Thứ sáu, 01/11/2024
IMG-LOGO

Câu hỏi:

18/07/2024 318

Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường y=sinx, y=0, x=0, x=π. Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (D) quay xung quanh Ox bằng:

A. π1000

B. π2

Đáp án chính xác

C. π22

D. π21000 

 Xem lời giải  Xem lý thuyết

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Biết rằng excosxdx=acosx+bsinxex+C  a;bR. Tính tổng T=a+b

Xem đáp án » 12/03/2022 3,175

Câu 2:

Tính tích phân I=0πcos3xsinxdx?

Xem đáp án » 12/03/2022 750

Câu 3:

Cho y = f (x) là hàm số lẻ và liên tục trên [-a ;a]. Chọn kết luận đúng

Xem đáp án » 12/03/2022 476

Câu 4:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=2x24x6, trục hoành và hai đường thẳng x = - 2, x = - 4

Xem đáp án » 12/03/2022 403

Câu 5:

Khối tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=2xx2 và trục Ox có thể tích:

Xem đáp án » 12/03/2022 349

Câu 6:

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và 01f(2x)dx=8. Tính I=02x.f(x2)dx

Xem đáp án » 12/03/2022 330

Câu 7:

Cho 13fxdx=4. Tính 13x2fxdx

Xem đáp án » 12/03/2022 325

Câu 8:

Cho hàm số f (x) là hàm số chẵn và 30fxdx=a. Tính I=03fxdx

Xem đáp án » 12/03/2022 324

Câu 9:

Tính tích phân I=01x.exdx

Xem đáp án » 12/03/2022 309

Câu 10:

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x2+1,x=0 và tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x2+1 tại điểm A (1; 2) quanh trục Ox là:

Xem đáp án » 12/03/2022 303

Câu 11:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x2 và đường thẳng y = 2x là:

Xem đáp án » 12/03/2022 295

Câu 12:

Cho 0bexex+3dx=2 với b thuộc K. Khi đó K có thể là khoảng nào trong các khoảng sau?

Xem đáp án » 12/03/2022 269

Câu 13:

Cho hàm số y = f (x) là hàm số chẵn trên R và a là một số thực dương.

Chọn kết luận đúng:

Xem đáp án » 12/03/2022 267

Câu 14:

Tính tích phân I=02x1+xdx?

Xem đáp án » 12/03/2022 259

LÝ THUYẾT

1. Nguyên hàm và tính chất

1.1 Nguyên hàm.

- Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R. 

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi xK.

Ví dụ.

- Hàm số F(x) = sinx + 6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên khoảng (-;+) vì F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với x(-;+).

- Hàm số F(x)=x+ 2x-3 là một nguyên hàm của hàm số f(x)=-5(x-3)2 trên khoảng (-;  3)(3;+)  

F'(x)=(x+ 2x-3)'=-5(x-3)2=f(x) với x(-;  3)(3;+).

 - Định lí 1.

 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

- Định lí 2.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó F(x)+C;CR là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

Kí hiệu: f(x)𝑑x=F(x)+C .

- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.

Ví dụ.

a) Với x(-;+) ta có: ∫x3𝑑x=x44+C;

b) Với x(-;+) ta có: ∫ex𝑑x=ex+C;

c) Với x(0;+) ta có: 12x𝑑x=x+C.

1.2 Tính chất của nguyên hàm

- Tính chất 1.

∫f'(x)𝑑x=f(x)+C

Ví dụ.

(4x)'𝑑x=∫4x.ln4.dx=  4x+C

- Tính chất 2.

kf(x)𝑑x=k.f(x)𝑑x  (k là hằng số khác 0).

- Tính chất 3.

[f(x)±g(x)]𝑑x=f(x)𝑑x±g(x)𝑑x.

Ví dụ. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=  3x2+  2sinx trên khoảng (-;+).

Lời giải:

Với x(-;+) ta có:

(3x2+ 2sinx)𝑑x=3x2𝑑x+  2sinxdx=x3+ 2.(-cosx) +C = x3-2cosx +C

1.3 Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Ví dụ.

a) Hàm số y=x có nguyên hàm trên khoảng (0;+).

x𝑑x=∫x12𝑑x=23x32+C=23xx+C

b) Hàm số y = 1x có nguyên hàm trên khoảng (-;  0)(0;+)

1x𝑑x=ln|x|+C

1.4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

0𝑑x=C

∫axdx=axlna+C(a> 0;a1)

𝑑x=x+C

cosxdx = sinx +C

∫xαdx=1α + 1xα +1+C(α  -1) sinxdx=-cosx+C

1x𝑑x=ln|x|+C

1cos2x𝑑x=tanx+C

∫ex𝑑x=ex+C

1sin2x𝑑x=-cotx+C

 

Ví dụ. Tính:

a) (3x4+x3)𝑑x

b) (5ex- 4x+ 2)𝑑x

Lời giải:

a)

 (3x4+x3)𝑑x=3x4𝑑x+x3𝑑x=  3x4𝑑x+∫x13𝑑x

=  3.x55+34.x43+C=3x55+3xx34+C

 

b) (5ex- 4x+ 2)𝑑x

= 5ex𝑑x-  16.∫ 4x𝑑x=  5.ex-16.4xln4+C

- Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.

2. Phương pháp tính nguyên hàm.

2.1  Phương pháp đổi biến số

- Định lí 1.

Nếu f(u)𝑑u=F(u)+C  và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

f(u(x)).u'(x)dx=F(u(x))+C.

Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:

f(ax+b)𝑑x=1aF(ax+b)+C.

Ví dụ. Tính (3x+ 2)3𝑑x.

Lời giải:

Ta có: ∫u3𝑑u=u44+C nên theo hệ quả ta có:

(3x+ 2)3𝑑x=(3x+2)44+C.

Chú ý:

Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x).

Ví dụ. Tính sinx.cos2xdx.

Lời giải:

Đặt u = cosx. Suy ra: du = – sinx. dx

Khi đó, nguyên hàm đã cho trở thành:

∫u2.(-du)= -∫u2𝑑u =-u33+C

Thay u = cosx vào kết quả ta được:

sinx.cos2xdx=-cos3x3+C.

2.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

- Định lí 2.

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

u(x).v'(x).dx=u(x).v(x)-u'(x).v(x)dx.

- Chú ý.

Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:

 

Đó là công thức nguyên hàm từng phần.

Ví dụ. Tính

a) xlnxdx;

b) xsinxdx;

c) (5-x).exdx

Lời giải:

a) xlnxdx

Đặt {u=lnxdv=xdx{du=1xdxv=x22

Ta có:

 xlnxdx=x22.lnx-x22.1xdx

=x22.lnx-12x𝑑x=x22.lnx-12.x22+C

=x22.lnx-x24+C.

b) xsinxdx;

Đặt {u=xdv=sinxdx{du=dxv=-cosx

Khi đó:

xsinxdx=-x.cosx +cosxdx= -x.cosx +sinx + C

c) (5-x).exdx

Đặt {u=5-xdv=exdx{du= -dxv=ex

Khi đó:

(5-x).exdx=(5-x).ex--exdx

=(5-x).ex+∫ex𝑑x

=(5-x).ex+ex+C.

3. Khái niệm tích phân

3.1 Diện tích hình thang cong

- Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được gọi là hình thang cong.

                                      Ôn tập Toán 12 Chương 3 (ảnh 1)

- Ta xét bài toán tìm diện tích hình thang cong bất kì:

Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x = a;  x = b (a < b); trục hoành và đường cong y = f(x),  trong đó f(x) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a; b].

Với mỗi x[a;b], kí hiệu S(x) là diện tích của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với Ox lần lượt tại a và b.

Ôn tập Toán 12 Chương 3 (ảnh 1)

 

Ta chứng minh được S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Giả sử F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) thì có một hằng số C sao cho S(x) = F(x) +  C.

Vì S(a) = 0 nên F(a) +  C = 0  hay C =    F(a).

Vậy S(x) = F(x) – F(a).

Thay x = b vào đẳng thức trên, ta có diện tích của hình thang cần tìm là:

S(b) = F(b) – F(a).

3.2 Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu abf(x)𝑑x.

Ta còn dùng kí hiệu F(x)|ab

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »