Cho $x, y, x \ne 0$ thỏa mãn x + y + z = 0.

Tính giá trị của biểu thức sau:

$A=\frac{xy}{x^2+y^2+z^2}+\frac{yz}{y^2+z^2-x^2}+\frac{zx}{z^2+x^2-y^2}$

1. Biểu thức hữu tỉ

Mỗi biểu thức là một phân thức hoặc biểu thị một dãy phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên những phân thức gọi là biểu thức hữu tỉ.

Ví dụ. Ta có các biểu thức hữu tỉ như: ;$\frac{5x}{x+2};\frac{1}{x+4}-\frac{2x+2}{3x+4};\frac{2}{3x}+\frac{4}{x}.\frac{3}{5x+y}$ …

2. Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức

Nhờ các quy tắc của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức, ta có thể biến đổi các biểu thức hữu tỉ thành một phân thức.

Ví dụ. Biến đổi biểu thức $\frac{1+\frac{2}{x-1}}{1+\frac{2x}{x^2+1}}$ thành một phân thức.

Hướng dẫn giải:

Ta có:$\frac{1+\frac{2}{x-1}}{1+\frac{2x}{x^2+1}}$$=\left(1+\frac{2}{x-1}\right):\left(1+\frac{2x}{x^2+1}\right)$

$=\left(\frac{x-1}{x-1}+\frac{2}{x-1}\right):\left(\frac{x^2+1}{x^2+1}+\frac{2x}{x^2+1}\right)$

$=\frac{x-1+2}{x-1}:\frac{x^2+1+2x}{x^2+1}$

$=\frac{x+1}{x-1}:\frac{{\left(x+1\right)}^2}{x^2+1}$

$=\frac{x+1}{x-1}.\frac{x^2+1}{{\left(x+1\right)}^2}$

$=\frac{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}{\left(x-1\right){\left(x+1\right)}^2}$

$=\frac{x^2+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$

$=\frac{x^2+1}{x^2-1}$.

3. Giá trị của phân thức

Khi thực hiện các bài toán liên quan đến giá trị của phân thức:

+ Trước hết, phải tìm điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0: Điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 là điều kiện để giá trị của phân thức được xác định.

+ Nếu tại giá trị của biến mà giá trị của phân thức được xác định thì phân thức ấy và phân thức được rút gọn có cùng một giá trị.

Để tính giá trị của phân thức, ta chỉ cần thay giá trị của biến vào phân thức đã được rút gọn rồi thực hiện tính như tính giá trị của biểu thức số.

Ví dụ. Cho phân thức $\frac{5x-10}{x\left(x-2\right)}$.

a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức  $\frac{5x-10}{x\left(x-2\right)}$  được xác định.

b) Tính giá trị của phân thức tại x = 2020.

Hướng dẫn giải:

a) Giá trị của phân thức $\frac{5x-10}{x\left(x-2\right)}$ được xác định với điều kiện x(x – 2) ≠ 0.

Mà một tích (của nhiều số) khác 0 khi mọi thừa số đều khác 0, do đó x ≠ 0 và x – 2 ≠ 0 hay chính là x ≠ 0 và x ≠ 2.

Vậy điều kiện để giá trị của phân thức $\frac{5x-10}{x\left(x-2\right)}$ được xác định là: x ≠ 0 và x ≠ 2.

b) Ta có:$\frac{5x-10}{x\left(x-2\right)}$$=\frac{5\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}=\frac{5}{x}$ và x = 2020 thỏa mãn các điều kiện của biến nên có thể tính giá trị của phân thức đã cho bằng cách tính giá trị của phân thức rút gọn $\frac{5}{x}$.

Vậy giá trị của phân thức đã cho tại x = 2020 bằng $\frac{5}{x}=\frac{5}{2020}=\frac{1}{404}$.