Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

$y=\frac{2}{x}$ (I) ; y = -x⁴ + x² – 2 (II) ; y = x³ – 3x – 5 (III).

3. Khái niệm cực đại, cực tiểu.

- Định nghĩa.

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là $-\mathrm{\infty }$; b là $+\mathrm{\infty }$) và điểm x₀ $\in$(a; b).

a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x$\in$(x₀ – h; x₀ + h) và $x\ne x_0$thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀.

b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x$\in$(x₀ – h; x₀ + h) và $x\ne x_0$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.

- Chú ý:

1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x₀) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số.

Kí hiệu là f_CĐ (f_CT) còn điểm M(x₀; f(x₀)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2. Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x₀ thì f’(x₀) = 0.

4. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

- Định lí 1

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x₀ – h; x₀ + h) và có đạo hàm trên K  hoặc trên K \ {x₀}; với h > 0.

a) Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x₀ – h; x₀) và f’(x) < 0 trên khoảng (x₀; x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

b) Nếu f’(x) < 0 trên khoảng (x₀ – h; x₀) và f’(x) > 0 trên khoảng (x₀; x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Ví dụ. Tìm các điểm cực trị của hàm số y = – 2x³ + 3x².

Lời giải:

Hàm số xác định với mọi x.

Ta có: y’ = – 6x² + 6x

Và y’ = 0 $\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=1\end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số và x = 1 là điểm cực đại của hàm số.

Ví dụ. Tìm các điểm cực trị của hàm số $y=\frac{2-x}{2x+\mathrm{\hspace{0.17em}2}}$.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với $\forall x\ne -1$.

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{-6}{{(2x+2)}^2}<0$

Vậy hàm số đã cho không có cực trị (vì theo khẳng định 3 của chú ý trên, nếu hàm số đạt cực trị tại x₀ thì y’(x₀) = 0).

5. Quy tắc tìm cực trị .

- Quy tắc 1.

1. Tìm tập xác định.

2. Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x) không xác định.

3. Lập bảng biến thiên.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

- Định lí 2.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo  hàm cấp hai trong khoảng (x₀ – h; x₀ + h) với h > 0. Khi đó:

a) Nếu f’(x₀) = 0; f”(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu;

b) Nếu f’(x₀) = 0; f”(x₀) < 0 thì x₀ là điểm cực đại.

- Quy tắc II.

1. Tìm tập xác định

2. Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu x_i ( i = 1; 2; ….; n) là các nghiệm của nó.

3. Tính f”(x) và f”(x_i).

4. Dựa vào dấu của f”(x_i) suy ra tính chất cực trị của điểm x_i.

- Ví dụ. Tìm cực trị của hàm số $f\left(x\right)=x^4-\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}{x}^2+\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}10}$.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x

Ta có: f’(x) = 4x³ – 4x

Ta có: f”(x) = 12x² – 4

Suy ra: f”(0) = – 4 < 0 nên x = 0 là điểm cực đại.

f”(1) = f”(– 1)  = 8 > 0 nên x = 1 và x = –1 là điểm cực tiểu.

Kết luận:

Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = 1 và x = – 1; f_CT = f(1) = f(–1) = 9.

Hàm số f(x) đạt cực đại tại x = 0 và f_CD = f(0) = 10.

6. Định nghĩa GTLN, GTNN

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu $f\left(x\right)\le M$ với mọi x thuộc D và tồn tại x₀$\in$D sao cho f(x₀) = M.

Kí hiệu: $M=\underset{D}{max}f\left(x\right)$.

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu  $f\left(x\right)\ge m$với mọi x thuộc D và tồn tại x₀$\in$D sao cho f(x₀) = m.

Kí hiệu:$m=\underset{D}{min}f\left(x\right)$.

- Ví dụ. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số không có giá trị lớn nhất.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 9 tại x = – 3.

7. Cách tính giá trị  lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

1. Định lí.

Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.

- Nhận xét:

Nếu đạo hàm f’(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a; b] thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó, f(x) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn.

Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm x_i (x_i < x_{i+ 1}) mà tại đó f’(x) bằng 0 hoặc không xác định thì hàm số y = f(x) đơn điệu trên mỗi khoảng (x_i;  x_i+1). Rõ ràng, giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn [a; b] là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số tại hai đầu mút a; b và tại các điểm x_i nói trên.

- Quy tắc:

1. Tìm các điểm x₁; x₂; …; x_n trên khoảng (a; b), tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x) không xác định.

2. Tính f(a); f(x₁); f(x₂); ….; f(x_n); f(b).

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:

$M=\underset{[a;b]}{max}f\left(x\right);m=\underset{[a;b]}{min}f\left(x\right)$.

- Chú ý: Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. Chẳng hạn hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0; 1).

Tuy nhiên, cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên một khoảng như ví dụ sau:

Ví dụ. Tìm giá trị lón nhất, nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{2x-x^2}$ trên khoảng $(0;\frac{3}{2})$.

Lời giải:

Điều kiện: 2x – x² $\ge 0\iff 0\le x\le 2$.

Ta có:

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên trên ta thấy, trên khoảng $(0;\frac{3}{2})$ hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất là điểm cực đại x = 1 và tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất $\underset{(0;\frac{3}{2})}{Max}f\left(x\right)=f\left(1\right)=1$.

8. Đường tiệm cận

8.1 Đường tiệm cận ngang

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng $(a;+\mathrm{\infty });(-\mathrm{\infty };b);(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$. Đường thẳng y = y₀ là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\underset{x\to \mathrm{ }+\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=y_0;\underset{x\to \mathrm{ }-\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=y_0$.

Ví dụ. Cho hàm số $y=\frac{x+2}{x^2+\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}1}}$.

Hàm số xác định trên khoảng $(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$.

Đồ thị hàm số  có tiệm cận ngang là y = 0 vì$\underset{x\to \mathrm{ }+\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+2}{x^2+\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}1}}=0;\underset{x\to \mathrm{ }-\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+2}{x^2+\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}1}}=0$.

8.2 Đường tiệm cận đứng

- Định nghĩa:

Đường thẳng x = x₀ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

- Ví dụ. Tìm đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x+\mathrm{\hspace{0.17em}2}}{x-4}$.

Lời giải:

Ta có: $\underset{x\to \mathrm{ }+\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+2}{x-\mathrm{\hspace{0.17em}4}}=1;\underset{x\to \mathrm{ }-\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+2}{x-4}=1$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1.

Lại có: $\underset{x\to 4^{+}}{lim}\frac{x+\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}}{x-\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}4}}=+\mathrm{\infty };\underset{x\to 4^{-}}{lim}\frac{x+\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}}{x-4}=-\mathrm{\infty };$

Suy ra:  đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 4.

9. Sơ đồ khảo sát hàm số

1. Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số.

2. Sự biến thiên.

+ Xét chiều biến thiên của hàm số.

 - Tính đạo hàm y’.

 - Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định.

 - Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm các tiệm cận (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên (ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên).

3. Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố ở trên để vẽ đồ thị hàm số.

- Chú ý:

1. Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox.

2. Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.

3. Nên lưu ý tính chẵn, lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.

10. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức.

10.1 Hàm số y = ax³ + bx² + cx  + d (a ≠ 0)

Ví dụ. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = – x³  + 3x² – 1

Lời giải:

1. Tập xác định: R.

2. Sự biến thiên

+ Chiều biến thiên:

y’ = – 3x² + 6x;   y’ = 0$\iff [\begin{array}{c}x=\mathrm{\hspace{0.17em}0}\\ x=2\end{array}$

Trên các khoảng