Một con lắc đơn dao động với phương trình $s=2\cos \left(2\mathrm{\pi t}\right)$ (cm) (t tính bằng giây). Tần số dao động của con lắc là

I. Thế nào là con lắc đơn

Con lắc đơn gồm một vật nhỏ khối lượng m treo ở đầu sợi dây không dãn, khối lượng không đáng kể, chiều dài $\mathcal{l}$, đầu còn lại của sợi dây được giữ cố định. Trong trường trọng lực của Trái Đất, khi con lắc đơn đứng cân bằng ở vị trí thấp nhất thì dây treo nằm trên phương thẳng đứng.

II. Khảo sát dao động của con lắc đơn về mặt động lực học

- Kích thích cho con lắc đơn dao động quanh VTCB với góc lệch cực đại của dây treo khỏi phương thẳng đứng là ${\alpha }_0$ khi đó góc lệch $\alpha$ của dây treo thỏa mãn: $-{\alpha }_0<\alpha <{\alpha }_0$

- Ở một li độ góc bất kì, vật có li độ dài liên hệ với li độ góc bởi biểu thức: $s=\alpha .\mathcal{l}$

- Trong khi dao động vật chịu tác dụng của trọng lực $\overrightarrow{P}$ và lực căng $\overrightarrow{T}$ như hình vẽ.

- Lực thành phần $\overrightarrow{P_t}$ là lực kéo về và có giá trị đại số như sau:

P_t = - m.g.sin$\alpha$ (công thức này cho dao động của con lắc nói chung)

- Nếu dao động của con lắc đơn với biên độ góc nhỏ $\left({\alpha }_0<{10}^o\right)$ thì

$P_t=-mg\alpha =-mg\frac{S}{\mathcal{l}}$

Khi đó, con lắc đơn dao động điều hòa với tần số góc:

$\omega =\sqrt{\frac{g}{\mathcal{l}}}$

Chu kì và tần số tương ứng:

$T=2\pi \sqrt{\frac{\mathcal{l}}{g}};f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{\mathcal{l}}}$

- Con lắc đơn dao động điều hòa với phương trình:

Li độ dài: $s=s_0\cos \left(\omega t+\phi \right)$

Li độ góc: $\alpha ={\alpha }_0\cos \left(\omega t+\phi \right)$

Hệ thức độc lập: $s_0^2=s^2+\frac{v^2}{{\omega }^2}$ hay ${\alpha }_0^2={\alpha }^2+\frac{v^2}{\mathcal{l}.g}$

III. Khảo sát dao động của con lắc đơn về mặt năng lượng

1. Động năng của con lắc đơn là động năng của vật (coi là chất điểm):

$W_d=\frac{1}{2}m{v}^2$

2. Thế năng của con lắc đơn là thế năng trọng trường của vật:

$W_t=mg\mathcal{l}\left(1-\cos \alpha \right)$

3. Cơ năng: $W=\frac{1}{2}m{v}^2+mg\mathcal{l}\left(1-\cos \alpha \right)=$hằng số

IV. Ứng dụng: xác định gia tốc rơi tự do

Trong lĩnh vực địa chất, các nhà địa chất quan tâm tới những tính chất đặc biệt của lớp bề mặt Trái Đất và phải đo gia tốc trọng trường ở một nơi nào đó. Bằng cách, dùng con lắc đơn có chiều dài $\mathcal{l}$ tính đến tâm của quả cầu. Đo thời gian của một số dao động toàn phần, từ đó tính được chu kì T. Sau đó tính g theo công thức $g=\frac{4{\pi }^2\mathcal{l}}{T^2}$. Lặp lại thí nghiệm nhiều lần, mỗi lần rút ngắn chiều dài con lắc đi một đoạn. Lấy giá trị trung bình g ở các lần đo ta được gia tốc rơi tự do ở nơi đó.