Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R có đồ thị y=f’(x) cho như hình dưới đây. Đặt . Mệnh đề nào dưới đây đúng.
A.
B.
C.
D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của g (x) trên đoạn [-3;3]
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol và hai đường thẳng y=a, y=b (0<a<b) (hình vẽ). Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng y = a (phần tô đen); là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P), đường thẳng y = a và đường thẳng y = b (phần gạch chéo). Với điều kiện nào sau đây của a và b thì :
Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm. Người thết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng
Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m, chiều rộng chân đế 12m. Người ta căng sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số bằng
Sân trường THPT chuyên Hà Giang có một bồn hoa hình tròn có tâm O. Nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường Parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O. Hai đường Parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m (như hình vẽ). Phần diện tích dùng để trồng hoa, phần diện tích dùng để trồng cỏ (Diện tích được làm tròn đến hàng phần trăm). Biết kinh phí trồng hoa là , kinh phí trồng cỏ là . Hỏi cả trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn)
Một ô tô chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v(t)=7t (m/s). Đi được 5s người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc . Tính quãng đường của ô tô đi được lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn?
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R, f(0)=0 và với mọi . Giá trị của tích phân bằng:
Cho hàm số f (x) liên tục, không âm trên đoạn , thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f (x) trên đoạn
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và . Biết . Tính
Ông A có mảnh đất hình chữ nhật ABCD có . Ông muốn trồng hoa trên giải đất có giới hạn bởi hai đường trung bình MN và đường hình sin (như hình vẽ). Biết kinh phí trồng hoa là . Hỏi ông A cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên giải đất đó?
Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và đường thẳng x=-2, x=m, (-2<m<2). Tìm số giá trị của tham số m để
Cho f (x) là hàm liên tục trên đoạn [0;a] thỏa mãn và , trong đó b, c là hai số nguyên dương và là phân số tối giản. Khi đó b + c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?
Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh (1;1) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt thỏa mãn điều kiện
1. Nguyên hàm và tính chất
1.1 Nguyên hàm.
- Định nghĩa
Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi .
Ví dụ.
- Hàm số F(x) = sinx + 6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên khoảng vì F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với .
- Hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng
Vì với .
- Định lí 1.
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
- Định lí 2.
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.
Do đó là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.
Kí hiệu: .
- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.
Ví dụ.
a) Với ta có: ;
b) Với ta có: ;
c) Với ta có: .
1.2 Tính chất của nguyên hàm
- Tính chất 1.
Ví dụ.
- Tính chất 2.
(k là hằng số khác 0).
- Tính chất 3.
Ví dụ. Tìm nguyên hàm của hàm số trên khoảng
Lời giải:
Với ta có:
1.3 Sự tồn tại nguyên hàm
Định lí:
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Ví dụ.
a) Hàm số có nguyên hàm trên khoảng .
b) Hàm số y = có nguyên hàm trên khoảng
1.4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Ví dụ. Tính:
a)
b)
Lời giải:
a)
b)
- Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.
2. Phương pháp tính nguyên hàm.
2.1 Phương pháp đổi biến số
- Định lí 1.
Nếu và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:
Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:
Ví dụ. Tính
Lời giải:
Ta có: nên theo hệ quả ta có:
Chú ý:
Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x).
Ví dụ. Tính
Lời giải:
Đặt u = cosx. Suy ra: du = – sinx. dx
Khi đó, nguyên hàm đã cho trở thành:
Thay u = cosx vào kết quả ta được:
2.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
- Định lí 2.
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:
- Chú ý.
Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:
Đó là công thức nguyên hàm từng phần.
Ví dụ. Tính
a) ;
b) ;
c)
Lời giải:
a)
Đặt
Ta có:
b) ;
Đặt
Khi đó:
c)
Đặt
Khi đó:
3. Khái niệm tích phân
3.1 Diện tích hình thang cong
- Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được gọi là hình thang cong.
- Ta xét bài toán tìm diện tích hình thang cong bất kì:
Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x = a; x = b (a < b); trục hoành và đường cong y = f(x), trong đó f(x) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a; b].
Với mỗi , kí hiệu S(x) là diện tích của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với Ox lần lượt tại a và b.
Ta chứng minh được S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].
Giả sử F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) thì có một hằng số C sao cho S(x) = F(x) + C.
Vì S(a) = 0 nên F(a) + C = 0 hay C = – F(a).
Vậy S(x) = F(x) – F(a).
Thay x = b vào đẳng thức trên, ta có diện tích của hình thang cần tìm là:
S(b) = F(b) – F(a).
3.2 Định nghĩa tích phân
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].
Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu
Ta còn dùng kí hiệu