b4+abababa2+b2+ab=1a2+b2+1

Tương tự có: bcb4+c4+bc1b2+c2+1;cac4+a4+ca1c2+a2+1

Suy ra VT1a2+b2+1+1b2+c2+1+1c2+a2+1

Đặt a2=x3;b2=y3'c2=z3 ta có: xyz = 1 ( do abc = 1)

Suy ra: VT1x3+y3+1+1y3+z3+1+1z3+x3+1

Dễ cm đc x3+y3xyx+y

VT1xyx+y+1+1yzy+z+1+1zxz+x+1

VTzxyzx+y+z+xxyzy+z+x+yzxyz+x+y

VTzx+y+z+xx+y+z+yzx+y+z=1

Vậy VT1 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.


Câu 2:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+ab+bc+ac=6. Chứng minh rằng: a3b+b3c+c3a3
Xem đáp án

Đặt P=a3b+b3c+c3a.

Có a, b, c là các số thực dương, theo bất đẳng thức AM-GM có:

a3b+ab2a2b3c+bc2b2c3a+ac2c2.

P=a3b+b3c+c3a2a2+b2+c2ab+bc+ac, mà a+b+c+ab+bc+ac=6.

P2a2+b2+c2+a+b+c6.

ab2+bc2+ac202a2+b2+c22ab+bc+ca3a2+b2+c2a+b+c2.

Suy ra P23a+b+c2+a+b+c6.

ab+bc+caa2+b2+c23ab+bc+aca+b+c2.

Do đó 6=a+b+c+ab+bc+aca+b+c+13a+b+c213a+b+c2+a+b+c60.a+b+c3, a+b+c29.

Suy ra P23.9+36=3. Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

Vậy a3b+b3c+c3a3.


Câu 3:

Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc = 1

Chứng minh 12+a+12+b+12+c1.

Xem đáp án

Bất đẳng thức cần chứng minh 12+a+12+b+12+c1

b+2c+2+a+2c+2+a+2b+2a+2b+2c+2

ab+bc+ca+4a+b+c+12abc+2ab+bc+ca+4a+b+c+8

ab+bc+ca+4a+b+c+121+2ab+bc+ca+4a+b+c+8

ab+bc+ca3

Thật vậy áp dụng bất đẳng thức CauChy cho 3 số dương ta có ab+bc+ca3abc233.

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Hoàn tất chứng minh.


Câu 4:

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab

Chứng minh rằng: a4b2+1+b4a2+112

Xem đáp án

Từ a + b = 4ab 4ab2abab14 .

Chứng minh được BĐT: Với x, y > 0 ta có a2x+b2ya+b2x+y (*) .

Áp dụng (*) ta có

a4b2+1+b4a2+1=a24ab2+a+b24a2b+ba+b24ab(a+b)+(a+b)

a+b4ab+1=4ab4ab+1=114ab+112

Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=12 .


Câu 5:

Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh x+y+z1x+1y+1z9

Xem đáp án

Áp dụng bất đẳng thức xy+yx2 cho hai số x > 0; y > 0 ta chứng minh được x+y+z1x+1y+1z9 .


Câu 6:

Chứng minh 12+13+...+1400<38.
Xem đáp án

12+13+...+1400=212+2+13+3+...+1400+400<212+1+13+2+...+1400+399

Ta có 212+1+13+2+...+1400+399

=21+32+...+400399

=21+400=38

Vậy 12+13+...+1400<38


Câu 7:

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

aba+b+2c+bcb+c+2a+cac+a+2b14(a+b+c)

Xem đáp án

Ta chứng minh bất đẳng thức 1x+y141x+1y với x, y > 0.

Thậy vậy, với x, y > 0 thì:

1x+y141x+1y1x+yx+y4xy(x+y)24xyx2+2xy+y24xy0

x22xy+y20(xy)20 (luôn đúng)

Do đó: 1x+y141x+1y với x, y > 0.

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

1a+b+2c=1(a+c)+(b+c)14(1a+c+1b+c)aba+b+2cab41a+c+1b+c

Tương tự ta có: bcb+c+2abc41b+a+1c+acac+a+2bca41c+b+1a+b

Cộng vế với vế các bất đẳng thức với nhau ta được:

aba+b+2c+bcb+c+2a+cac+a+2bab41a+c+1b+c+bc41b+a+1c+a+ca41c+b+1a+b

=14aba+c+abb+c+bcb+a+bcc+a+cac+b+caa+b=14ab+bca+c+ab+cac+b+bc+cab+a=14b(a+c)a+c+a(b+c)c+b+c(b+a)b+a=14(a+b+c)

Do đó VT14VP (đpcm).

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.


Câu 8:

Cho ba số thực không âm a, b, c và thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

a+2b+c4(1a)(1b)(1c)

Xem đáp án

Ta có a+2b+c4(1a)(1b)(1c)a+2b+c4(b+c)(a+c)(a+b)

Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có

a+b+b+c2(a+b)(b+c)(a+2b+c)24(a+b)(b+c)(a+2b+c)2(a+c)4(a+b)(b+c)(a+c) 

Áp dụng bất đẳng thức cô si

a+2b+c+a+c2(a+2b+c)(a+c)2(a+b+c)2(a+2b+c)(a+c)1(a+2b+c)(a+c) 1(a+2b+c)(a+c)a+2b+c(a+2b+c)2(a+c)

a+2b+c4(a+b)(a+c)(b+c)


Câu 9:

Giải bất phương trình
7x2>4x+3
Xem đáp án

7x2>4x+33x>5x>53

Vậy nghiệm của bất phương trình là x>53

Câu 11:

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z2019. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=x2x+yz+y2y+zx+z2z+xy.
Xem đáp án

Ta chứng minh bất đẳng thức a2x+b2y+c2za+b+c2x+y+zvới a,b,c,x,y,z>0

Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a - cốp – xki cho ba bộ số ax;x,by;y,cz;z

ta có a2x+b2y+c2zx+y+z=ax2+by2+cz2x2+y2+z2

ax.x+by.y+cz.z2=a+b+c2

a2x+b2y+c2za+b+c2x+y+z      (*)

Dấu “=” xảy khi khi ax=by=cz

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có yzy+z2;zxz+x2;xyx+y2

Tx2x+y+z2+y2y+z+x2+z2z+x+y2

=2x22x+y+z+2y2x+2y+z+2z2x+y+2z

=2x22x+y+z+y2x+2y+z+z2x+y+2z

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có

T2x+y+z24x+y+z=x+y+z2=20192

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 673

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=20192 khi x = y = z = 673


Câu 12:

Cho hai số thực x, y thỏa mãn x3;y3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=21x+1y+3y+1x

Xem đáp án

T=21x+21y+3y+3x=x3+623x+3x+21y+73y+23y=x3+3x+21y+73y+623x+23y2+14+62+2=80

Dấu "=" xảy ra x=3y=3

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 80 khi x = 3; y =3.


Câu 13:

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x+ y + z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=1x2+y2+z2+  1xy+yz+zx

Xem đáp án

Ta có xy+yz+zxx+y+z3313 nên2017xy+yz+zx6051

Áp dụng BĐT x+y+z1x+1y+1z9 , ta có:

(x2+y2+z2)+(xy+yz+zx)+(xy+yz+zx)  1x2+y2+z2+1xy+yz+zx+1xy+yz+zx9(x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx)  1x2+y2+z2+1xy+yz+zx+1xy+yz+zx9

Hay 1x2+y2+z2+  2xy+yz+zx9

Từ đó ta có: P=1x2+y2+z2+  2xy+yz+zx+  2017xy+yz+zx9+6051=6060

P6060
Vậy GTNN của P là 6060 khi và chỉ khi x=y=z=13

Câu 14:

Cho hai số thực không âm a, b thỏa mãn a2+b2=2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=a3+b3+4ab+1.
Xem đáp án

Ta có a3+b3+4=a3+b3+1+33ab+3. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.

Vì ab + 1 > 0 nên M=a3+b3+4ab+13ab+1ab+1=3.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thứcM là 3 đạt được khi a = b = 1.

+) Vì a2+b2=2 nên a2;b2. Suy ra a3+b3+42a2+b2+4=22+4.

Mặt khác 1ab+11 do ab+11. Suy ra M=a3+b3+4ab+122+4.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

a2+b2=2ab=0a;b=0;2a;b=2;0.

Giá trị lớn nhất của biểu thức M 4+22 đạt được khi a;b=0;2a;b=2;0


Câu 15:

Cho x, y là các số thực dương thỏa x + y = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=2x2y2+x+1x+1.

Xem đáp án

Ta có: x+y=1y=1x thay vào A ta được:

A=2x2y2+x+1x+1=2x2(1x)2+x+1x+1=2x2x22x+1+x+1x+1=x2+2x+x+1x=x2x+14+4x+1x14=x122+4x+1x14

Dễ thấy x1220,x

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có 4x+1x24x.1x=4

Suy ra x122+4x+1x140+414=154

Dấu "=" xảy ra khi x=12

Vậy Amin=154 khi x=12.


Câu 16:

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x+y3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=15xy+5x+2y+5

Xem đáp án

P=15xy+5x+2y+5P=15xy+5x+2y+5P=15xy+5(x+y)+y+515xy+5y+8P15xy+xy20+5y+8+y+820xy+y+820

Ta lại có: xy+y+820=y(x+1)+820x+y+124+82035

Khi đó:

P15xy+xy20+5y+8+y+820xy+y+820P15+135P35

Vậy PMin=35x=1y=2


Câu 17:

Cho x, y là hai số thực thỏa x>yxy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x2+y2xy.

Xem đáp án

Với x>y, xy=1, ta có

P=x2+y2xy=(xy)2+2xyxy=xy+2xy

x>yxy>0; 2xy>0 và xy = 1.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương xy; 2xy, ta có

xy+2xy22(xy)xy=22=22

Suy ra minP=22.

Dấu đẳng thức xảy ra xy=2xy(xy)2=2xy=2x=y+2.

Mà xy=1(y+2)y=1y2+2y=1y2+2y1=0y=622y=622

Vậy minP=22 tại x=2+62y=2+62hoặc x=262y=262.


Câu 18:

Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện x2+y2=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=  3x3y.
Xem đáp án

P=  3x3y=93x+y+xy=186x+y+2xy2     =17+x2+y26x+y+2xy2=8+x+y26x+y+92     =x+y322+4.

Từ x2+y2=1 chỉ ra đượcx+y222x+y2;

Suy ra 23x+y323<0.

P=x+y322+42322+4=19622

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 19622 khi x=y=22


Câu 19:

Cho hai số thực không âm a, b thỏa mãn a2+b2=2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=a3+b3+4ab+1.
Xem đáp án

Ta có a3+b3+4=a3+b3+1+33ab+3. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.

Vì ab + 1 > 0 nên M=a3+b3+4ab+13ab+1ab+1=3.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là 3 đạt được khi a = b = 1.

+) Vì a2+b2=2 nên a2,b2. Suy ra a3+b3+42a2+b2+4=22+4.

Mặt khác 1ab+11 do ab+11. Suy ra M=a3+b3+4ab+122+4.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

a2+b2=2ab=0a;b=0;2a;b=2;0.

Giá trị lớn nhất của biểu thức M 4+22 đạt được khi a;b=0;2a;b=2;0

Câu 20:

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: x+2y+3z=2.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S=xyxy+3z+3yz3yz+x+3xz3xz+4y.

Xem đáp án

Đặt a=x;b=2y;c=3z, ta được: a,b,c>0;  a+b+c=2.

Khi đó: S=abab+2c+bcbc+2a+acac+2b .

Xét abab+2c=abab+a+b+cc=aba+cb+c12aa+c+bb+c

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi aa+c=bb+c.

Tương tự ta có: bcbc+2a12bb+a+cc+a  ;acac+2b12aa+b+cc+b.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi bb+a=cc+a; aa+b=cc+b.

Cộng các vế ta được: S12a+ba+b+b+cb+c+a+ca+c=32.

Vậy giá trị lớn nhất của S bằng 32 khi và chỉ khi a=b=c=23 hay giá trị lớn nhất của S bằng 32 khi và chỉ khi x=23;y=13;z=29.


Câu 21:

Cho biểu thức P=a4+b4ab với a, b là các số thực thỏa mãn a2+b2+ab=3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P.

Xem đáp án

Ta có a2+b2+ab=3a2+b2=3ab thay vào P ta được.

P=a4+b4ab=a2+b222a2b2ab=3ab22a2b2ab=96ab+a2b22a2b2ab=97aba2b2=ab2+2.ab.72+494+494+9=ab+722+854

a2+b2=3ab, mà a+b20a2+b22ab3ab2abab3. (1)

ab20a2+b22ab3ab2abab1. (2)

Từ (1) và (2) suy ra 3ab13+72ab+7272+112ab+7292

14ab+722814814ab+72214814+854ab+722+85414+8541ab+722+85421 

Vậy Max P = 21. Dấu = xảy ra khi ab=3a2+b2=6a=3b=3vb=3a=3.

Min P = 1. Dấu = xảy ra khi ab=1a2+b2=2a=1b=1 hoặc a=-1b=-1.


Câu 22:

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn: a+b+3ab=1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=6aba+ba2b2.

Xem đáp án

Ta có: (ab)20a2+b22ab(a+b)24ab;a2+b2(a+b)22

Từ giả thiết a+b+3ab=1a+b=13ab134a+b2

3a+b2+4a+b40a+b+23a+b20a+b23 (vì a, b > 0)

3aba+b=1(a+b)a+b=1a+b1321=12a2+b2a+b2229a2+b229P=6aba+ba2b2=23aba+ba2+b2129=79

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 79 khi a=ba+b+3ab=1a=b=13

Câu 23:

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b + 3ab = 1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=12aba+ba2b2.

Xem đáp án

Ta có: (ab)20a2+b22ab(a+b)24ab;a2+b2(a+b)22

Từ giả thiết a+b+3ab=1a+b=13ab134a+b2

3a+b2+4a+b40a+b+23a+b20a+b23.3aba+b=1(a+b)a+b=1a+b1321=12.a2+b2a+b2229a2+b229.P=12aba+ba2b2=4.3aba+ba2+b2229=169.

Giá trị lớn nhất của P bằng 169 khi a=ba+b+3ab=1a=b=13.


Câu 24:

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x2+y2+z2=3xyz

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy

Xem đáp án

x2+y2+z2=3xyzxyz+yxz+zxy=3

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương xyz;yxz ta có: xyz+yxz2xyz.yx=2z

Tương tự ta cũng có: yxz+zxy2x;zxy+xyz2y

xyz+yxz+yxz+zxy+zxy+xyz2z+2x+2yxyz+yzx+zxy1x+1y+1z1x+1y+1z3

Lại có: x4+yz2x4yz=2x2yzx2x4+yz12yz=14.2.1y.1z14(1y+1z)

Tương tự y2y4+xz14(1x+1z);z2z4+xy14(1x+1y)

Suy ra

P=x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy14(2x+2y+2z)=12(1x+1y+1z)32=>P32

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 32 khi x = y = z = 1.


Câu 25:

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 2019.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=2a2+ab+2b2+2b2+bc+2c2+2c2+ca+2a2.

Xem đáp án

Ta có:

2a2+ab+2b2=54a+b2+34ab254a+b22a2+ab+2b252a+b

Tương tự:

2b2+bc+2c252b+c ; 2c2+ca+2a252c+a

P52a+b+52b+c+52c+a=5a+b+cP20195

Dấu “=” xảy ra a=b=c=20193=673

Vậy minP=20195a=b=c=673


Câu 26:

Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn a + b + c = 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A=aba+3b+2c+bcb+3c+2a+cac+3a+2b

Xem đáp án

Áp dụng bất đẳng thức ở phần a) ta có:

9aba+3b+2cabc+a+abc+b+a2;9bcb+3c+2abca+c+bca+b+b2;9cac+3a+2bcab+a+cab+c+c2 

Cộng theo các vế của ba bất đẳng thức trên ta được

9Aabc+a+abc+b+a2+bca+c+bca+b+b2+cab+a+cab+c+c29Aabc+a+bca+c+abc+b+cab+c+bca+b+cab+a+a+b+c29A32.a+b+c=9A1.

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 2

Vậy MaxA=1a=b=c=2..


Câu 27:

Với x0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=x23x+2019x2

Xem đáp án

Điều kiện x0

Ta có A=x23x+2019x2=13x+2019x2

Đặt t=1xt0 ta được:

A=13t+2019t2=2019t21673t+1=2019t22t11346+1134622019113462+1=2019t113462+2689269226892692

với mọi t thuộc R

Dấu “=” xảy ra khi t=11346tm .
Vậy minA=26892692 khi t=11346x=1346tm

Câu 28:

Xét các số x, y, z thay đổi thoả mãn x3 + y3 + z3 – 3xyz = 2.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=12(x+y+z)2+4(x2+y2+z2xyyzzx)
Xem đáp án

Ta có:

x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y)³ - 3xy(x - y) + z³ - 3xyz = 2
[(x + y)³ + z³] - 3xy(x + y +z ) = 2
(x + y + z)³ - 3z(x + y)(x + y + z) - 3xy(x – y - z) = 2
(x + y + z)[(x + y + z)² - 3z(x + y) - 3xy] = 2

(x + y + z)(x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz - 3xz - 3yz - 3xy) = 2

(x + y + z)(x² + y² + z² - xy - xz - yz) = 2

x² + y² + z² - xy - xz – yz ≠ 0

Chứng minh: x² + y² + z² - xy - xz – yz ≥ 0 với mọi x, y, z

|x² + y² + z² - xy - xz – yz > 0 | x + y + z

Đặt x + y + z = t (t > 0) | x² + y² + z² - xy - xz – yz =t2 khi đó ta có

P=12(x+y+z)2+4(x2+y2+z2xyyzzx)=t22+8t=t22+2+8t2

Áp dụng BĐT Cô si ta có: t22+22t22.2=2t (dấu bằng xảy ra khi t = 2)

2t+8t22t.8t=8 (dấu bằng xảy ra khi t = 2)

P ≥ 8 – 2 = 6. Tồn tại x = y = 1, z = 0 thì P = 6

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6


Bắt đầu thi ngay