31 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tìm số hạng đầu tiên, công sai của cấp số cộng, tìm số hạng thứ k của cấp số cộng, tính tổng k số hạng đầu tiên.

Câu 1:

Số hạng đầu

$u_{1}$ và công sai d của cấp số cộng

$(u_{n})$ có

$u_{2} = 7; u_{3} = 4$ là

A. $u_{1} = 1; d = 3.$

B. $u_{1} = 10; d = - 3.$

C. $u_{1} = 4; d = - 3.$

D. $u_{1} = - 4; d = - 3.$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $u_{2} = 7; u_{3} = 4$ suy ra d=-3 từ đó $u_{1} = 7 - (- 3) = 10.$

Câu 2:

Cho cấp số cộng

$(u_{n})$ với số hạng đầu là

$u_{1} = 15$ và công sai d=-2. Số hạng thứ 8 của cấp số cộng là

A. $u_{8} = 1.$

B. $u_{8} = - 1.$

C. $u_{8} = 103.$

D. $u_{8} = 64 .$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d \Rightarrow u_{8} = u_{1} + 7 d = 15 + 7. (- 2) = 1.$

Câu 3:

Cho cấp số cộng

$(u_{n})$ có

$u_{1} = - 1; d = 2; S_{n} = 483.$ Giá trị của n là

A. n = 20

B. n = 21

C. n = 22

D. n = 23

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $S_{n} = \frac{n [2 u_{1} + (n - 1) d]}{2} \Leftrightarrow 2.483 = n . (2. - 1 + (n - 1) .2) \Leftrightarrow n^{2} - 2 n - 483 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 23 \\ n = - 21 \end{array} .$

Do $n \in ℕ^{*}$ nên n=23

Câu 4:

Cho cấp số cộng

$(u_{n})$ xác định bởi

$\{\begin{cases} u_{1} = - 2 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 3 \end{cases} .$ Số 70 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?

A. 15

B. 23

C. 25

D. 205

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\{\begin{cases} u_{1} = - 2 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 3 \end{cases} \Rightarrow u_{1} = - 2; d = 3.$ Suy ra $u_{n} = - 2 + 3 (n - 1) = 3 n - 5.$

Từ đó 70=3n-5=>n=25

Câu 5:

Cho một cấp số cộng

$(u_{n})$ có

$u_{1} = 5$ và tổng của 50 số hạng đầu bằng 5150. Công thức của số hạng tổng quát

$(u_{n})$ là

A. $u_{n} = 1 + 4 n .$

B. $u_{n} = 5 n .$

C. $u_{n} = 3 + 2 n .$

D. $u_{n} = 2 + 3 n .$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $S_{50} = \frac{50}{2} (2 u_{1} + 49 d) = 5150 \Rightarrow d = 4.$

Số hạng tổng quát của cấp số cộng bằng $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d = 1 + 4 n .$

Câu 6:

Cho cấp số cộng

$(u_{n})$ có

$u_{n} = 2 n + 3.$ Biết

$S_{n} = 320,$ giá trị của n là

A. n = 16 hoặc n = -20

B. n = 15

C. n = 20

D. n = 16

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $u_{1} = 5$ . suy ra $S_{n} = \frac{n (5 + 2 n + 3)}{2} = n^{2} + 4 n .$

Câu 7:

Cho dãy số

$(u_{n})$ biết

$u_{n} = 2 n - 5.$ Chọn khẳng định đúng

A. $(u_{n})$ là một cấp số cộng với công sai d=2

B. $(u_{n})$ là một cấp số cộng với công sai d=-2

C.

$(u_{n})$ là một cấp số cộng với công sai d=5

D.

$(u_{n})$ là một cấp số cộng với công sai d=-5

Xem đáp án

Đáp án A

$u_{n} = 2 n - 5 \Rightarrow \{\begin{cases} u_{1} = - 3 \\ u_{2} = - 1 \end{cases} \Rightarrow d = u_{2} - u_{1} = 2.$

Câu 8:

Cho cấp số cộng

$(u_{n})$ biết

$u_{1} = 7$ và d=4. Lựa chọn kết quả đúng trong các kết quả sau

A. $u_{15} - u_{3} = 46.$

B. $u_{29} - u_{22} = 28.$

C. $u_{17} - u_{13} = 18.$

D. $u_{1000} - u_{100} = 350.$

Xem đáp án

Đáp án B

$u_{15} - u_{3} = u_{1} + 14 d - (u_{1} + 2 d) = 12 d = 48 \neq 6$ loại A;

$u_{29} - u_{22} = u_{1} + 28 d - (u_{1} + 21 d) = 7 d = 28$ chọn B;

$u_{17} - u_{13} = u_{1} + 16 d - (u_{1} + 12 d) = 4 d = 16 \neq 18$ loại C;

$u_{1000} - u_{100} = 900 d \neq 350$ loại D.

Câu 9:

Cho dãy số

$(u_{n})$ là một cấp số cộng có công sai d=3. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. Dãy số $u_{10}; u_{20}; u_{30}; ...; u_{10 n}, \forall n \geq 1$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai là 10.

B. Dãy số $u_{10}; u_{20}; u_{30}; ...; u_{10 n}, \forall n \geq 1$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai là 20.

C. Dãy số $u_{10}; u_{20}; u_{30}; ...; u_{10 n}, \forall n \geq 1$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai là 30.

D. Dãy số

$u_{10}; u_{20}; u_{30}; ...; u_{10 n}, \forall n \geq 1$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai là 15.

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi $(a_{n})$ là cấp số cộng theo thứ tự $u_{10}; u_{20}; u_{30}; ...; u_{10 n}, \forall n \geq 1,$ lúc đó ta có

$\{\begin{cases} a_{1} = u_{10} = u_{1} + 9 d \\ a_{2} = u_{20} = u_{1} + 19 d \end{cases} \Rightarrow d' = a_{2} - a_{1} = 10 d = 30.$

Câu 10:

Cho cấp số cộng

$(u_{n})$ có công sai d. Gọi

$S_{n}$ là tổng của n số hạng đầu tiên. Hãy chỉ ra hệ thức sai trong các hệ thức sau.

A. $u_{3} + u_{8} = u_{5} + u_{6} .$

B. $u_{5} + u_{9} = 2 u_{7} .$

C. $u_{4} . u_{9} = u_{6}^{2} .$

D. $S_{3} + S_{5} = 2 S_{4} + d .$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có

$u_{4} . u_{9} = (u_{1} + 3 d) (u_{1} + 8 d) = u_{1}^{2} = 24 d^{2} + 11 u_{1} d . u_{6}^{2} = {(u_{1} + 5 d)}^{2} = u_{1}^{2} + 25 d^{2} + 10 u_{1} d .$

Suy ra $u_{4} . u_{9} \neq u_{6}^{2} .$

Câu 11:

Cho cấp số cộng

$(u_{n})$ , biết

$\{\begin{cases} u_{1} + 2 u_{5} = 0 \\ S_{4} = 14 \end{cases}$ . Số hạng đầu

$u_{1}$ và công sai d là

A. $u_{1} = 8; d = - 3.$

B. $u_{1} = 8; d = 2.$

C. $u_{1} = - 8; d = - 3.$

D. $u_{1} = - 8; d = 2.$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

$\{\begin{cases} u_{1} + 2 u_{5} = 0 \\ S_{4} = 14 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} + 2 (u_{1} + 4 d) = 0 \\ 2 (2 u_{1} + 3 d) = 14 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 u_{1} + 8 d = 0 \\ 2 u_{1} + 3 d = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = 8 \\ d = - 3 \end{cases} .$

Câu 12:

Số hạng đầu

$u_{1}$ và công sai d của cấp số cộng

$(u_{n})$ có

$\{\begin{cases} u_{1} + u_{5} - u_{3} = 10 \\ u_{1} + u_{6} = 7 \end{cases}$ là

A. $u_{1} = 8; d = - 3.$

B. $u_{1} = 8; d = 2.$

C. $u_{1} = - 8; d = - 3.$

D. $u_{1} = - 8; d = 2.$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

$\{\begin{cases} u_{1} + u_{5} - u_{3} = 10 \\ u_{1} + u_{6} = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} + (u_{1} + 4 d) - (u_{1} + 2 d) = 10 \\ u_{1} + (u_{1} + 5 d) = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} + 2 d = 10 \\ 2 u_{1} + 5 d = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = 36 \\ d = - 13 \end{cases} .$

Câu 13:

Cấp số cộng

$(u_{n})$ có

$S_{6} = 18, S_{10} = 110$ thì tổng 20 số hạng đầu tiên là

A. 620

B. 280

C. 360

D. 153

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\{\begin{cases} S_{6} = 18 \\ S_{10} = 110 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 (2 u_{1} + 5 d) = 18 \\ 5 (2 u_{1} + 9 d) = 110 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 u_{1} + 5 d = 6 \\ 2 u_{1} + 9 d = 22 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = - 7 \\ d = 4 \end{cases} .$

Từ đó mà

$S_{20} = 10 (2 u_{1} + 19 d) = 10 (2. (- 7) + 19.4) = 620.$

Câu 14:

Cho cấp số cộng

$u_{n} = 5 n - 2.$ Biết

$S_{n} = 16040,$ số số hạng của cấp số cộng là

A. 79

B. 3024

C. 80

D. 100

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có cấp số cộng: $u_{n} = 5 n - 2 nên u_{1} = 3, u_{2} = 8,... \Rightarrow d = 5.$

$\begin{array}{l} S_{n} = 16040 \Leftrightarrow \frac{n}{2} [2 u_{1} + (n - 1) d] = 16040 \Leftrightarrow \frac{n}{2} [2.3 + (n - 1) .5] = 16040 \\ \Leftrightarrow 5 n^{2} + n - 32080 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 80 \\ n = - \frac{401}{5} (loai) \end{array} \Rightarrow n = 80. \end{array}$

Câu 15:

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. Nếu 3 số a, b, c khác 0 lập thành cấp số cộng thì

A. nghịch đảo của chúng cũng lập thành một cấp số cộng.

B. bình phương của chúng cũng lập thành cấp số cộng.

C. c, b, a theo thứ tự đó cũng lập thành cấp số cộng.

D. Tất cả các khẳng định trên đều sai.

Xem đáp án

Đáp án C

Không mất tổng quát giả sử $a < b < c \Rightarrow c - b = b - a = d$ với d là công sai.

Khi đó $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{a} - \frac{1}{a + d} = \frac{d}{a (a + d)} \neq \frac{1}{b} - \frac{1}{c} = \frac{d}{(a + d) (a + 2 d)}$ nên loại A.

$(b^{2} - a^{2} = 2 a d + d^{2}) \neq (c^{2} - b^{2} = 2 a d + 3 d^{2})$ nên loại B.

Nếu a,b,c lập thành cấp số cộng với công sai d thì c,b,a cũng lập thành cấp số cộng với công sai –d.

Câu 16:

Cho cấp số cộng có

$S_{10} = - 85, S_{15} = - 240,$ khi đó

$S_{20}$ bằng

A. -325

B. -170

C. -395

D. -470

Xem đáp án

Đáp án C

$\{\begin{cases} S_{10} = S_{1} + 9 d = - 85 \\ S_{15} = S_{1} + 14 d = - 240 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} S_{1} = 194 \\ d = - 31 \end{cases} \Rightarrow S_{20} = S_{1} + 19 d = - 395.$

Câu 17:

Tổng tất cả các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 555 là

A. 77145

B. 77284

C. 76450

D. 77006

Xem đáp án

Đáp án D

Theo giả thiết $2 + 4 + ... + 552 + 554 = \frac{278.554}{2} = 77006.$

Câu 18:

Cho cấp số cộng có

$u_{1} = \frac{1}{4}, d = - \frac{1}{4} .$ Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?

A. $S_{5} = \frac{5}{4} .$

B. $S_{5} = \frac{4}{5} .$

C. $S_{5} = - \frac{5}{4} .$

D. $S_{5} = - \frac{4}{5} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Theo giả thiết

$S_{5} = 5 u_{1} + 10 d = 5. \frac{1}{4} + 10. (- \frac{1}{4}) = - \frac{5}{4} .$

Câu 19:

Cho cấp số cộng

$(u_{n})$ với

$u_{1} = 2, d = - 3.$ Kết quả nào sau đây đúng?

A. $u_{3} = - 1.$

B. $u_{3} = - 7 .$

C. $u_{4} = - 7.$

D. $u_{6} = 0.$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có

$u_{4} = u_{1} + 3 d = 2 + 3. (- 3) = - 7, u_{6} = u_{1} + 5 d = 2 + 5. (- 3) = - 13.$

Câu 20:

Cho cấp số cộng có

$u_{2} + u_{22} = 60.$ Tổng của 23 số hạng đầu là

A. 690

B. 680

C. 600

D. 500

Xem đáp án

Đáp án A

$u_{2} + u_{22} = 60 \Leftrightarrow 2 u_{1} + 22 d = 60 \Rightarrow S_{23} = \frac{23}{2} (2 u_{1} + 22 d) = \frac{23.60}{2} = 690.$

Câu 21:

Công sai d của một cấp số cộng hữu hạn có số hạng đầu

$u_{1} = 10$ và số hạng cuối

$u_{21} = 50$ là

A. d = 4

B. d = -2

C. d = 2

D. d = -4

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\{\begin{cases} u_{1} = 10 \\ u_{21} = 50 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = 10 \\ u_{1} + 20 d = 50 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = 10 \\ d = 2. \end{cases}$

Câu 22:

Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng có

$u_{1} = 8, u_{10} = 62$ là

A. $S_{10} = 175.$

B. $S_{10} = 350 .$

C. $S_{10} = 700 .$

D. $S_{10} = 1400 .$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $S_{10} = 5 (2 u_{1} + 9 d) = 5 (2.8 + 9.6) = 350.$

Câu 23:

Cho cấp số cộng có

$u_{1} = - 1, d = 2, S_{n} = 483.$ Số các số hạng của cấp số cộng đó là

A. n = 20

B. n = 21

C. n = 22

D. n = 23

Xem đáp án

Đáp án D

$\begin{array}{l} S_{n} = 483 \Leftrightarrow \frac{n}{2} (2 u_{1} + (n - 1) d) = 483 \Leftrightarrow \frac{n}{2} [2. (- 1) + (n - 1) .2] = 483 \\ \Leftrightarrow n^{2} - 2 n - 483 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 23 \\ n = - 21 (l o a i) \end{array} \Rightarrow n = 23. \end{array}$

Câu 24:

Cho cấp số cộng có tổng 4 số hạng bằng 22, tổng bình phương của chúng bằng 166. Bốn số hạng của cấp số cộng này là

A. 1; 4; 7; 10

B. 1; 4; 5; 10

C. 2; 3; 5; 10

D. 2; 3; 4; 5

Xem đáp án

Đáp án A

$\{\begin{cases} u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} = 22 \\ u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2} + u_{4}^{2} = 166 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 u_{1} + 6 d = 22 \\ 4 u_{1}^{2} + 12 u_{1} d + 14 d^{2} = 166 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ d = 3 \end{cases} hoặc \{\begin{cases} u_{1} = 10 \\ d = - 3 \end{cases} .$

Câu 25:

Cho cấp số cộng

$(u_{n})$ thỏa mãn

$\{\begin{cases} u_{2} + u_{5} = 42 \\ u_{3} + u_{10} = 66 \end{cases} .$ Tổng của 346 số hạng đầu là

A. 242546

B. 242000

C. 241000

D. 240000

Xem đáp án

Đáp án A

$\{\begin{cases} u_{2} + u_{5} = 42 \\ u_{3} + u_{10} = 66 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 u_{1} + 5 d = 42 \\ 2 u_{1} + 11 d = 66 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = 11 \\ d = 4 \end{cases} \Rightarrow S_{346} = \frac{346}{2} (2.11 + 345.4) = 242546.$

Câu 26:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{5} = 18 và 4 S_{n} = S_{2 n} .$ Số hạng đầu tiên $u_{1}$ và công sai d của cấp số cộng là

A. $u_{1} = 2; d = 4.$

B. $u_{1} = 2; d = 3.$

C. $u_{1} = 2; d = 2 .$

D. $u_{1} = 3; d = 2 .$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

$u_{5} = 18 \Leftrightarrow u_{1} + 4 d = 18 (1) . \begin{array}{l} 4 S_{n} = S_{2 n} \Leftrightarrow 4 [n u_{1} + \frac{n (n - 1) d}{2}] = [2 n u_{1} + \frac{2 n (2 n - 1) d}{2}] \\ \Leftrightarrow 4 u_{1} + 2 n d - 2 d = 2 u_{1} + 2 n d - d \Leftrightarrow 2 u_{1} - d = 0 (2) . \end{array}$