Cho dãy số xác định bởi :
Công thức của theo n là:
A.
B.
C.
D.
u1 = 1
u2 = 1 + 12
u3 = 1 + 12 + 22
u4 = 1 + 12 + 22 + 32
...
Đáp án A
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho x≠0 và x +1/x là một số nguyên. Khi đó với mọi số nguyên dương n, có kết luận gì về
Mạnh cầm một tờ giấy và lấy kéo cắt thành 7 mảnh sau đó nhặt một trong số bảy mảnh giấy đã cắt và lại cắt thành 7 mảnh. Mạnh cứ tiếp tục cắt như vậy. Sau một hồi, Mạnh thu lại và đếm tất cả các mảnh giấy đã cắt. Hỏi kết quả nào sau đây có thể xảy ra?
Hãy xem trong lời giải của bài toán sau đây có bước nào bị sai?
Bài toán: chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, mệnh đề sau đây đúng:
A(n) : “nếu a và b là những số nguyên dương mà max{a,b} = n thì a = b”
Chứng minh :
Bước 1: A(1):”nếu a,b là những số nguyên dương mà max{a,b} = 1 thì a = b”
Mệnh đề A(1) đúng vì max{a,b} = 1 và a,b là những số nguyên dương thì a= b =1.
Bước 2: giả sử A(k) là mệnh đề đúng vơi k≥1
Bước 3: xét max{a,b} = k+1 ⇒max{a-1,b-1} = k+ 1-1 = k
Do a(k) là mệnh đề đúng nên a- 1= b-1 ⇒ a= b⇒ A(k+1) đúng.
Vậy A(n) đúng với mọi n ∈N*
Cho các dãy số lần lượt xác định bởi:
Trong các dãy số trên có bao nhiêu dãy bị chặn dưới
Xét dãy
với n là các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 100, số α dương nhỏ nhất thoả mãn là
I. Định nghĩa.
1. Định nghĩa dãy số.
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:
Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển: u1, u2, u3,…,un,..,
Trong đó, un = u(n) hoặc viết tắt là (un), và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.
- Ví dụ 1:
a) Dãy các số tự nhiên chẵn: 2; 4; 6; 8; …có số hạng đầu u1 = 2, số hạng tổng quát là un = 2n.
b) Dãy các số tự nhiên chia hết cho 5 là 5; 10; 15; 20; … có số hạng đầu u1 = 5, số hạng tổng quát là un = 5n.
2. Định nghĩa dãy số hữu hạn.
- Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3,.., m} với được gọi là một dãy số hữu hạn.
- Dạng khai triển của nó là u1, u2, u3,…, um, trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối.
- Ví dụ 2.
a) 4, 7, 10, 13, 16, 19 là dãy số hữu hạn có u1 = 4; u6 = 19.
b) là dãy số hữu hạn có u1 = 4; u6 = .
II. Cách cho một dãy số.
1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát
- Ví dụ 3.
a) Cho dãy số (un) với un = n2. (1)
Từ công thức (1), ta có thể xác định được bất kì một số hạng nào của dãy số. Chẳng hạn, u10 = 102 = 100.
Nếu viết dãy số này dưới dạng khai triển ta được:
1, 4, 9, 16, 25, 36,…, n2,….
b) Dãy số (un) với có dạng khai triển là:
2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
Ví dụ 4. Số là số thập phân vô hạn không tuần hoàn
Nếu lập dãy số (un) với un là giá trị gần đúng thiếu của số với sai số tuyệt đối 10^-n thì:
u1 = 1,4 ; u2 = 1,41; u3 = 1,414; u4 = 1,4142,….
Đó là dãy số được cho bằng phương pháp mô tả, trong đó chỉ ra cách viết các số hạng liên tiếp của dãy.
3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
Cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:
a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu).
b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.
- Ví dụ 5. Dãy số (un) được xác định như sau:
.
Dãy số như trên là dãy số cho bằng phương pháp truy hồi.
III. Biểu diễn hình học của dãy số.
Vì dãy số là một hàm số trên nên ta có thể biểu diễn dãy số bằng đồ thị. Khi đó trong mặt phẳng tọa độ, dãy số được biểu diễn bằng các điểm có tọa độ (n ; un).
Ví dụ 6: Dãy số (un) với có biểu diễn hình học như sau:
IV. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
1. Dãy số tăng, dãy số giảm.
- Định nghĩa 1:
Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un +1 > un với mọi .
Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un +1 < un với mọi .
- Ví dụ 7. Dãy số (un) với un = 2 – 2n là dãy số giảm.
Thật vậy, với mọi xét hiệu un +1 – un. Ta có:
un +1 – un = 2 – 2(n + 1) – (2 – 2n) = – 2 < 0
Do un +1 – un < 0 nên un +1 < un với mọi
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
- Chú ý:
Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn dãy số (un) với un = (– 1)n tức là dãy: – 1, 1, – 1, 1, – 1, 1, – 1…không tăng cũng không giảm.
2. Dãy số bị chặn.
- Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho:
- Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho:
- Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m; M sao cho:
- Ví dụ 8. Dãy số (un) với bị chặn vì 0 < un ≤ 1.