Phương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Điều kiện: x > - 3
Do nên để phương trình có nghiệm thì x > 0
Lấy logarit cơ số 2 của hai vế phương trình, ta được
Đặt
Chia hai vế phương trình cho , ta được
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 1 (hàm hằng) và đồ thị hàm số (hàm số này nghịch biến vì nó là tổng của hai hàm số nghịch biến)
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất. Nhận thấy t = 1 thỏa mãn phương trình
Với (tm)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Đáp án cần chọn là: A.
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong đoạn để phương trình có nghiệm duy nhất?
Cho . Khi đó biểu thức với tối giản và . Tích a.b có giá trị bằng:
Cho phương trình . Biết phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn . Giá trị của bằng:
Cho phương trình với m là tham số. Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt là:
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng:
Cho a, b, c là các số thực dương khác 1 thỏa mãn . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Giá trị của biểu thức S=m-3M bằng:
Cho các số thực a, b, c thuộc khoảng và thỏa mãn . Giá trị của biểu thức bằng:
Cho và . Có bao nhiêu cặp số (x,y) nguyên thỏa mãn các điều kiện trên?
I. Phương trình mũ
1. Phương trình mũ cơ bản
– Phương trình mũ cơ bản có dạng: ax = b (a > 0; a ≠ 1).
Để giải phương trình trên, ta sử dụng định nghĩa logarit.
Với b > 0 ta có: ax = b x = logab.
Với b ≤ 0, phương trình vô nghiệm.
– Minh họa bằng đồ thị
Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = ax và y = b là nghiệm của phương trình ax = b.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị.
Rõ ràng, nếu b ≤ 0 thì hai đồ thị không cắt nhau nên phương trình vô nghiệm.
Nếu b > 0 ta có hai đồ thị như hình dưới đây. Trên mỗi hình, hai đồ thị luôn cắt nhau tại một điểm nên phương trình có nghiệm duy nhất.
Kết luận:
– Ví dụ 1. Giải phương trình 2x + 1 + 2x + 2 = 16.
Lời giải:
Ta có: 2x + 1 + 2x + 2 = 16.
2.2x + 4.2x = 16
Vậy .
2. Cách giải một số phương trình mũ cơ bản
a) Đưa về cùng cơ số.
– Ví dụ 2. Giải phương trình
Lời giải:
Ta có:
x + 2 = 2x – 6
Vậy x = 8.
b) Đặt ẩn phụ
– Ví dụ 3. Giải phương trình 4x – 5. 2x + 6 = 0
Lời giải:
Đặt t = 2x (với t > 0)
Phương trình đã cho trở thành: t2 – 5t + 6 = 0
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 và x = log23.
c) Logarit hóa.
– Ví dụ 4. Giải phương trình:
Lời giải:
Lấy logarit cơ số 3 hai vế ta được:
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0 và x = – log53.
II. Phương trình logarit
– Phương trình logarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu logarit.
– Ví dụ 5. Các phương trình … đều là phương trình logarit.
1. Phương trình logarit cơ bản
– Phương trình logarit cơ bản có dạng: logax = b (a > 0; a ≠ 1).
Theo định nghĩa logarit ta có:
logax = b x = ab
– Minh họa bằng đồ thị
Vẽ đồ thị hàm số y = loga x và đường thẳng b trên cùng một hệ tọa độ.
Trong cả hai trường hợp, ta đều thấy đồ thị của các hàm số y = logax và đường thẳng y = b luôn cắt nhau tại một điểm với mọi b.
Kết luận: Phương trình logax = b (a > 0; a ≠ 1) luôn có nghiệm duy nhất x = ab với mọi b.
2. Cách giải một số phương trình logarit đơn giản.
a) Đưa về cùng cơ số
Ví dụ 6. Giải phương trình log3x + log9x = 6.
Lời giải:
Ta có: log3x + log9x = 6
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 81.
b) Đặt ẩn phụ
– Ví dụ 7. Giải phương trình
Lời giải:
Đặt t =log5x, phương trình đã cho trở thành:
t2 + 3t = 0 nên t = 0 hoặc t = –3.
Với t = 0 thì log5x = 0 nên x = 1.
Với t = –3 thì log5x = –3 nên x = 5–3.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 và x = 5–3.
c) Mũ hóa
– Ví dụ 8. Giải phương trình: log3(90 – 3x) = x + 2
Lời giải:
Điều kiện của phương trình là 90 – 3x > 0.
Phương trình đã cho tương đương với:
90 – 3x = 3x + 2 hay 90 – 3x = 9.3x
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.