Thứ sáu, 01/11/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Đánh giá năng lực ĐH Bách Khoa Bài toán tiếp tuyến của đồ thị và sự tiếp xúc của hàm số

Bài toán tiếp tuyến của đồ thị và sự tiếp xúc của hàm số

Bài toán tiếp tuyến của đồ thị và sự tiếp xúc của hàm số

  • 339 lượt thi

  • 21 câu hỏi

  • 30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x44+x221 tại điểm có hoành độ x=1  là:
Xem đáp án

Ta có y'=x3+x

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x=1  là k=y'(1)=2

Đáp án cần chọn là: C


Câu 2:

Đồ thị hàm số nào sau đây có tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị và trục tung có hệ số góc âm?
Xem đáp án

Đối với hàm số y=5x+1x+1 thì y'=4x+12>0,x1

Hệ số góc của tiếp tuyến luôn dương.

Đối với hàm số: y=2x+1x+1 thì y'=1x+12>0,x1

Hệ số góc của tiếp tuyến luôn dương.

Đối với hàm số

y=13x3+x2+4x+1=>y'=x2+2x+4=(x+1)2+3>0,x

Hệ số góc của tiếp tuyến luôn dương.

Xét hàm số y=1x+1 Có giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là: A(0;1)

Có y'=1x+12<0x1y'0<0
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A có hệ số âm.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 3:

Biết đồ thị các hàm số y=x3+54x2 y=x2+x2  tiếp xúc nhau tại điểm M(x0;y0) Tìm x0.

Xem đáp án

Hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của hệ phương trình:

f(x)=g(x)f'(x)=g'(x)x3+54x2=x2+x23x2+54=2x+1

x3x2+14x=03x22x+14=0x=0x=12x=12x=16x=12

Vậy x=12 là hoành độ điểm tiếp xúc.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 4:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=2x3+4x+2 tại điểm có hoành độ bằng 0.

Xem đáp án

Bước 1:  Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số là A(0;2).

Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm A có dạng y=y'0x0+2.

Ta cóy'=6x2+4y'0=4. Do đó phương trình tiếp tuyến là y=4x+2.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 5:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x4+6x25 tại điểm cực tiểu của nó.
Xem đáp án

Ta có:y'=4x3+12xy'=0x=0 hoặcx=3 hoặc x=3

Ta có bảng biến thiên

Media VietJack

Quan sát bảng biến thiên ta thấy tiếp điểm là (0;−5) và y'0=0.

Vậy phương trình đường tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là y=5

Đáp án cần chọn là: B


Câu 6:

Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị C:y=x42x2đi qua gốc tọa độ O?

Xem đáp án

Giả sử x0;y0 là điểm thuộc đồ thị hàm số (C) có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ O

Ta có: y'=4x34x

Ta có phương trình đường thẳng tiếp tuyến tại điểm x0;y0

y=4x034x0xx0+y0y=4x034x0xx0+x042x02

Thay (0;0) vào phương trình trên ta được:

0=(4x034x0)(0x0)+x042x02

3x04+2x02=0x02(3x02+2)=0x0=0x0=±23
Vậy có ba điểm có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 7:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x332x2+x+2 song song với đường thẳng y=2x+5 có phương trình là:
Xem đáp án

Tiếp tuyến (d) song song với đường thẳng y=2x+5 nên có hệ số góc .

Suy ra y'=2 hay x24x+1=2x1x3=0

x=1,y=43x=3,y=4

Với x=1;y=43 thì d1:y=2x1+43 hay d1:y=2x+103
Với x=3;y=4 thì d2:y=2x34 hay d2:y=2x+2
Đáp án cần chọn là: A


Câu 8:

Giả sử tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=2x36x2+18x+1 song song với đường thẳng d:12xy=0  có dạng y=ax+b. Khi đó tổng a+b  là:

Xem đáp án

Ta có: y'=6x212x+18

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x0;y0 có hệ số góc k=y'x0

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y=12x nên:

k=126x0212x0+18=12x012=0x0=1y0=15

y=12x1+15y=12x+3

Vậy a=12,b=3a+b=15

Đáp án cần chọn là: A


Câu 9:

Cho hàm số y=x33x2+5x2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
Xem đáp án

Xét hàm số:y=x33x2+5x2 trên R 

Có y'=3x26x+5=3x12+22.

Dấu “=” xảy ra x=1.

Với x=1y=1.

Vậy đường thẳng cần tìm là: y1=2x1y=2x1.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 10:

Cho hàm số: y=x3x2+1. Tìm điểm nằm trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại điểm đó có hệ số góc nhỏ nhất.

Xem đáp án

Giả sử M(a;b) là điểm thuộc đồ thị hàm sao cho tiếp tuyến Δtại đó có hệ số góc nhỏ nhất là k.

Δ:y=y'a.(xa)+b

Do kmin3a22amin

Xét 3a22.13a+19=3a13203a22a+1303a22a13

k=13 khi a=13b=2527

Đáp án cần chọn là: D


Câu 11:

Cho hàm số y=x42(m+1)x2+m+2 có đồ thị (C). Gọi Δ là tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 1. Với giá trị nào của tham số mm thì Δ vuông góc với đường thẳng d:y=14x2016
Xem đáp án

Ta có: y'=4x34m+1xy'1=4m

Vì tiếp tuyến Δ vuông góc với đường thẳng d nên 

k.14=1k=4=y'1=4m

Vậy m thỏa mãn đề bài là  m=1

Đáp án cần chọn là: A


Câu 12:

Cho hàm số y=2x1x1   C Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M và hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân.

Xem đáp án

TXĐ: D=R1

Ta có: y'=1x12

Gọi Mxo;yo là điểm thuộc đồ thị hàm số (C). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M là:

 

Δ:  y=y'xoxxo+yo=1xo12xxo+2xo1xo1

Gọi AxA;0 là giao điểm của Δ và trục Ox;B0;yB  là giao điểm của Δ và trục Oy.

xA=2x022xo+1yB=2x022xo+1(xo1)2

Theo đề bài ta có tiếp tuyến tại M và hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân

 tam giác OAB cân tại O

OA=OBxA=yB

2x022xo+1=2x022xo+1(xo1)2=0

2x022xo+1=011(xo1)2(xo1)2=0(xo1)2=1

x0=0tmx0=2tm

Khi đó ta có hai điểm M là: M(0;1) và M(2;3)

Đáp án cần chọn là: B


Câu 13:

Cho hàm số y=fx=x33mx26mx9m+12 có đồ thị hàm số (Cm). Khi tham số m thay đổi, các đồ thị (Cm) đều tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Đường thẳng này có phương trình:

Xem đáp án

Ta có: y'=x22mx6m

Gọi điểm M(x;y) là điểm cố định của đồ thị hàm số.

Khi đó:

y=fx=x33mx26mx9m+12(x2+6x+9).m+x33+12y=0,m

(x2+6x+9)=0x33+12y=0(x+3)2=0x33+12y=0x=3y=3

Do đó M(−3;3) là điểm cố định thuộc đồ thị (Cm).

y'3=9

Vậy phương trình tiếp tuyến cố định của đồ thị hàm số (Cm) tại M là:

y=9x+3+3=9x+30

Đáp án cần chọn là: D


Câu 14:

Cho hàm số y=f(x)=x3+6x2+9x+3 C Tồn tại hai tiếp tuyến của (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox,Oy tương ứng tại A và B sao cho OA=2017.OB. Hỏi có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn yêu cầu bài toán?

Xem đáp án

Ta có y'=3x2+12x+9;y''=6x+12=0x=2

Điểm uốn của đồ thị hàm số là U(−2;1)

Xét đường thẳng d đi qua U(−2;1) có phương trình y=kdx+2+1 hay y=kdx+2kd+1

d cắt Ox,Oy lần lượt tại A2kd+1kd;0,B0;2kd+1

OA=2017.OB2kd+1kd=20172kd+1kd=±12017;kd=12

Nếu kd=12 thì y=12x nên AB  (loại)

Khi đó ta có hệ số góc của d là kd=±12017
Do đó có 2 đường thẳng d thỏa mãn

Từ đó suy ra có 2 giá trị k thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 15:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y=2x+m  cắt đồ thị (H) của hàm số y=2x+3x+2  tại hai điểmA, B phân biệt sao cho P=k12018+k22018 đạt giá trị nhỏ nhất (với k1,k2 là hệ số góc của tiếp tuyến tại A, B của đồ thị (H).

Xem đáp án

Ta có: y'=1x+22

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d đã cho và (H)

2x+m=2x+3x+2x+22x+m=2x+32x2+m4x+2m=2x+32x2+6mx+32m=0

d cắt (H) tại 2 điểm phân biệt  Phương trình (*) có 2  nghiệm phân biệt khác −2

Δ=(6m)28(32m)>02.(2)2+(6m).(2)+32m0m2+4m+12>010 (luôn đúng)

Gọi hoành độ giao điểm hai điểm A,B lần lượt là x1,x2 khi đó: x1+x2=m62x1x2=32m2

Ta có:

k1.k2=1x1+22.1x2+22=1x1+2x2+22

=1x1x2+2x1+x2+42=132m2+2.m62+42

=132m+2m12+822=4

Khi đó P=k12018+k220182k1k21009=2.41009=22019

Dấu “=” xảy ra khi k1=k2=2 hay hai tiếp tuyến tại hai giao điểm song song.

Điều này chỉ xảy ra khi hai giao điểm này đối xứng với nhau qua tâm đối xứng I của đồ thị (H) hay dd đi qua I(−2;2) là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Id2=2.2+mm=2

Đáp án cần chọn là: B


Câu 16:

Cho hàm số Cm:y=x3+mx29x9m. Tìm mm để (Cm) tiếp xúc với Ox:

Xem đáp án

Để đồ thị hàm số (Cm) tiếp xúc với trục Ox thì phương trình hoành độ giao điểm phải có hai nghiệm phân biệt.

 

Ta có: y=0x3+mx29x9m=0(1)

x+mx29=0
x=mx=±3

Để (1) có 2 nghiệm phân biệt m=±3.

Media VietJack

Đáp án cần chọn là: A


Câu 17:

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x3(m1)x2+(m1)x+5 đều có hệ số góc dương. Số phần tử của tập S là:

Xem đáp án

Gọi Mx0;y0  thuộc đồ thị hàm số.

Ta có y'=3x22m1x+m1

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M là

k=y'x0=3x022m1x0+m1

Theo bài ra ta có:

k>0x

3x022(m1)x0+m1>0x

3>0(luon  dung)Δ'=(m1)23(m1)<0x

m22m+13m+3<0

m25m+4<0

1<m<4

Mà mS=2;3

Vậy tập hợp S có 2 phần tử.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 18:

Cho hàm số y=2x2x2 có đồ thị là(C), Mlà điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại Mcắt hai đường tiệm cận của (C) tại hai điểm AB thỏa mãn AB=25. Gọi S là tổng các hoành độ của tất cả các điểm Mthỏa mãn bài toán. Tìm giá trị của S.

Xem đáp án

TXĐ:D=2 Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là x = 2 và y = 2

Ta có y'=2x22. Gọi Mm;2m2m2 thuộc đồ thị hàm số.

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M:y=2m22xm+2m2m2

Cho x=2y=2m222m+2m2m2

y=2m2+2m2m2=2mm2

 Giao điểm của d và đường thẳng x = 2 là A2;2mm2

Cho y=22m22xm+2m2m2=2

2xm+2m2m2=2m222x+2m+2m26m+4=2m28m+82x=4m4x=2m2

 Giao điểm của d và đường thẳng y=2 là B2m2;2

Ta có: AB=252m42+22mm22=20

4(m2)2+16(m2)2=20

(m2)45(m2)2+4=0

(m2)2=1(m2)2=4m=3m=1m=4m=0

Vậy S=3+1+4+0=8
Đáp án cần chọn là: C


Câu 19:

Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số y=x42m2x2+m4+3  có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp.

Xem đáp án

y'=4x34m2x;y'=0x=0x=±m

Để hàm số có 3 cực trị thì phương trình y'=0 có 3 nghiệm, hay m0

Không mất tính tổng quát giả sử 3 điểm cực trị có tọa độ A0;  m4+3;Bm;3;Cm;3

Ta có ACm;m4;  OCm;3

Tứ giác OBAC có AB=ACOB=OC

Suy ra OA là đường trung trực của BC.

Để tứ giác OBAC nội tiếp đường tròn thì điểm BC phải nhìn cạnh OA dưới góc 900.

Khi đó AC.OC=0m23m4=0m=0:Lm=±13:T/m

Đáp án cần chọn là: C


Câu 20:

Cho hàm số y=x42mx2+m, có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Tìm m để tiếp tuyến Δ với đồ thị (C) tại A cắt đường tròn γ:x2+y12=4 tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất

Xem đáp án

Đường tròn γ:x2+y12=4có tâm I0;1,R=2

Ta có A1;1m;y'=4x34mxy'1=44m

Suy ra phương trình Δ:y=44mx1+1m

Dễ thấy Δ luôn đi qua điểm cố định F34;0 và điểm F nằm trong đường tròn γ

Media VietJack

Giả sử Δ cắt γ tại MN. Thế thì ta có:

MN=2R2d2I; Δ=24d2I; Δ

Do đó MN nhỏ nhất dI; Δ lớn nhất dI; Δ=IFΔIF

Khi đó đường Δ có 1 vectơ chỉ phươnguIF=34;1;u=1;  44m nên ta có: u.IF=01.3444m=0m=1316

Đáp án cần chọn là: C


Câu 21:

Cho hàm số y=16x473x2 có đồ thị hàm số (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt Mx1;y1,Nx2;y2  M,NA thỏa mãn y1y2=4(x1x2)? 

Xem đáp án

Gọi Ax0;y0C.

Khi đó tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt

Mx1;y1,Nx2;y2  M,NA có hệ số góc là: k=y1y2x1x2=4.

Mặt khác:

k=f'(x0)4=23x3143xx037x06=0

x0=2x0=1x0=3

Kiểm tra lại từng trường hợp x0=2;1;3 ta thấy trường hợp x0=3  thì tiếp tuyến chỉ có duy nhất 1 điểm chung với đồ thị nên loại.

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D


Bắt đầu thi ngay