Chuyên đề 2: Bất đẳng thức có đáp án
-
1720 lượt thi
-
28 câu hỏi
-
60 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc = 1, Chứng minh rằng:
Ta có:
Tương tự có: ;
Suy ra
Đặt ta có: xyz = 1 ( do abc = 1)
Suy ra:
Dễ cm đc
Vậy Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Câu 2:
Đặt .
Có a, b, c là các số thực dương, theo bất đẳng thức AM-GM có:
.
, mà .
.
Có .
Suy ra .
Có .
Do đó ., .
Suy ra . Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Vậy .
Câu 3:
Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc = 1
Chứng minh .
Bất đẳng thức cần chứng minh
Thật vậy áp dụng bất đẳng thức CauChy cho 3 số dương ta có .
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Hoàn tất chứng minh.
Câu 4:
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab
Chứng minh rằng:
Từ a + b = 4ab .
Chứng minh được BĐT: Với x, y > 0 ta có (*) .
Áp dụng (*) ta có
=
Dấu đẳng thức xảy ra khi .
Câu 5:
Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức cho hai số x > 0; y > 0 ta chứng minh được .
Câu 7:
Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
Ta chứng minh bất đẳng thức với x, y > 0.
Thậy vậy, với x, y > 0 thì:
(luôn đúng)
Do đó: với x, y > 0.
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
Tương tự ta có:
Cộng vế với vế các bất đẳng thức với nhau ta được:
Do đó (đpcm).
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Câu 8:
Cho ba số thực không âm a, b, c và thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
Ta có
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có
Áp dụng bất đẳng thức cô si
Câu 11:
Ta chứng minh bất đẳng thức với
Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a - cốp – xki cho ba bộ số
ta có
(*)
Dấu “=” xảy khi khi
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 673
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức khi x = y = z = 673
Câu 12:
Cho hai số thực x, y thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Dấu "=" xảy ra
Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 80 khi x = 3; y =3.
Câu 13:
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ta có nên
Áp dụng BĐT , ta có:
Hay
Từ đó ta có:
Câu 14:
Ta có . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.
Vì ab + 1 > 0 nên .
Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thứcM là 3 đạt được khi a = b = 1.
+) Vì nên . Suy ra .
Mặt khác . Suy ra .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
.
Giá trị lớn nhất của biểu thức M là đạt được khi
Câu 15:
Cho x, y là các số thực dương thỏa x + y = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ta có: thay vào A ta được:
Dễ thấy
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có
Suy ra
Dấu "=" xảy ra khi
Vậy khi
Câu 16:
Cho các số thực dương x, y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ta lại có:
Khi đó:
Vậy
Câu 17:
Cho x, y là hai số thực thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Với , ta có
Vì và xy = 1.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương , ta có
Suy ra .
Dấu đẳng thức xảy ra .
Mà
Vậy tại hoặc
Câu 18:
Từ chỉ ra được
Suy ra
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi
Câu 19:
Ta có . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.
Vì ab + 1 > 0 nên .
Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là 3 đạt được khi a = b = 1.
+) Vì nên . Suy ra .
Mặt khác . Suy ra .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
.
Giá trị lớn nhất của biểu thức M là đạt được khiCâu 20:
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .
Đặt , ta được: .
Khi đó: .
Xét
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Tương tự ta có: .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ; .
Cộng các vế ta được: .
Vậy giá trị lớn nhất của S bằng khi và chỉ khi hay giá trị lớn nhất của S bằng khi và chỉ khi .
Câu 21:
Cho biểu thức với a, b là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P.
Ta có thay vào P ta được.
Vì , mà . (1)
Và . (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Vậy Max P = 21. Dấu = xảy ra khi .
Min P = 1. Dấu = xảy ra khi hoặc .
Câu 22:
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn: .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Ta có:
Từ giả thiết
(vì a, b > 0)
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng khi
Câu 23:
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b + 3ab = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Ta có:
Từ giả thiết
Giá trị lớn nhất của P bằng khi .
Câu 24:
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có:
Tương tự ta cũng có:
Lại có:
Tương tự
Suy ra
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = khi x = y = z = 1.
Câu 25:
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 2019.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Ta có:
Tương tự:
Dấu “=” xảy ra
Vậy
Câu 26:
Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn a + b + c = 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Áp dụng bất đẳng thức ở phần a) ta có:
Cộng theo các vế của ba bất đẳng thức trên ta được
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 2
Vậy .
Câu 27:
Với , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Điều kiện
Ta có
Đặt ta được:
với mọi t thuộc R
Dấu “=” xảy ra khi .Câu 28:
Xét các số x, y, z thay đổi thoả mãn x3 + y3 + z3 – 3xyz = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcTa có:
x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y)³ - 3xy(x - y) + z³ - 3xyz = 2
[(x + y)³ + z³] - 3xy(x + y +z ) = 2
(x + y + z)³ - 3z(x + y)(x + y + z) - 3xy(x – y - z) = 2
(x + y + z)[(x + y + z)² - 3z(x + y) - 3xy] = 2
(x + y + z)(x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz - 3xz - 3yz - 3xy) = 2
(x + y + z)(x² + y² + z² - xy - xz - yz) = 2
x² + y² + z² - xy - xz – yz ≠ 0
Chứng minh: x² + y² + z² - xy - xz – yz ≥ 0 với mọi x, y, z
|x² + y² + z² - xy - xz – yz > 0 | x + y + z
Đặt x + y + z = t (t > 0) | x² + y² + z² - xy - xz – yz khi đó ta có
Áp dụng BĐT Cô si ta có: (dấu bằng xảy ra khi t = 2)
(dấu bằng xảy ra khi t = 2)
P ≥ 8 – 2 = 6. Tồn tại x = y = 1, z = 0 thì P = 6
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6