Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0;1;1),B(3;0;−1),C(0;21;−19) và mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1\]. Điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho tổng \[3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2}\;\] đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó, độ dài vectơ \[\overrightarrow {OM} \;\] là
A.\[\sqrt {110} \]
B. \[3\sqrt {10} \]
C. \[\frac{{3\sqrt {10} }}{5}\]
D. \[\frac{{\sqrt {110} }}{5}\]
Giải bởi Vietjack
+) Mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1\]có tâm J(1;1;1), bán kính R=1.
+) Tìm I: \[3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \vec 0 \Leftrightarrow 6\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = - \frac{{2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{6}\]
\[A\left( {0;1;1} \right),B\left( {3;0; - 1} \right),C\left( {0;21; - 19} \right)\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {IA} \left( { - {x_I};1 - {y_I};1 - {z_I}} \right),\overrightarrow {AB} \left( {3; - 1; - 2} \right),\overrightarrow {AC} \left( {0;20; - 20} \right)\]
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {x_I} = - \frac{{2.3 + 0}}{6}}\\{1 - {y_I} = - \frac{{2.( - 1) + 20}}{6}}\\{1 - {z_I} = - \frac{{2.( - 2) + ( - 20)}}{6}}\end{array}} \right. \Rightarrow I(1;4; - 3)\)
+) Ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2}}\\{ = 3{{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)}^2} + 2{{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)}^2} + {{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)}^2}}\\{ = 6M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2}}\\{ + 2.\overrightarrow {MI} .\left( {3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right)}\\{ = 6M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2} + 2.\overrightarrow {MI} .\vec 0}\\{ = 6M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2}}\end{array}\]
Để tổng trên là nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất ⇒M là giao điểm của đoạn thẳng IJ và mặt cầu (S).
\[\overrightarrow {JI} = \left( {0;3; - 4} \right)\]=> Tọa độ điểm M thuộc đoạn IJ có dạng\[\left( {1;1 + 3t;1 - 4t} \right),t \in \left[ {0;1} \right]\]
Mặt khác\[M \in \left( S \right) \Rightarrow {\left( {1 - 1} \right)^2} + {\left( {1 - \left( {1 + 3t} \right)} \right)^2} + {\left( {1 - \left( {1 - 4t} \right)} \right)^2} = 1\]
\[ \Leftrightarrow {t^2} = \frac{1}{{25}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{1}{5}}\\{t = - \frac{1}{5}\left( L \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow t = \frac{1}{5} \Rightarrow M\left( {1;\frac{8}{5};\frac{1}{5}} \right) \Rightarrow OM = \frac{{3\sqrt {10} }}{5}\]
Đáp án cần chọn là: C
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(3;4;−2). Lập phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oz.
Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu có điểm chung với trục Oz là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình
\[{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 50\]. Trong số các đường thẳng sau, mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng nào.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Hãy viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\].
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;−2;3) và đường thẳng d có phương trình \[\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\]. Tính đường kính của mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\;\] là:
Trong không gian Oxyz, cho điểm S(−2;1;−2) nằm trên mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\]. Từ điểm S kẻ ba dây cung SA,SB,SC với mặt cầu (S) có độ dài bằng nhau và đôi một tạo với nhau góc 600. Dây cung AB có độ dài bằng:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[(S):{x^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = {R^2}\]. Điều kiện của bán kính R để trục Ox tiếp xúc với (S) là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình x=y=z. Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu không có hai điểm chung phân biệt với Δ là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\] là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\], điểm A(2;−1;1). Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên d. Viết phương trình mặt cầu (C) có tâm I và đi qua A.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \[d:\frac{x}{2} = \frac{{z - 3}}{1} = \frac{{y - 2}}{1}\;\] và hai mặt phẳng \[(P):x--2y + 2z = 0.(Q):x--2y + 3z - 5 = 0\]. Mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S). Viết phương trình của mặt cầu (S).
Trong không gian Oxyz, cho điểm E(2;1;3), mặt phẳng \[(P):2x + 2y - z - 3 = 0\]và mặt cầu \[(S):{(x - 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 5)^2} = 36\]. Gọi \[\Delta \] là đường thẳng đi qua E, nằm trong (P) và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của \[\Delta \] là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x−y−2z+1=0 và ba điểmA(1;−2;0), B(1;0;−1) và C(0;0;−2). Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) và tiếp xúc với ba đường thẳng AB,AC,BC?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = t}\\{z = t}\end{array}} \right.\)và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t'}\\{y = 3 - t'}\\{z = 0}\end{array}} \right.\). Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′ là:
